函數(shù)的奇偶性與周期公式推導(dǎo)方法

1、函數(shù)的奇偶性與周期公式推導(dǎo)方法一、奇函數(shù)、偶函數(shù)對于函數(shù)，其定義域關(guān)于原點對稱：1、對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f（x）=f（x）或f（x）+ f（x）=0，則稱為奇函數(shù).2、對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f（x）=f（x）或f（x）f（x）=0，則稱為偶函數(shù).二、判斷函數(shù)的奇偶性1、定義法判斷有解析式的函數(shù)的奇偶性例1、判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|x1|； （2）f（x）=（1+x）·；（3）； （4）剖析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進行判斷.解：（1）函數(shù)的定義域x（，+），對稱于原點.f（x）=|x+1|x1|=|x1|x+1|=（|x+1|x1|）=f

2、（x），f（x）=|x+1|x1|是奇函數(shù).先確定函數(shù)的定義域.由0，得1x1，其定義域不對稱于原點，所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。 解：函數(shù)定義域 1x1 是偶函數(shù)（3）去掉絕對值符號，根據(jù)定義判斷.由得故f（x）的定義域為1，0）（0，1，關(guān)于原點對稱，且有x+20.從而有f（x）= = ，這時有f（x）=f（x），故f（x）為奇函數(shù).（4）函數(shù)f（x）的定義域是（，0）（0，+），并且當(dāng)x0時，x0，f（x）=（x）1（x）=x（1+x）=f（x）（x0）.當(dāng)x0時，x0，f（x）=x（1x）=f（x）（x0）.故函數(shù)f（x）為奇函數(shù).評述：（1）分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段證明.（2）判斷函

3、數(shù)的奇偶性應(yīng)先求定義域再化簡函數(shù)解析式.證明抽象函數(shù)的奇偶性例2、已知f（x）是定義在R 上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意的a，bR 都滿足：f（a·b）=af（b）+bf（a） 求f（0），f（1）的值；（2）判斷f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論 分析：應(yīng)用公式f（a·b）=af（b）+bf（a），取a、b 的一些特殊的值進行計算 解：（1）f（0）=f（0·0）=0·f（0）+0·f（0）=0； 由f（1）=f（1·1）=1·f（1）+1·f（1）， 得f（1）=0 （2）f（x）是奇函數(shù) 證明：因為f（1）=f

4、（1） 2 =f（1）f（1）=0， 所以f（1）=0， f（x）=f（1·x）=f（x）+xf（1）=f（x） 因此，f（x）為奇函數(shù) 點評：研究抽象函數(shù)的奇偶性，應(yīng)緊緊圍繞題目所給的抽象函數(shù)的性質(zhì)進行研究如果覺得所給抽象函數(shù)的性質(zhì)符合某些已知函數(shù)（如二次函數(shù)等）的性質(zhì)，可以用已知函數(shù)替代抽象函數(shù)進行思考，探索求解思路。例3、定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足：對任意的，都有.求證：為奇函數(shù)； 思路點撥欲證明為奇函數(shù)，就要證明，但這是抽象函數(shù)，應(yīng)設(shè)法充分利用條件“對任意的，都有”中的進行合理“賦值” 解析令x = y = 0，則f (0) + f (0) = = f (0) f (0) = 0

5、令x(1, 1) x(1, 1) + f (x) = f () = f (0) = 0 f (x) = 在(1，1)上為奇函數(shù)點評：對于抽象函數(shù)的奇偶性問題，解決的關(guān)鍵是巧妙進行“賦值”，而抽象函數(shù)的不等式問題，要靈活利用已知條件，尤其是f (x1) f (x2) = f (x1) + f (x2)奇偶函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用1、奇偶函數(shù)圖象的對稱性（1）奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱。（2）若是偶函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱； 若是奇函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱；例、若函數(shù)在上為減函數(shù)，且對任意的，有，則 A、 B、 C、 D、2、（1）偶函數(shù)的和、差、積、商（分母不為0）仍為偶函數(shù)。 （

6、2）奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù)，奇數(shù)（偶數(shù)）個奇函數(shù)的積、商（分母不為0）為奇（偶）函數(shù)。 （4）奇函數(shù)與偶函數(shù)的積為奇函數(shù)。 （5）定義在（，+）上的任意函數(shù)都可以唯一表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和。（1）若是奇函數(shù)且在處有定義，則。（逆否命題可判斷一個函數(shù)不是奇函數(shù)） （2）奇函數(shù)的反函數(shù)也為奇函數(shù)。 （3）若，則既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，若,則是偶函數(shù)。 函數(shù)的周期性1、定義：對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)，使得定義域內(nèi)的每一個值，都滿足，那么函數(shù)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)叫做這個函數(shù)的周期。 周期性不僅僅是三角函數(shù)的專利，抽象函數(shù)的周期性是高考熱點，主要難點是抽象函數(shù)周期的發(fā)現(xiàn)，主要有幾種情

7、況：2、抽象函數(shù)的周期（1）若函數(shù)滿足 ，則的周期是（2）若函數(shù)滿足 ，則的周期是（3）若函數(shù)滿足 ，則的周期是（4）函數(shù)圖象有，兩條對稱軸型，即=，=，則的周期是（5）函數(shù)滿足，則的周期是 證明：（1）（2）對于定義域中任意滿足，則有，故函數(shù)的周期是（3）若，則得，所以函數(shù)的周期是；同理若，則的周期是（4）函數(shù)圖象有，兩條對稱軸，即，從而得，故函數(shù)的周期是（5）由得，進而得，由前面的結(jié)論得的周期是例、已知定義在上的偶函數(shù)滿足對于恒成立，且，則 解析由得到，從而得，可見是以4為周期的函數(shù)，從而，又由已知等式得又由是上的偶函數(shù)得，又在已知等式中令得，即，所以例、已知定義在 R 上的奇函數(shù) f(x

8、)滿足f(x+2)=f(x)，則f(6)的值為（ ） A1 B. 0 C. 1 D. 2函數(shù)的周期公式推導(dǎo)步驟及習(xí)題f(x+a)= -f(x) ,f(x+a)= ,f(x+a)=- , 這幾個式子的周期為什么是2a?1. f(x+a)= -f(x) 2. f(x+a)= 3. f(x+a)= - 4. f(x+a)= 5. f(x+a)= f(x+a)= 6. f(x+a)= f(x+a)=f(x-a) 這幾個式子的周期為什么是2a?推導(dǎo)步驟如下1.f(x+a)= -f(x) .(1)兩邊x用x-a代左邊=f(x)= 右邊= -f(x-a).(2)把(2)帶入(1)得f(x+a)= -f(x)= f(x-a)即f(x+a)=f(x-a)x用x+a代得f(x)=f(x+2a)所以周期是 2a這類的題目都是x用另一個函數(shù)帶只要最后是f(x)=f(x+周期)習(xí)題練習(xí)1.已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(x+4)= f(x)，當(dāng)x（0.2）時，f(x)2x2 則， f(7) （ ） A.-2 B. 2 C. -98 D. 98 2. 設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x). f(x+2)13.若f(1)2 求f(99)A.13 B. 2 C. 13/2 D. 2/13 3. 已知f(x)在R上是奇函數(shù)，且f(x)滿足f(x+2)=-