第4講代數(shù)綜合

1、第4講 代數(shù)綜合 一 一次函數(shù)1 正比例函數(shù)一定經(jīng)過(guò)_點(diǎn)2 一次函數(shù)的性質(zhì)：（1） 當(dāng)時(shí)，其圖象定經(jīng)過(guò)_象限；時(shí)，其圖象定經(jīng)過(guò)_象限（2） 當(dāng)時(shí)，其圖象與軸交于_半軸；當(dāng)時(shí)，其圖象與軸交于_半軸3 一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)為_(kāi)，與軸的交點(diǎn)為_(kāi) 4 若兩直線(xiàn)與平行，則兩直線(xiàn)的一次項(xiàng)系數(shù)_二 二次函數(shù)1 二次函數(shù)的定義：一般地，形如_（，常數(shù)，_）的函數(shù)稱(chēng)為的二次函數(shù)，其中為二次函數(shù)的_，二次函數(shù)的_，二次函數(shù)的_2 二次函數(shù)的解析式填表：一般式頂點(diǎn)式交點(diǎn)式解析式頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸3 二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)為_(kāi)和_，軸的交點(diǎn)為_(kāi) 4 五點(diǎn)畫(huà)圖法：在對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)，左右對(duì)稱(chēng)地描點(diǎn)畫(huà)圖一般我們選取的五點(diǎn)為：_；_；_；

2、_；_三 反比例函數(shù)1 反比例函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于_象限；當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別位于_象限2 如圖，反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)向兩坐標(biāo)軸作垂線(xiàn)，垂線(xiàn)與坐標(biāo)軸所圍成矩形的面積為_(kāi)如圖，反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)向軸或軸作垂線(xiàn)，并連接原點(diǎn)，所圍成三角形的面積為_(kāi)四 函數(shù)的平移：1 平移口訣“左加右減，上加下減” 2 填表：向左平移個(gè)單位向右平移個(gè)單位向上平移個(gè)單位向下平移個(gè)單位（了解）五 函數(shù)的對(duì)稱(chēng)：1 對(duì)稱(chēng)口訣“關(guān)于誰(shuí)，誰(shuí)不變，另外一個(gè)變相反，關(guān)于原點(diǎn)都要變” 2 填表：關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（了解）3 關(guān)于特殊直線(xiàn)或的對(duì)稱(chēng)的解題步驟：（1） 先用五點(diǎn)畫(huà)圖法畫(huà)出函數(shù)的

3、圖象，再根據(jù)題意進(jìn)行對(duì)稱(chēng)；（2） 求出對(duì)稱(chēng)后的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3） 若關(guān)于對(duì)稱(chēng)，的符號(hào)和值都不變；若關(guān)于對(duì)稱(chēng)的符號(hào)改變，值不變；（4） 根據(jù)和對(duì)稱(chēng)后的頂點(diǎn)坐標(biāo)利用頂點(diǎn)式寫(xiě)出對(duì)稱(chēng)后的解析式【練1】 （2014年中考）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式及對(duì)稱(chēng)軸；（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，點(diǎn)是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，記拋物線(xiàn)在，之間的部分為圖象（包含，兩點(diǎn)）若直線(xiàn)與圖象有公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，求點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍【練2】 （2013年中考）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)（）與軸交于點(diǎn) ，其對(duì)稱(chēng)軸與軸交于點(diǎn) 。（1）求點(diǎn)，標(biāo)；（2）設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)AB關(guān)于該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，求直線(xiàn)的解析

