第四章光學(xué)共振腔

1、4.0、引言（共振腔中的模密度）、引言（共振腔中的模密度）第四章第四章 光學(xué)共振腔光學(xué)共振腔1.1.光學(xué)共振腔光學(xué)共振腔 光學(xué)共振腔是構(gòu)成激光器的重要部件之一，光學(xué)共振腔是構(gòu)成激光器的重要部件之一，通常由兩塊與工通常由兩塊與工作介質(zhì)軸線垂直的平面或凹球面反射鏡構(gòu)成。作介質(zhì)軸線垂直的平面或凹球面反射鏡構(gòu)成。 （一個(gè)反射率接（一個(gè)反射率接近近100%100%即全反射，另一個(gè)反射率約為即全反射，另一個(gè)反射率約為98%98%，激光就是從后一個(gè)反，激光就是從后一個(gè)反射鏡射出的）射鏡射出的） 一、引言一、引言 諧振腔的作用是選擇頻諧振腔的作用是選擇頻率一定、方向一致的光作率一定、方向一致的光作最優(yōu)先的放大

2、，而把其他最優(yōu)先的放大，而把其他頻率和方向的光加以抑制。頻率和方向的光加以抑制。如圖，凡不沿諧振腔軸線如圖，凡不沿諧振腔軸線運(yùn)動(dòng)的光子均很快逸出腔運(yùn)動(dòng)的光子均很快逸出腔外，與工作介質(zhì)不再接觸。外，與工作介質(zhì)不再接觸。激勵(lì)能源激勵(lì)能源 全反射鏡全反射鏡部分反射鏡部分反射鏡激光激光 品質(zhì)因數(shù)品質(zhì)因數(shù)Q Q是標(biāo)志共振腔特性的一個(gè)普遍的度量。是標(biāo)志共振腔特性的一個(gè)普遍的度量。 例如：一個(gè)由相距為例如：一個(gè)由相距為 的兩個(gè)理想導(dǎo)體平面組成的共振腔中，的兩個(gè)理想導(dǎo)體平面組成的共振腔中，一個(gè)電磁橫波（一個(gè)電磁橫波（TEMTEM）在來(lái)回反射，其間的電場(chǎng)強(qiáng)度為：）在來(lái)回反射，其間的電場(chǎng)強(qiáng)度為：l由于單位體積的電

3、場(chǎng)能由下式給出：由于單位體積的電場(chǎng)能由下式給出：2e e 電體積。 。（。（1.3-22）2| ( , )|2Ve z t電( , )sinsine z tEtkz。 。（。（4.0-2）2| ( , )|2Adze z tQP。（。（4.0-1） 由于由于e e是是z z和和t t的函數(shù)，若以傳輸距離的函數(shù)，若以傳輸距離 為一個(gè)周期為一個(gè)周期T T，光通過(guò)距，光通過(guò)距離離 后的電場(chǎng)總能量為：后的電場(chǎng)總能量為：ll200| ( , )|2lTAe z tdzdt 電將（將（4.0-24.0-2）代入上式可得：）代入上式可得：22200| (sinsin)2lTAEtkz dzdtT 電200|

4、 ( , )|2lTAe z tdzdtT 電。 。(4.0-3)因此：因此：積分后化簡(jiǎn)可得：積分后化簡(jiǎn)可得：21|8EV。 。（。（4.0-4） 在腔內(nèi)：在腔內(nèi)：電磁電磁212|4EV電。 。（。（4.0-5）穩(wěn)態(tài)下可以認(rèn)為輸出功率穩(wěn)態(tài)下可以認(rèn)為輸出功率P P等于耗散功率，因此：等于耗散功率，因此：電場(chǎng)的峰值電場(chǎng)的峰值4QpEV。(4.0-6)2|4EVQpQP 2.2.光學(xué)共振腔中的模密度光學(xué)共振腔中的模密度 以一維共振腔為例，橫電磁波（以一維共振腔為例，橫電磁波（TEMTEM）在其間傳輸時(shí)，場(chǎng)分）在其間傳輸時(shí)，場(chǎng)分布滿足式（布滿足式（4.0-24.0-2）。在）。在z=oz=o和和z=L

