第四章 快速數字仿真

1、 第四章第四章 快速數字仿真快速數字仿真 前面介紹了應用數值積分法和離散相似法進行控制系統數字仿真的基本原理、方法和程序，對于控制系統的數字仿真是比較方便的。但是，這些數字仿真程序的一個共同特點之一是：為使仿真達到一定的精度，計算步長不能偏大，因此計算量加大，計算速度較低，這對要求進行實時仿真(在線仿真)的場合無法滿足要求，就是離線仿真也嫌太慢。如在對一些復雜系統或高階系統進行數字仿真時，往往仿真實際運行時間需要數小時甚至幾十小時，速度太慢而限制了數字仿真的推廣和應用。 如：在液壓系統的數字仿真中，由于參數的限制，計算步長要取的極小(如 h5E6)，這將使數字仿真時間很長，尤其是如果系統中的兩

2、個環(huán)節(jié)的時間常數相差達到幾十倍或上百倍時，如按小的時間常數來確定計算步長，將會引起計算不穩(wěn)定以致整個系統不穩(wěn)定,仿真無法進行。 q為了解決數字仿真速度問題，一般采取一下三種措施： 硬件措施：采用高速計算機 軟件措施：采用執(zhí)行速度快的語言，如匯編語言. 算法措施：研究并采用適合于快速仿真的仿真算法. q本節(jié)只講述快速仿真算法。一般情況下，在解決計算速度與精度這一矛盾時，以計算速度作為矛盾的主要方面，在滿足計算穩(wěn)定性及工程要求的精度條件下，盡可能提高仿真計算速度，降低不必要的精度以滿足速度要求。一般對快速仿真算法有兩點基本要求： 每一步的計算量要少； 算法要具有良好的計算穩(wěn)定性，在保證一定的仿真精

3、 度情況下，允許采用較大的計算步長。 前面我們介紹的各種仿真方法基本上都是基于時域的范圍內對系統進行研究的，也就是說系統的輸入、輸出、以及狀態(tài)量等主要是在一種連續(xù)狀態(tài)下的時間函數（在研究過程中主要以數值積分或虛擬的離散狀態(tài)分析為主），但在研究過程中，這些方法在各方面多少都有局限性。頻域仿真建模方法：面向頻域仿真建模方法：面向 S 域的傳遞函數域的傳遞函數G (s)根據相似原根據相似原 理，得到與它理，得到與它相匹配相匹配的的 Z 域傳遞函數域傳遞函數G(z)。若若G (s)是穩(wěn)定是穩(wěn)定的，而脈沖傳遞函數的，而脈沖傳遞函數G(z)也應是穩(wěn)定的，對于同一輸入信也應是穩(wěn)定的，對于同一輸入信號，由號，

4、由G(z)求得的求得的y(kT)輸出與由輸出與由G(s)求出的求出的y(t)應具有相一應具有相一致的時域特性或具有相一致的頻率特性。致的時域特性或具有相一致的頻率特性。 第一節(jié)第一節(jié) 替換法替換法快速仿真解決的主要矛盾是快速性，而對精度可以降低一些要求。因此，對于一個高階連續(xù)系統若能將其傳遞函數G (s)比較方便的轉換為與其相匹配的，并允許采樣周期 T 較大的脈沖傳遞函數G (z) ，然后由G (z)獲得差分方程進行數字仿真，不但能夠減少計算步數，也能使每一步的計算量大為減少，從而獲得快速仿真的效果。 v本節(jié)介紹的替換法是根據相匹配原理由直接導出的變換方法。 一、替換法基本原理 替換法的基本思

5、想替換法的基本思想是，設法找到s域（連續(xù)域）與z域（離散域）的某種對應關系，然后將G(s)中的變量s轉換成變量z，由此得到與連續(xù)系統傳遞函數G(s)相對應的離散系統的脈沖傳遞函數G(z) ，進而獲得進行數字仿真的遞推算式，以便在計算機上求解計算。 根據拉普拉斯變換與z變換的關系，可得： （4.1-1） 或 式中，T采樣周期 式（4.1-1）是一個超越函數，不能直接用它來替換 sTez zTsln11.歐拉替換 )(tfdtdx已知微分方程：kkkkkxTxTfxx1根據歐拉法公式：xTxz1所以可得：sxx1因為1 zTxx即：11zTs故有：歐拉替換：簡單，但是歐拉替換：簡單，但是穩(wěn)定性差穩(wěn)

