流體力學習題

1、流體力學習題習題一 場論和張量代數(shù)1證明 ,其中為單位向量。2證明，其中是變矢量，是單位常矢量。3用兩種方法證明。4有一張量，將其分解為對稱的和反對稱的兩部分，并以表示相當于反對稱部分的矢量，。試證，其中及為任意矢量。5張量為反對稱張量的充分必要條件是：對任意矢量有下述恒等式成立：習題二 流體運動描述1 流體質點繞軸以等角速度 旋轉，（1）試以歐拉變量寫出流體運動的速度場；（2）試以拉哥朗日變量寫出流體質點的運動規(guī)律；（3）試分析流場的流線和軌跡；（4）試求流體質點的加速度；（5）用極坐標解此題。2 一維收縮管內的不可壓縮流動，其速度分布為：，試決定：（1）流場內任一質點的加速度（2）給出 t

2、=0時刻位于點的質點的運動規(guī)律，并比較用兩種方法得到的加速度。3 流體質點在定常流場內運動，流體質點是否具有加速度，為什么?4 設流場為：，。試求流場的流線，流體質點的軌跡和加速度，并以拉哥朗日變數(shù)表示質點的速度和加速度。5 設流場為：，其中和 均為常數(shù)。試求：t=0 時經(jīng)過點M(a，b，c)的流線及t=0時經(jīng)過M(a，b，c)處的流體質點的軌跡，最后考慮時的情形。6 考慮下述速度分量定義的二維流動：其中A、B、C 為常數(shù)。試證流線為直線，質點的軌跡為拋物線。7 二維流場，試決定其流線與軌跡。8 設流場的速度分布為：其中 k 為常數(shù)，試求流線、軌跡和流體質點的加速度，并用極坐標解上題。9 試證

3、明由直角坐標系到極坐標系和由極坐標系到直角坐標系速度的變換公式如下：10 已知流體運動的速度大小和流線的方程分別為和constant，試求速度場兩速度分量。11 已知二維流動：，試求流線方程和通過點（2，3）的流線。12 一定常流管，其中心線上的流速在40cm的一段距離內由14m/s變?yōu)?5m/s。若變化是均勻的，求這段上起點和終點的對流加速度。13 試導出在極坐標，柱坐標及球坐標系中之流線和軌跡的微分方程。14 速度場為，其中，速度的單位為m/sec，y以米給出，=2m/sec，b=1m/sec，試決定場點（1，2，0）上的速度分量以及通過該點的流線的斜率。15 在二維不定場流場內，同一時刻

4、測的速度分量為：x y u v 0 0 20 101 0 22 150 1 14 5在x=0，y=0 點上，于不同時刻也進行了速度測量，測量結果為：t u v0 20 10 30 10 其中u、v 的單位為 m/sec，t 的單位為sec ，x、y的單位為 m，試求出 x=y=0點上分別沿x和y方向的平均加速度分量。習題三 質量連續(xù)性方程1 試證明不可壓縮流體作定常流動時，速度必沿等密度面進行，反之亦然2 已知某平面不可壓流場的速度沿x 軸方向的分量為：求沿y 軸方向速度分量v，已知y=0時，v=0 3 某流場，以拉哥朗日變數(shù)表示為： 其中為常數(shù)，a， b為拉哥朗日變數(shù)， 試證明此流場為不可壓

5、流場。4 流體在彎曲的細管中流動，試分別以拉哥朗日變數(shù)和歐拉變數(shù)給出連續(xù)方程式。5 設有一明渠，寬為 b(x)，水深為h(x，t)，x代表明渠任一界面的位置。如果認為同一截面上速度相同，即v=v(x)，試求連續(xù)方程。6 在上題中，如果靜止時h=h(x)（即渠底不平），由于外部擾動，使自由表面產(chǎn)生了一波動，此時任一截面的水深可表為， 其中，為波剖面。設流體為不可壓流體，試證明此時連續(xù)方程為：7 設為一細流管的截面面積，試證明連續(xù)方程為：8 流體質點的運動對于某固定中心對稱，求其連續(xù)方程。如流體為不可壓，闡明此連續(xù)方程的物理意義。9流體質點在通過oz軸的諸平面上運動，求連續(xù)方程式。10流體質點的軌