5、z=L處電場(chǎng)為零，因此：處電場(chǎng)為零，因此： sin0mk L mk LmmmkLmmknc令: (1,2,)m mcmnL若任意的選擇有效模式間隔的標(biāo)準(zhǔn)為若任意的選擇有效模式間隔的標(biāo)準(zhǔn)為 ，因此：，因此：cnL2T又： =22TcLnn因此可以得出共振腔的長(zhǎng)度與波長(zhǎng)相當(dāng)。因此可以得出共振腔的長(zhǎng)度與波長(zhǎng)相當(dāng)。 光波的模式控制有兩種途徑：光波的模式控制有兩種途徑： 一、要求共振腔的體積約為一、要求共振腔的體積約為 ；3二、建立大尺度（二、建立大尺度（L )L )的共振腔的共振腔疑問(wèn)疑問(wèn)：給定大尺寸（：給定大尺寸（L )L )的光學(xué)共振腔，在給定頻率間隔的光學(xué)共振腔，在給定頻率間隔內(nèi)如內(nèi)如 范圍，有

6、多少共振模式？范圍，有多少共振模式？假設(shè)空腔為沿假設(shè)空腔為沿x x、y y、z z方向邊長(zhǎng)為方向邊長(zhǎng)為a a、b b、c c的立方體，其體的立方體，其體積為積為V V，并且振幅調(diào)制場(chǎng)的解具有如下形式：，并且振幅調(diào)制場(chǎng)的解具有如下形式：( , , )sinsinsinxyzE x y zk xk yk z在邊界處光場(chǎng)的分布為在邊界處光場(chǎng)的分布為0 0，故：，故：xyzk ark bsk ctxyzrkaskbtkc（r,s,t 為任意整數(shù)）為任意整數(shù)）不易實(shí)現(xiàn)不易實(shí)現(xiàn)以及有限的頻率范圍。以及有限的頻率范圍。一種模式是電磁波運(yùn)動(dòng)的一種類型，不同的模式以不同的波一種模式是電磁波運(yùn)動(dòng)的一種類型，不同的

7、模式以不同的波矢矢k k區(qū)分區(qū)分, ,在在k k空間中可以將空間中可以將k k寫為：寫為：xyzkxkykzk對(duì)于上式中的對(duì)于上式中的 ，一組（正的）下標(biāo)，一組（正的）下標(biāo)r r、s s、t t對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)一個(gè)獨(dú)立的模式，在一個(gè)獨(dú)立的模式，在k k空間中可以得出一個(gè)光波模式所占的空間中可以得出一個(gè)光波模式所占的體積：體積：,xyzkkk(,)xyzrstkkkabc3aVbcV 模V為共振腔的實(shí)際體積為共振腔的實(shí)際體積zkykxkk在在k k空間中：空間中：22222()xyzkkkknc;2knc2( , , )( , , )r s tk r s tnc為了計(jì)算在為了計(jì)算在k k空間空間0k0k范圍內(nèi)的范圍內(nèi)的模式數(shù)模式數(shù)，應(yīng)將，應(yīng)將k k空間對(duì)應(yīng)的空間對(duì)應(yīng)的體積除以每個(gè)模式的體積因此：體積除以每個(gè)模式的體積因此：33321 4( )83( )6kk VN kV233( )8( )2dNn Vpdc若將若將k k表示為頻率表示為頻率 的函數(shù)，即可得到共振頻率在的函數(shù)，即可得到共振頻率在0 0 范范圍內(nèi)的模式數(shù)：圍內(nèi)的模式數(shù)：3334( )3n VN