6、定性差，并不實用。，并不實用。下面分析其穩(wěn)定性：下面分析其穩(wěn)定性： )1()1( 11 1 z 1 則 1Tsz 設22222222222TTTTzTTzjs也就是：故有平面上的單位圓對于因為，Z平面上的單位圓按該替換式反映射到平面上的單位圓按該替換式反映射到S平面上，將是一個平面上，將是一個 以（以（1/T，0）為圓心，以為圓心，以1/T為半徑的圓為半徑的圓。 圖圖4.1 4.1 S S域到域到Z Z域的映射關系域的映射關系l 一個一個原來穩(wěn)定的系統原來穩(wěn)定的系統G(s)，通過替換得到的仿真通過替換得到的仿真模型模型G(z)卻卻可能是不穩(wěn)定的可能是不穩(wěn)定的。 2. 雙線性變換雙線性變換112

7、 kkkkxxTxx觀察梯形積分公式：112 121 zzTsxzTxz即：可得：）（一種近似映射關系：平面的平面到，則可得由若只取式中第一項近似為：的一種冪級數展開形式或由：2-4.1 112 )11(121)11(3111 2lnlnln1 123zzTszszznzzzzzzzTsn）（也可以寫作：3-4.1 )1z-1(2 1-1zTs 式（4.1-2）和式（4.1-3）都稱為算子的屠斯汀公式。用這一關系替換G(s)G(s)中的s s的方法稱為雙線性變換法或屠斯汀法?？梢宰C明，雙線性變換法符合相匹配原理。 ）（）得：代入式（將4-4.1 )2()2(1)2()2(1 3-4.12222

8、2TTTTzjs。，則；若則，；若，則，即）可知，若由式（1010104-4.1zzzjs 這就是說，這就是說，Z平面上的單位圓，映射到平面上的單位圓，映射到S平面上將是整個左平面上將是整個左 半平面，其逆也真。半平面，其逆也真。 即即如果原來如果原來G(s)穩(wěn)定，那么穩(wěn)定，那么G(z)也是穩(wěn)定的也是穩(wěn)定的。二、替換法步驟采用雙線性變換法求仿真模型的具體步驟如下： 設已知一線性系統的傳遞函數為： ）（5-4.1 )( )(1111110nmasasasbsbsbsbsGnnnnmmmm）（的形式：，并整理成有理分式）替代得到按式（中的將6-4.1 1)( )(3-4.1)() 1 ()1(12

9、211)1(1110nnnnnnnnzzzzzzzzGzGssG)0() 1 () 1()( )0() 1 ()2() 1()( )()()()2(110121uununuyynynynyzUzGzYznnnn方程形式：的差分轉換成便于計算機計算變換，將利用逆。為輸出序列，為輸入序列，式中，nkkyku,2, 1 ,0)()( 。真模型。計算步長取利用雙線性變換求其仿）（函數為：已知一線性系統的傳遞例sssssG1T 7-4.1 12 . 01)( 1-4.124 . 566 . 432 )4 . 04()82()4 . 04()2(2)2( 1)112(2 . 0)112(1112)( 7-

10、4.13-4.11 121221222212221121111zzzzTTzTzTTTTzTzTTzzTzzTzzTzGs可得：）中的）替換式（）由式（解：)2() 1(2)(3185. 0)2(852. 0) 1(111. 1)( )()()()2(nunununynynyzUzGzY轉換成差分方程：將根匹配法也是一種從系統傳遞函數G (s)導出脈沖傳遞函數G(z) 方法，是根據相匹配原理提出的又一種常見的快速仿真方法。一、根匹配法原理根匹配的基本思想基本思想是使離散化所得的脈沖傳遞函數與連續(xù)系統的傳遞函數的零點和極點相匹配，從而使離散化模型的動態(tài)、靜態(tài)特性與連續(xù)系統相同。所以，這種方法又稱

