圖乘法求撓曲線方程

1、圖乘法求撓曲線方程朱品武（武漢船舶職業(yè)技術(shù)學(xué)院 430050）摘要 在設(shè)計(jì)橋梁、屋梁等結(jié)構(gòu)式，常常要計(jì)算梁的最大撓度，而通過積分求平面彎曲梁的撓曲線方程是比較繁瑣的。當(dāng)集中力、集中力偶或均布載荷作用于平面彎曲梁時(shí)，可以用圖乘法計(jì)算梁的撓曲線方程，從而避開積分過程。關(guān)鍵詞 撓曲線 積分 單位力 圖乘法一 引言對(duì)于撓曲線近似微分方程 ，通過不定可以求得平面彎曲梁的撓曲線方程。在積分過程中，要結(jié)合邊界條件和連續(xù)性條件確定積分常數(shù)和，往往會(huì)出現(xiàn)冗長(zhǎng)的理論推演和繁瑣的數(shù)字運(yùn)算。這樣，既不實(shí)用也不利于提高初學(xué)者的學(xué)習(xí)興趣。應(yīng)用虛功原理的單位力法，通過定積分也可以求得平面彎曲梁的撓度。單位力法計(jì)算平面彎曲梁

2、的線位移的公式【1】是，其中，為真實(shí)載荷作用下的梁的彎矩方程，為單位廣義力作用下梁的彎矩方程，為梁的長(zhǎng)度。同樣需要積分。二 圖乘法計(jì)算梁的撓曲線方程的原理對(duì)于，在一定的條件下可以用圖乘法代替積分計(jì)算位移。圖乘法計(jì)算位移的前提條件【2】為：桿件為等截面直桿，也即EI是常數(shù)；被積函數(shù)中至少有一個(gè)是一次函數(shù)，所對(duì)應(yīng)的彎矩圖為直線圖形。平面彎曲梁的位移圖乘法計(jì)算位移的公式是，其中，為曲線(或直線)彎矩圖形的面積（如圖3），為曲線(或直線)彎矩圖形面積形心對(duì)應(yīng)的另一直線彎矩圖形的豎標(biāo)（如圖5）。圖乘法求位移時(shí)需注意的問題：與在桿軸線同側(cè)時(shí)為正，反之為負(fù)；必須取自直線圖形；如果整根桿件不符合圖乘法條件，但

3、經(jīng)過分段后可以使其符合圖乘條件，則仍可應(yīng)用圖乘法分段計(jì)算；0時(shí)，撓度與單位力同向；0時(shí)，撓度與單位力反向。當(dāng)集中力、集中力偶作用于平面彎曲梁時(shí)，彎矩圖是直線圖形。當(dāng)均布載荷作用于平面彎曲梁時(shí)，彎矩圖是二次拋物線圖形。在單位力法中，為了求線位移，作用于平面彎曲梁的單位廣義力是集中力；為了求角位移，作用于平面彎曲梁的虛擬單位廣義力是集中力偶。因此，不論圖是直線圖形還是曲線圖形，圖總是直線圖形。顯然，當(dāng)集中力、集中力偶或均布載荷作用于平面彎曲梁時(shí)，應(yīng)用圖乘法計(jì)算平面彎曲梁的線位移的前提條件是滿足的。推而廣之，當(dāng)圖、圖是連續(xù)的或者分段連續(xù)時(shí)，用圖乘法求出某梁段上任意截面的線位移就是該梁段的撓曲線方程了

4、。圖1給出了標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線的面積公式和形心位置。圖中所謂頂點(diǎn)，是指圖形中該點(diǎn)的切線與“基線”平行或重合的點(diǎn)。H頂點(diǎn)對(duì)稱二次拋物線H頂點(diǎn)二次拋物線頂點(diǎn)二次拋物線圖 1 標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線圖形的面積公式和形心位置H三 算例等截面懸臂梁如圖2所示，已知均布載荷,抗彎剛度。求梁的撓曲線方程。解： 繪制梁在均布載荷作用下的彎矩圖（即圖），如圖3所示，彎矩方程為，其中，0。 為了求梁的撓曲線方程，在梁上任意選取橫截面（到左端的距離為），在截面加一單位集中力，如圖4所示。 繪制梁在單位集中力作用下的彎矩圖（即圖），如圖5所示，設(shè)某橫截面到左端的距離為，當(dāng)0時(shí)，橫截面上的彎矩為；當(dāng)時(shí)，。 計(jì)算圖3中陰影部分的面積、形心的位置以及在圖5中所對(duì)應(yīng)的豎標(biāo)。 圖 4圖 3圖 2圖 5 于是，截面的撓度為因此，平面彎曲梁的撓曲線方程為。四 結(jié)語應(yīng)用圖乘法求平面彎曲梁的撓曲線方程的方法非常簡(jiǎn)單。顯然，這種方法用于判斷諸如橋梁、屋梁等結(jié)構(gòu)的最大撓度位置并計(jì)算最大撓度既簡(jiǎn)單