4、式；（3）若該拋物線(xiàn)在這一段位于直線(xiàn)的上方，并且在這一段位于直線(xiàn)的下方，求該拋物線(xiàn)的解析式?！纠?】 （2013年?yáng)|城一模）已知關(guān)于的一元二次方程（1）求證：無(wú)論取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）當(dāng)為何整數(shù)時(shí)，原方程的根也是整數(shù)【題型總結(jié)】整數(shù)根問(wèn)題1 給出參數(shù)范圍：通過(guò)計(jì)算可得是的一次形式即的形式，然后通過(guò)已知條件可以求出參數(shù)的取值范圍，在取值范圍內(nèi)取值使方程的根為整數(shù)即可；2 分離常數(shù)法：通過(guò)計(jì)算可得是完全平方形式即的形式（假設(shè)是一元二次方程中的參數(shù)），然后利用求根公式表示出及，并分離常數(shù)化簡(jiǎn)成分子不含參數(shù)的形式，例如表示為或，然后通過(guò)分母是分子的因數(shù)及負(fù)因數(shù)求解分母中的參數(shù)；3

5、 枚舉法：通過(guò)計(jì)算可得是的二次形式，但不是完全平方，即的形式，那么設(shè)，之后整理成，再利用平方差分解成，由題可得是整數(shù)，所以把分解成兩個(gè)整數(shù)相乘的形式，可得，因?yàn)榈忍?hào)左右兩邊對(duì)應(yīng)相等，可將等號(hào)左右兩邊分別相加再相等及可求出的值.【例2】 （2013年海淀期末）拋物線(xiàn)與軸交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，與軸交于點(diǎn)，（1） 求這條拋物線(xiàn)的解析式；（2） 若點(diǎn)與點(diǎn)在（1）中的拋物線(xiàn)上，且，. 求的值； 將拋物線(xiàn)在下方的部分沿翻折，拋物線(xiàn)的其它部分保持不變，得到一個(gè)新圖象.當(dāng)這個(gè)新圖象與軸恰好只有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是_.【題型總結(jié)】代數(shù)式求值消元思想常見(jiàn)的代數(shù)式求值的題型為整體代入及降次，解題思想就是

6、用消元的方法減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，并最終消除所有未知數(shù)，得到答案1 整體代入：題中給出或能夠根據(jù)題意得出一個(gè)基本關(guān)系式，將此關(guān)系式直接代入或變形后代入題中要求的代數(shù)式即可2 降次：若題中題中的代數(shù)式出現(xiàn)較高的次冪，比如，可將變形為，再將由題中得到基本關(guān)系式變形為的形式，代入變形后的代數(shù)式即可【例3】 （2014年懷柔一模）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式（2）直接寫(xiě)出當(dāng)時(shí)，的取值范圍（3）將一次函數(shù)的圖象向下平移個(gè)單位后，與二次函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是和，其中，試求的取值范圍【題型總結(jié)】函數(shù)與不等式問(wèn)題解題思路：找交點(diǎn)分區(qū)域比高低寫(xiě)結(jié)論（注意等號(hào)的取舍）要求

7、畫(huà)圖要精準(zhǔn)，用數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)分析，尋找到臨界點(diǎn)，計(jì)算即可【例4】 （2013年豐臺(tái)一模）二次函數(shù)，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1）函數(shù)的解析式；（2）函數(shù)的圖象在軸下方的部分沿軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象，請(qǐng)你結(jié)合新圖象回答：當(dāng)直線(xiàn)與這個(gè)新圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍【題型總結(jié)】一次函數(shù)與二次函數(shù)的公共點(diǎn)問(wèn)題本題型經(jīng)常會(huì)涉及一次函數(shù)與二次函數(shù)相切的問(wèn)題，相切時(shí)聯(lián)立兩函數(shù)得一元二次方程，利用二次方程的求出參數(shù)的值1 直線(xiàn)可平移：已知一次函數(shù)的值，可先畫(huà)出的圖像，然后向上及向下平移進(jìn)行分析2 直線(xiàn)繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)：已知一次函數(shù)的值或與之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，先找出一次函數(shù)一定經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)（或已