11、零極點零極點匹配法匹配法。連續(xù)系統的動態(tài)、靜態(tài)特性由傳遞函數G(s)G(s)的零、極點分布及增益大小所決定，采樣系統的動態(tài)、靜態(tài)特性由脈沖傳遞函數G(z)G(z)的零、極點分布及增益大小所決定。如果能找到一種簡單的映射關系z=f(s)z=f(s)，將連續(xù)系統G(s)G(s)的零、極點映射為脈沖傳遞函數G(z)G(z)的零、極點，再根據一定的原則確定G(z)G(z)的增益，則可方便地由G(s)G(s)求得與之等價的G(z)G(z) 。 第二節(jié)第二節(jié) 根匹配法根匹配法匹配原理。的原理，顯然它符合相。這就是根匹配法等價的，從而得到與的增益確定的其他特征然后根據的零、極點確定相對應的點的零、極這一映射

12、關系直接由用根據根匹配的思想，利)()()()(), 2 , 1, 2 , 1,()(), 2 , 1, 2 , 1,()(zGsGKzGsGnimjezezzGnimjrsGezzTiTrjijsTij為系統增益。極點，個為系統的，個零點，為系統的，式中，）（KnmrrrmnsssrsrsrsKsUsYsGnmnm212121211-4.2 )()()()()()()( 二、根匹配法步驟二、根匹配法步驟 由根匹配法求仿真模型的具體步驟如下： 設原系統的傳遞函數為： ）（）的零、極點，得到：替換式（利用2-4.2 )()()()()( 1-4.2,) 1 (2121mnezezezezezez

13、KzGezezTTTTrTrTrzTiTrjnmij）（沖傳遞函數為：應配在原點處，于是脈知，平面上相應的零點由，那么無窮遠處，即平面負實軸的為零點位于個相應的零點。如果認須再配上平面必個零點。因此，在存在著平面無窮遠處實際上還在次高于分子時，即連續(xù)系統的分母階）中，當在式（3-4.2 )()()()()( 01-4.22121mnezezezzezezezKzGezzssmnzmnsmnTTTmnTrTrTrzTnm使中頻增益相同。而對于帶通濾波器則應應使其低頻增益相同，。一般對于低通濾波器從而可確定某一臨界頻率處相同，分別得到的頻率特性在與使入函數。，則應另選輸。若，從而確定相等分別得到的

14、輸出變量與令由選擇適當的輸入函數種方法：，一般有兩的原則確定的終值，根據終值相等散系統的終值及離值定理求出連續(xù)系統在典型輸入下，根據終 )()(B. 0)()0)()( )()(,A. )( )()2(zzzKzGsGyKyyzGsGKzGsG差分方程形式。的轉換成便于計算機計算變換，將利用逆 )()()()3(zUzGzYz差分方程。試用根匹配法求系統的）（數為：設一連續(xù)系統的傳遞函例 4-4.2 )( 1-4.2asKsG為采樣周期。式中，）（可得脈沖傳遞函數：），故由式（分子階次，分母階次，一個無窮遠處零點，有一個極點零、極點確定）根據（解：TezzKzGmnasGzGsGaTz 5-4

15、.2 )( 3-4.20 1 )( )()(1 1）（所以，應該相等，故得：上述兩個終值）（變換的終值定理可得：根據）（理知：根據拉氏變換的終值定。的終值，進而確定和）用終值定理分別求（8-4.2 )1 ( 1 )( 111lim 7-4.2 )()(1lim)( 6-4.2 1lim )()(lim)( )()(21100aTzaTzaTzaTzzzsseaKKeKaKyeKzzezzKzzzUzGzzyzaKsasKssUssGyKzGsG）（）得：）代入式（將式（9-4.2 )()()1 ()( 5-4.28-4.2 zUzYezzeaKzGaTaT）（變換，可得差分方程）進行逆將式（求