6、跡為圓，且這些圓的圓心都位于某一固定軸上，試證明連續(xù)方程為：式中為流體質點繞軸轉動的角速度。11如果流體質點的軌跡位于共軸的圓柱面上，試求其連續(xù)方程式。12不可壓流體在一平面內運動，在極坐標系下，已知： 其中k為常量，試給出速度的分量和速度的大小。13如果流體質點在一球面上運動，證明連續(xù)方程為：此處分別為緯度和經(jīng)度，分別為質點位置經(jīng)度和緯度的變化率。14流體質點的運動位于軸線與z軸共軸并有共同頂點的圓錐面上，試求連續(xù)方程。15一脈沖在一均勻直管中傳播，已知 ，求質點的速度分布，設原點處質點的速度為。16說明是否為一不可壓流動。假設一個不可壓流動的速度x分量為u=x，那么，其y分量v的函數(shù)形式是

7、什么形式？習題四 速度分析 有旋運動和無旋運動 1 流速在平板附近的速度分布為：，試求流體微團的膨脹速度，和轉動角速度。2 在無旋流動中，時刻組成小球的質點在d時間后必然構成橢球面，試證之。3 在勻變形情況下，位于同一平面上的質點永遠位于同一平面上，位于同一直線上的質點永遠位于同一直線上，試證之。4 以A代表某個流動的變形速度張量，試證明剪切速度可分別被解釋為由于剪切變形引起的位于x-y， x-z和y-z三個坐標面上的正方形對角線的相對伸長速度。5 流體運動時，流線為繞OZ軸之同心圓，角速度與離OZ軸距離的n次方成正比，求旋度及流體的自轉角速度。6 驗證下列平面流動是否為不可壓縮流動。并證明哪

8、一個是有旋的，哪一個是無旋的，對于無旋場給出速度勢函數(shù)。a) ， b) ， c) ， d) 7 一平面流場：，證明其代表一不可壓流場，并且是無旋的，并試給出其速度勢函數(shù)。8 給出下述有旋運動的速度場及渦線：a) 流體與剛體一樣具有角速度繞OZ軸旋轉；b) 流場：；c) 流體質點的速度與質點到OX軸的距離成正比，并且與OX 軸平行。9 已知速度勢如下，試求對應的速度場、流體質點加速度及流線。a) ；b) 。10 不可壓流體在單連通區(qū)域內做無旋運動，試證明對于任何的封閉曲面s均有。11 在不可壓縮無旋流動中，流場內任一內點上，速度勢不可能取得極值，試證明之。習題五 量綱分析和相似理論1 截面為半圓

9、形的無限長直管中的不可壓縮流體做層流運動，沿管軸方向某一長度上的壓降為。管中的平均流速，管的半徑，流體粘性系數(shù)有關。試由量綱分析原理推出管中體積流量如何隨、和變化。2.右圖示水壩溢流，水的密度與粘度為和。試用量綱分析導出溢過單位寬度水壩的體積流量與那些量有什么無量綱關系。又若已知來流速度為，求與什么無量綱量有關。hH3在很低雷諾數(shù)下, 繞某物體的流動服從下述Stokes方程組: , ,在物面上，在無窮遠處(沿軸方向)。試用量綱分析論證：此物體所受阻力的大小應該與特征尺寸的幾次方成正比？4用：30的模型在水槽中研究潛艇阻力問題。若實際潛艇水下航速為10knot，試確定研究摩阻時，模型拖拽速度多大

10、。5一模型港尺度比為280：1，設真實storm wave 振幅1.524m，波速9.144m/s，那么模型實驗中的這振幅和波速分別是多少？習題六 理想流體動力學方程組和邊界條件（本習題中除特殊說明外，流體均為均勻不可壓理想流體）1 流體邊界如下，求邊界面的法向速度。2 橢圓柱以速度作垂直于其軸線的直線運動，試寫出橢圓柱的曲面方程式。3 試導出在柱坐標和球坐標系下，活動邊界的邊界條件。ABC4 炸彈在水下很深的地方爆炸，證明水中任一點的壓強與這點到炸彈中心的距離成正比。5 一垂直折管A B C（），C端封閉，并使AB段豎直放置（如圖4-1）。管中充滿液體。如果將C端開放，試證明在開啟的瞬間，垂

11、直管中的壓強減少一半（如果 AB=BC ），并求水平圖4-1管中壓強的變化（不計大氣壓強）。6 設有不可壓重流體，盛在直立的圓柱形容器內，以等角速度繞圓柱軸線穩(wěn)定旋轉。若已知流體靜止時液面的高度為h，圓柱半徑為a，不計大氣壓強，試求：（1）流體內部的壓強分布；（2）自由表面的形狀；（3）容器底部受的總壓力。7 設某流動的速度勢在柱坐標系下可以表示為，且自由表面壓強為常值，于為無窮遠處，水面高為h，試求自由表面的方程式。圖4-2ABC Da8 水平直細管內有一長為2的不可壓縮流體，流體受管中點的吸引，引力與到管中點的距離呈正比。求流體的速度及壓強分布。不考慮大氣壓強。9 截面均勻的垂直細管 在下

