一類高階非線性泛函微分方程的強迫振動性研究

1、一類高階非線性泛函微分方程的強迫振動性研究作者（單位）摘要：討論了一類高階非線性微分方程 x(n)(t)+p(t)f(t,x(t),x(n-1)(t)x(n-1)(t)-q(t)x(s)sgnx(t)=m(t) l的強迫振動性，建立了該方程的幾個振動性定理，并用相同的方法討論了高階中立型時滯微分方程x(t)+cx(t-t)(n)+a(t)x(t)+b(t)x(t-t)=m(t)+q(t)x(t)sgnx(t)+a(t)x(t-t)sgnx(t-t)解的振動性。關鍵詞：泛函；非線性微分方程；強迫振動性lsResearch on Oscillation of the Nonlinear Highe

2、r OrderFunctional EquationsAbstract: We discuss the nonlinear higher order functional equations(n)(n-1)(t)x(n-1)(t)-q(t)x(s)sgnx(t)=m(t). x(t)+p(t)f(t,x(t),xlSome new oscillation criterions of the equation are established. Using the same technique, we establish oscillation criterion for a certain fo

3、rced nonlinear neutral equation x(t)+cx(t-t)(n)+a(t)x(t)+b(t)x(t-t)=m(t)+q(t)x(t)sgnx(t)+a(t)x(t-t)sgnx(t-t)ls.Key Words: functional differential equation; nonlinear differential equation; oscillation criterion1 引言考慮高階非線性微分方程x(n)(t)+p(t)f(t,x(t),x(n-1)(t)x(n-1)(t)-q(t)x(s)sgnx(t)=m(t) （2.1） 其中pÎ

4、;Cn-2(t0,¥),0,¥)，mÎC(t0,¥),R)，fÎCn-2l(t0,¥)´R2,0,¥), qÎC(t0,¥),0,¥).當m(t)=0時方程（2.1）的振動性曾被許多人研究過2,3，并得出了很好的結(jié)果；當q(t)<0,t³t0，n為偶數(shù)，f為振動函數(shù)h(t)的n階可微函數(shù)時，采用Kartsatos所介紹的方法1，我們很容易得出方程（2.1）振動的條件。在這里我們對方程不作這些限制而給出一些新的振動條件同時討論了非線性強迫中立型方程x(t)+cx(t-t)

5、(n)+a(t)x(t)+b(t)x(t-t)=m(t)+q(t)x(t)sgnx(t)+a(t)x(t-t)sgnx(t-t)ls （2.2） 其中，n³1,l,s>1,t,c為非負常數(shù)，a,b,m,q,a:t0,¥)®R連續(xù)，a(t),b(t)非負，a(t),q(t)>0,t³t0.我們得出了該方程的一些有趣振動條件。2 主要結(jié)論先給出一個引理：引理2.1 若A和B非負，則Al-lAB+(l-1）Bl³0,l>1,其中等號當且僅當A=B時成立。 證明：令f(x)=xl-lxBl-1+(l-1)Bl³0,(l>

6、;1,x³0)，則f'(x)=l(xl-1-Bl-1)。'由f(x)=0得，x=B。''因為當x>B時，f(x)>0；當0£x<B時，f(x)<0。所以對任意的x³0，有f(x)³f(B)=0。l所以對任意的非負數(shù)A,B,有A-lAB+(l-1）Bl³0,l>1,其中等號當且僅當A=B時成立。定理2.1 設存在一個(n-1)階可微函數(shù)H:D=(t,s):t³s³t0®R使得H(t,t)=0,t³t0,H(t,s)>0,(t,s)Î

7、;D, （2.3）¶iH(t,s)hi(t,s)=-,hi(t,t)=0,t³t0,i=1,2,L,n-1, i¶shn-1(t,s)為D上的非負連續(xù)函數(shù)，且hi(t,t0)-(-1)iGs(t,t0) 0£liminf <+¥, （2.4）t®¥H(t,t0)i-1其中，G(t,s)=p(s)f(s,x(s),xn-1(s)H(t,s),(-1)n-2Gs(n-2)(t,s)在D上非負連續(xù)。若t1limsup H(t,s)m(s)-Q(t,s)ds=+¥, （2.5）t®¥H(t,t0)

8、òt0t1H(t,s)m(s)-Q(t,s)ds=-¥, （2.6）òt0H(t,t0)liminft®¥n-2Gsl/(1-l)hn-1(t,s)+(-1)其中，Q(t,s)=(l-1)lH(t,s)(n-2)(t,s)l1l-1q1l-1(s),t³s³t0，則方程（2.1）振動。證明：采用反證法。假設x(t)是方程（2.1）的一個非振動解，不妨設x(t)>0,t³t0，則在方程（2.1）兩邊同時乘H(t,s)，然后從t0到t積分，有òòtt0H(t,s)m(s)ds=òH(

9、t,s)x(n)(s)ds+òG(t,s)x(n-1)(s)ds-òq(s)H(t,s)xl(s)dst0t0t0ttt因為tt0H(t,s)x(n)(s)ds=-H(t,t0)x(n-1)(t0)+òh1(t,s)x(n-1)(s)dst0n-2k=1tt=-H(t,t0)x(n-1)(t0)-åhk(t,t0)x(n-k-1)(t0)+òh(n-1)(t,s)x(s)ds,t0òG(t,s)xt0n-2k=1t(n-1)(s)ds=-G(t,t0)x(n-2)(t0)-òGst0tt0t(1)(t,s)x(n-2)(s)