16、差分方程。）根據（10-4.2 )()1 () 1()( 9-4.2 )(3nueaKnyenyzzGaTaT差分方程。試用根匹配法求系統的）（數為：一個連續(xù)系統的傳遞函例 11-4.2 1)()( 2-4.22sssG為采樣周期。式中，）（）有根據式（零、極點確定）根據（解：TezzzKzGzGsGTz 12-2 . 4 )() 1()( 3-4.2 )()(1 2。來確定斜坡輸入所以選擇入時，輸出終值為零，有零值零點，加階躍輸因。的終值，進而確定和）用終值定理分別求（zKttusGKzGsG)( )( )()(2 13-4.2 )1 ( )( )1 ( ) 1()() 1(1lim )()

17、(1lim)( 11) 1(lim )()(lim)( 2222112200）（相等，就要求：為使終值根據終值定理知：TeKyeTKzTzezzzKzzzUzGzzysssssUssGyTzTzTzzzss）（變換，可得差分方程）進行逆將式（求差分方程。）根據（15-4.2 )1()()1 ()2() 1(2)( 14-4.2 )(322nunuTenyenyenyzzGTTT）（）得：）代入式（將式（14-4.2 )()()() 1()1 ()( 5-4.213-4.2 22zUzYezTzzezGTT的差分方程。配法求系統用雙線性變換法及根匹 ) 115. 0)(1)(110() 15(1

18、00)( 4.1sssssG個點即可）。，手算輸出量初值位階躍下的仿真結果（秒，計算在單次，而采樣頻率為，若的差分方程。用根匹配法求出50 /10rad/s 154 . 0 2)( 4.20222ysssGnnnn習習 題題）（其解為：）（矩陣方程）中狀態(tài)方程變?yōu)辇R次時，式（當輸入函數）（它的時域解為：）（間表達式為：出的連續(xù)系統的狀態(tài)空假定一個單輸入單輸4.3.4 )0()( 4.3.3 4.4.10)(4.3.2 )()0()( 4.3.1 )0()()()()()( 0)(0 xetxAxxtudBuexetxxxtCxtytButAxtxAtttAAt一一.增廣矩陣法的基本思想增廣矩陣

19、法的基本思想第三節(jié)第三節(jié) 增廣矩陣法增廣矩陣法）（展開成級數形式：將）（時，則計算步長選為。當）就可以遞推計算出可以求得，則根據式（如果4.3.6 ! 3! 2 4.3.5 )() 1( )(4.3.43322nTATATAATIeenTxeTnxTtxennAtAtAtAt）（）（）變?yōu)椋簞t式（龍格庫塔法相同。項，則計算精度與四階可以證明：如果取前4.3.7 )(2462) 1(4.3.55443322nTxTATATAATITnx由于 都可以在仿真前算出，所以式(4.3.7)右端的系數項可以事先求出，而仿真計算就變成每次只作一個十分簡單的遞推計算，從而達到快速仿真。 然而一般系統的狀態(tài)方程

20、都是非齊次的，按式(4.3.2)求解時，除了計算一個自由項外，還要計算一個強制項 使計算復雜化，所以應設法將非齊次項，即輸入變量“增廣”成為新的狀態(tài)變量(即增廣狀態(tài)變量)，使原狀態(tài)方程變成增廣形式的齊次狀態(tài)方程：432AAAA，dBuettA)(0)(0)0(4.3.9 )()(4.3.8 )(xxtxCtytxAx）（）（式(4.3.8)，稱為增廣狀態(tài)方程，式(4.3.9)稱為增廣輸出方程，其中 為增廣狀態(tài)向量，它包含了 及增廣進去的增廣狀態(tài)變量。 為增廣狀態(tài)矩陣， 為增廣輸出矩陣。對于式(4.3.8)，就可以用式(4.3.7)進行仿真計算，這種方法就稱為增廣矩陣法。這時對于n階系統就是把輸

21、入 當作第n+1個狀態(tài)變量，使原來解非齊次方程的問題變成求解齊次方程的問題?，F在的關鍵問題是如何把 增廣成新的狀態(tài)變量構成新的增廣狀態(tài)向量，下面將分別就幾種典型輸入信號來說明增廣矩陣的形成方法。 )(tx)(txAC)(tu)(tu）（初始條件）（）（程和輸出方程為：故可得增廣后的狀態(tài)方則個狀態(tài)變量為：為階躍幅值，定義第，設階躍輸入信號4.3.12 )0()0( 4.3.11 )()( 0)( 4.3.10 )()(00)()( )0( 0)( 1)( 1 1)( ) 1 (0011110110100uxxxtxtxCtytxtxBAtxtxuxtxtutuxnututunnnnnnn二二.