12、端分為水平的兩個小管BC 和 CD，其截面積為垂直管截面積一半，（見圖4-2），在管子結合處各有龍頭開關，關閉龍頭并使液體在垂直管中的高度為a。當兩龍頭打開后，試求液體的運動規(guī)律。 10設空氣中有一肥皂泡，成球狀，如果肥皂泡以規(guī)律R=R(t)膨脹，且認為膨脹率很小，因而空氣可以看作是不可壓縮的，試求肥皂泡的表面壓強，設無窮遠處氣體的壓強為，且不計質量力。11液體置于封閉的圓柱形筒內，受外力的作用自靜止開始繞筒的軸線運動，已知外力在方向的兩分力分別為，證明： 已知角速度僅為時間t的函數(shù)，且均為常數(shù)，不考慮重力的作用。12在流體內部突然形成了一個半徑為a 的球形空穴，假定流體為不可壓縮并且充滿整個

13、空間，試決定流體充滿空穴所需要的時間。（假定無窮遠處流體的速度為0，壓強為 P0）13一完全浸沒在不可壓縮流體內部的球照規(guī)律R=R(t) 膨脹，試決定球面上的流體壓力。14均勻截面直細管內的氣體服從Boyle 定律()，試證明：式中為密度，v 為速度，x為離開參考點的距離。15試從歐拉觀點出發(fā)，對于小微元推導平面輻射流動沿徑向(方向)的運動方程(應力形式)。16在直角坐標系下，均質不可壓縮流體定常運動的速度為, ，(是常數(shù))，流體內能和溫度只是的函數(shù)。設流體粘度等于常數(shù)，熱傳導系數(shù)，質量力只考慮重力(沿方向)，無其它熱源。試從歐拉觀點出發(fā)，取一小微元，推導出能量方程。17一個無限大的平板原來靜

14、止，其一側的半空間充滿原來也是靜止的均質不可壓縮粘性流體（粘度為常數(shù)）。時刻此平板突然以常速度沿板面某一方向滑移。假設半空間中流體速度都與平行，且只與到平板的距離及時間有關，壓強處處均勻，不計質量力。（1）請選擇適當?shù)淖鴺讼担媹D注明；（2）指出應力張量中哪些分量恒為零，并把全部非零分量用流體速度和壓強表示出來；（3）選擇適當?shù)男∥⒃w積（畫圖），從歐拉觀點出發(fā)，推導運動方程（最后的方程用速度表達），并列出定解條件。習題七 理想流體動力學方程的積分（本習題中，除特殊說明外，流體均為理想不可壓流體）1 絕熱氣體（）沿一直細管流動，如果不計質量力，試證明多項式 沿管子為常值。式中為流體的流速，分別

15、表示壓強和密度。如果沿流動方向管子是收縮的，那么當時，V將沿流動的方向增加，將沿流動的方向減少。2 設氣體狀態(tài)滿足，氣體通過一細導管流出一大的密閉容器。已知容器內的壓強為大氣壓強的n倍。不考慮容器內流體的勢能，證明流出的速度V由下式給出：，式中為出口處的密度。3 有一截面變化的長方形溝渠，底部水平，水定常地通過此渠。如果V，h 分別為流體的速度和流體表面的高度，當時，則高度h將隨溝渠寬度的增加而增加，而流速將隨溝渠寬度的增加而減少，試證明之。4 在一流管中取兩個斷面，兩斷面間流體總質量為，兩個斷面上的速度勢分別為，試證明此兩斷面間流體的動能可寫為：。syh圖5-15 如圖5-1，虹吸管 y=2

16、m ，h=6m ，管的直徑為15cm，求 a）管內的流量b）最高點s處的壓強c）假如y為未知，求虹吸管吸不出水時之y 為何值。6任意形狀的物體置于等速定常流動的無限流體中。試證明流體不受任何阻力。7有一均勻截面之折管內充以不可壓縮流體（圖5-2），處有一開關，當 t0 時，開關緊閉， CA=AB=h，截面積為單位面積。求剛打開開關時 (t=0) 及打開開關后(t>0 )壓強之分布規(guī)律。8勻速地將水注入直立的圓柱形盆內，注入流量為 q=15cm3/s。盆底有一極小的孔，其截面積為s=0.5cm2 ，問盆中水面保持多大的高度。9兩個截面積相等的高度為C的封閉圓柱，將其放在同一水平面上，一管充