10、ds=å(-1)kGs所以(k-1)(t,t0)x(n-k-1)(t0)+(-1)(n-2)òGs(n-2)(t,s)x(s)ds,òtt0H(t,s)m(s)ds=-H(t,t0)xtt0(n-1)(t0)-å(hi(t,t0)-(-1)iGsi=1tt0n-2(i-1)(t,t0)x(n-i-1)(t0)+òhn-1(t,s)+(-1)(n-2)Gs(n-2)(t,s)x(s)ds-òH(t,s)q(s)xl(s)ds.(i-1)hi(t,t0)-(-1)iGs根據(jù)條件 0£liminft®¥H(t,

11、t0)知，存在常數(shù)C，使得對于t³t0，有 -H(t,t0)x于是有(n-1)(t,t0）<+¥，(t0)-åhi(t,t0)-(-1)iGsi=1n-2(i-1)(t,t0)x(n-i-1)(t0)£CH(t,t0),(n-2)òt0tH(t,s)m(s)ds£CH(t,t0)+òhn-1(t,s）+(-1)n-2Gst0t(t,s)x(s)ds-òtt0 H(t,s)q(s)xl(s)ds. （2.7）令 A=H(t,s)q(s)1/lx(s),B=hn-1(t,s)+(-1)1n-2lGs(n-2)(t

12、,s)H(t,s)q(s)-1/l1l-1，則 t01l-1lH(t,s)m(s)-lAB+Ads£C. H(t,t0)òt由引理2.1知，Al-lABl-1+(l-1)Bl³0,即 Al-lABl-1³-(l-1)Bl,t1lH(t,s)m(s)-(l-1)Bdsòt0H(t,t0)于是有£1ll-1H(t,s)m(s)+A-lABds£C.H(t,t0)òt0t考慮到(l-1)Bl=Q(t,s),有t1 H(t,s)m(s)-Q(t,s)ds£C H(t,t0)òt0t1H(t,s)m(s)

13、-Q(t,s)ds£C òtH(t,t0)0 limt®¥這與（2.5）式矛盾，所以方程（2.1）振動。推論2.1 設函數(shù)H如定理2.1中所定義且滿足（2.3）和（2.4）。若t1 limsupH(t,s)m(s)ds=+¥, t®¥H(t,t0)òt0t1H(t,s)m(s)ds=-¥, òt0H(t,t0) liminft®¥(n-2)t0hGs1n-1(t,s)+(-1)limtt®¥H(t,t)òH(t,s)0(n-2)(t,s)l1l-

14、11ql-1(s)ds<¥,則方程2.1振動。注2.1 當l=1時，定理2.1中的（2.7）式變?yōu)?#242;t0tH(t,s)m(s)ds£CH(t,t0)-òH(t,s)q(s)-hn-1(t,s）+(-1)n-2Gst0t(n-2)(t,s)x(s)ds于是有下面的結(jié)論：定理2.2 設函數(shù)H如定理2.1中所定義且滿足（2.3）和（2.4），且H*(t,s)=H(t,s)q(s)-hn-1(t,s)-(-1)n-2Gs若 limsupt®¥t1H(t,s)m(s)ds=+¥, òtH(t,t0)0t1H(t,s)m

15、(s)ds=-¥, H(t,t0)òt0(n-2)(t,s)³0,t³s³t0, liminft®¥則當l=1時方程（2.1）振動。例如：例1 考慮方程x¢¢(t)+x¢(t)-x(t)=3etcost. （2.8） 構(gòu)造H(t,s)=(t-s)3,易知它滿足定理2.2的所有條件，故方程振動。事實上，方程（2.8）的通解為x(t)=e(C1et-3t2+C2e+3t2+sint)，當t充分大時，通解振動。定理2.3 設函數(shù)H如定理2.1中所定義且滿足（2.3）和（2.4），若t1 limsupH

16、(t,s)m(s)-C1Q(t,s)-C2P(t,s)ds=+¥, t®¥H(t,t0)òt0t1H(t,s)m(s)-C1Q(t,s)-C2P(t,s)ds=-¥, òtH(t,t0)0 liminft®¥其中，C1=(l-1)ll1-lé(a(s)H(t,s)+hn-1(t,s)ù,Q(t,s)=êúH(t,s)ëûl11-lq11-l(s),1s-1 C2=(s-1)ss1-sé(b(s)H(t,s)+chn-1(t,s)ù,P(

17、t,s)=êúH(t,s)ëûs1s-1a(s),則方程（2.2）振動。證明：采用反證法。若x(t)是方程（2.2）的非振動解，不妨設x(t)>0,x(t-t)>0,t³t0,在方程（2.2）的兩邊同乘以H(t,s)，然后從t0到t積分，得òtt0H(t,s)m(s)ds£CH(t,t0)+òa(s)H(t,s)+hn-1(t,s)x(s)ds-òq(s)H(t,s)xl(s)dstt0ttt0t0t0t+òb(s)H(t,s)+chn-1(t,s)x(s-t)ds-òa(

18、s)H(t,s)xs(s-t)ds.利用引理即可推出矛盾。t1若 limsupH(t,s)m(s)ds=+¥, t®¥H(t,t0)òt0t1H(t,s)m(s)ds=-¥, òt0H(t,t0) liminft®¥t1 liminfC1Q(t,s)+C2P(t,s)ds£+¥, t®¥H(t,t0)òt0其中C1,C2和函數(shù)P,Q如定理2.3中所定義，則方程（2.2）振動。參考文獻1楊軍,王春艷,李靜.非線性中立型拋物偏泛函微分方程系統(tǒng)解的強迫振動性J.工程數(shù)學學報, 2004,(05) .2Li W N,Cui