22、典型輸入信號的增廣矩陣法典型輸入信號的增廣矩陣法）（程為：故可得增廣后的狀態(tài)方則個狀態(tài)變量為：個，第，定義第設斜坡輸入信號4.3.13 )()()(0001000)()()( )0( 0)0( 0)( )()( )()( 21)( )2(21210212012010txtxtxBAtxtxtxuxxtxutxtxtututxnntutunnnnnnnnnn）（初始條件）（輸出方程為：4.3.15 0)0()0()0( 4.3.14 )()()(00)( 002121uxxxxtxtxtxCtynnnn 時域矩陣法是在時域中用無窮矩陣來進行系統分析的方法。這種方法不僅適用于分析采樣控制系統，而且

23、可以通過引入適當的采樣開關和保持器以分析連續(xù)系統。它的好處是，如果能獲得系統的脈沖響應，那么采用該法可以允許采用較大的計算步長，每一步的計算量少且與系統的階次無關，從而實現快速數字仿真。 一、時域矩陣法一、時域矩陣法1. 時域矩陣的概念時域矩陣的概念 設有如圖4.4.1所示的開環(huán)采樣系統，受控對象的傳遞函數為 ，保持器的傳遞函數為 ， 則系統的開環(huán)傳遞函數 。設初試條件為零時，對應 的脈沖傳遞函數為 。 )(0sG)(sGh)()()(0sGsGsGh)(0sG)()(1sGLtg第四節(jié)第四節(jié) 時域矩陣法時域矩陣法) 1 . 4 . 4( )()()(0knnunkgky的輸出為：根據卷積和定

24、理，系統)(0sG)(sGh)(tu)(*tuT)(ty開環(huán)采樣系統圖 4.4.1)()0() 1 () 1()0()()() 1 ()0()0() 1 () 1 ()0()0()0(4.4.1kugukgukgkyugugyugy）展開得：將式（）（寫成矩陣形式：4.4.2 )() 1 ()0()0()2() 1()(00)0() 1 (000)0()() 1 ()0(kuuugkgkgkggggkyyy)0()2() 1()(00)0() 1 (000)0( )()2() 1 ()0( )()2() 1 ()0( 4.4.3 gkgkgkggggGkuuuuUkyyyyYGUYTT其中：）

25、（或記作：q列矢量Y和U包含了輸出和輸入的各個離散值，即各采樣時刻值。G是由(k+1)(k +1)個元素組成的方陣，其元素由g(t)在離散時刻的值確定，這個矩陣是下三角陣，只在對角線上、對角線下半部有值，其余元素為零。若響應 y(k)在各采樣時刻都要被確定，則G的階次是無窮大的，所以稱為無窮矩陣，又稱時域矩陣。實用時，一般 G的階次有十幾到二十幾左右就能滿足要求。 q從式(4.4.3)看出，若能在系統仿真前先測得u(k)和g(k)(g(k)也可通過拉普拉斯反變換求得)，以一定的數字形式送入計算機，在仿真時就只需計算一個矩陣相乘式，且這種算法與系統的階次無關。因此這種算法允許采用較大的計算步長，從而提高了仿真計算速度。 2. 閉環(huán)連續(xù)系統的時域矩陣閉環(huán)連續(xù)系統的時域矩陣 閉環(huán)系統離散化后的方框圖如圖4.4.2所示。 框圖閉環(huán)系統離散化后的方圖 4.4.2)(0sG)(sGh)(tu)(*teT)(ty)(te) 5 . 4 . 4( )4 . 4 . 4( 4.4.2YUEGEY）可知：由圖（）（）（寫成矩陣形式：4.4.7 )() 1 ()0()() 1 ()0()() 1 ()0(4.4.6 )() 1 ()0()0()2(