17、滿水，一管充以空氣。空氣壓強為p，與水柱h平衡（hc）。如果連通兩管之底部（圖5-3），設空氣運動時是等溫壓縮的，求X最大值。Cx圖5-3CAB圖5-2 習題八 理想流體勢流問題1已知速度勢及流函數(shù)：（a）= =（b）=2xy =x2y2試寫出復勢 W=W(z) 的表達式。2 如果速度勢，求此流動之復勢。3 對于二維可壓縮流動，相應流函數(shù)存在的條件是定常運動，試證之。4 設，試證明質點的速度和加速度與到原點的距離成正比。5 求偶相對于某一直線的像。6 求偶相對于半徑為a之圓的像，并證明其強度與原偶之強度的比為a2/2，此處F為原偶至圓中心的距離。7 試研究由復勢： （m0）所確定的流動。源和匯

18、在哪些點上？設，求速度勢及流函數(shù)，并證明可以將運動看作在坐標軸及半徑為1的圓所圍繞的象限之內；求通過連接兩點的線段的流體體積通量。8 如果點有強度為m的源，在z=0點有同等強度的匯，求在 x，y 坐標軸所限的象限內流體運動的復勢以及極坐標系下的流線方程，并求在z=1點的速度值。9 平面邊界附近有強度為m的源，求：a) 邊界上的速度分布及最大值點；b) 邊界上的壓強分布及壓強最小值點；c) 設邊界為單位寬度且無限長，求源對邊界的作用力。10 求圓柱外之源作用在圓柱上的力，取圓柱高為一個單位。11 求圓柱外之偶作用在圓柱上的力，取圓柱高為一個單位。12 設半徑為a的圓外有一源m和匯()，在極坐標系

19、下，它們分別位于處，求流場的復勢，并研究的情況。13 一截面半徑為a的圓柱橫置于速度為V且無限遠處壓強為的均勻水流中，試求作用在到之間的柱體上的作用力。式中指向上游。V14 兩個強度為m的源分別在(-a ，0) 和 (a，0)處，另有一個強度為2m的匯在原點，證明流線為：； 再證明任意一點的速率為：，其中分別為該點到兩個源和匯的距離。15 設在(-a ，0) 和 (a，0)兩點有強度均為m的源，在 (0，a)和(0，-a) 點有相同強度的匯，證明過此四點的圓及兩坐標軸皆為流線；進一步證明任一點的速率為。16 半徑為a的圓內有偏心渦，求復勢，速度分布和流線。17 兩個同心的無窮長圓柱面之間充滿均

20、質不可壓縮理想流體做無旋運動。外柱面不動，內柱面以常速度沿軸做直線運動?，F(xiàn)在欲求這一瞬時的流體速度分布。試用(a)速度勢(b)流函數(shù)和(c)復勢分別給出問題的完整數(shù)學提法，但不必求解。18 設半徑為的無窮長的圓柱在無窮的理想不可壓靜止流體中沿軸(與柱軸垂直的方向)作不定常平動，速度為，求流體對圓柱的慣性阻力，并寫出該圓柱體的運動微分方程。19 半徑為和的兩球面間充滿密度為的理想不可壓縮流體。設外球面靜止，內球面沿軸以速度平移，某一瞬時恰好兩球面同心。若流體運動無旋，試求流場所含動能。習題九 粘性流體的運動1 粘性系數(shù)為的流體沿水平圓截面管子做定常流動，設速度為q，壓強梯度為p，（1） 證明，

21、式中，是流體質點到管子中心軸線的距離。（2） 給出通過管子的體積流量。2 粘性流體在兩共軸圓柱面之間的區(qū)域內作平行于軸線的定常運動，兩共軸圓柱面的半徑分別為。證明流量為：式中，p為壓強梯度；求平均速度。3 討論兩無限長水平平行平板間的定常層流運動。如其中一平板固定另一平板以速度在其所在平面內等速平移運動，求作用在上下平板上的摩擦應力。4 把上題的平行平板傾斜放置，與水平成角，運動情況如何？如設下平板固定，上平板平移的速度為何值時可使作用在下平板上的摩擦應力為零？分別就在水平方向上有無壓強差兩種情況進行討論。5 一皮帶通過一液體池鉛直向上以勻速運動，由于粘性帶走一層流體（厚度h，密度，粘性系數(shù)），而重力使這層流體下流。試給出流體運動速度應滿足的邊界條件，流體層內的速度分布。假定保持定常層流狀態(tài)，鉛直方向無壓力差，略去大氣對流體表面的摩擦。6 兩無限大平行平板間有兩層不同密度