8、知一次函數(shù)經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)），比如，過(guò)定點(diǎn)畫(huà)直線(xiàn)，并繞著定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)進(jìn)行分析3 二次函數(shù)關(guān)于水平線(xiàn)翻折：二次函數(shù)的一部分關(guān)于水平線(xiàn)翻折，其余部分保持不變，需要畫(huà)出變換后的圖象再進(jìn)行分析【例5】 （2014年石景山一模）已知關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且為非負(fù)整數(shù)（1）求的值；（2）將拋物線(xiàn)：向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位得到拋物線(xiàn)，若拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（3）將拋物線(xiàn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到拋物線(xiàn)，若拋物線(xiàn)與直線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)且交點(diǎn)在其對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)，求的取值范圍 【題型總結(jié)】函數(shù)的幾何變換1 平移口訣“左加右減，上加下減” 2 對(duì)稱(chēng)口訣“關(guān)于誰(shuí)誰(shuí)不變，關(guān)于原點(diǎn)都要變” 3 關(guān)于特殊直線(xiàn)或的對(duì)稱(chēng)，只要求出對(duì)稱(chēng)

9、后的頂點(diǎn)坐標(biāo)及判斷的符號(hào)是否發(fā)生改變，利用頂點(diǎn)式寫(xiě)出解析式即可4 旋轉(zhuǎn)：函數(shù)的旋轉(zhuǎn)一般只考旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中不變，因此求出旋轉(zhuǎn)后的頂點(diǎn)坐標(biāo)及判斷的符號(hào)是否發(fā)生改變，利用頂點(diǎn)式寫(xiě)出解析式即可【例6】 （2014年密云一模）已知拋物線(xiàn) （1）若，求該拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若，證明拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；（3）若， 且拋物線(xiàn)在 區(qū)間上的最小值是，求的值.【題型總結(jié)】二次函數(shù)的最值含參數(shù)的二次函數(shù)求最值的問(wèn)題主要是考查分類(lèi)討論的思想，注意分類(lèi)的情況要全面，解題思路都圍繞著對(duì)稱(chēng)軸與自變量的取值范圍進(jìn)行分類(lèi)討論 1 “動(dòng)軸定區(qū)間”型的二次函數(shù)最值2 “動(dòng)區(qū)間定軸”型的二次函數(shù)最值3 “動(dòng)軸動(dòng)區(qū)間”型

10、的二次函數(shù)最值【例7】 （2015年海淀期末）在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，（1）求代數(shù)式的值；（2）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求代數(shù)式的值；（3）若反比例函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，且該交點(diǎn)在直線(xiàn)的下方，結(jié)合函數(shù)圖象，求的取值范圍【題型總結(jié)】反比例函數(shù)問(wèn)題1 反比例函數(shù)與一次函數(shù)或二次函數(shù)交點(diǎn)的問(wèn)題2 反比例函數(shù)的幾何意義的問(wèn)題 【練1】 （2014年朝陽(yáng)一模）已知關(guān)于的一元二次方程（1） 如果該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的取值范圍（2） 在（1）的條件下，關(guān)于的二次函數(shù)的圖像與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都是整數(shù)，且時(shí)，求的整數(shù)值【練2】 （2013年西城一模）已知關(guān)于的一元二

11、次方程（1）求證：無(wú)論為任何實(shí)數(shù)，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）拋物線(xiàn)與軸的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，其中，將拋物線(xiàn)向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位，得到拋物線(xiàn)求拋物線(xiàn)的解析式；（3）點(diǎn)和都在(2)中拋物線(xiàn)上，且、兩點(diǎn)不重合，求代數(shù)式的值【練3】 （2013年海淀一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與軸交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（1）求點(diǎn)坐標(biāo)；（2）直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn) 求直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的解析式； 點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，垂足為將拋物線(xiàn)在直線(xiàn)上方的部分沿直線(xiàn)翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新圖象請(qǐng)結(jié)合圖象回答：當(dāng)圖象與直線(xiàn)只有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是_【練4】 （2011年中考）在平面直角坐標(biāo)系中，

12、二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），與軸交于點(diǎn)（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）當(dāng)時(shí)，求的值；（3）已知一次函數(shù)，點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)垂直于軸的直線(xiàn)交這個(gè)一次函數(shù)的圖象于點(diǎn)，交二次函數(shù)的圖象于點(diǎn)若只有當(dāng)時(shí)，點(diǎn)位于點(diǎn)的上方，求這個(gè)一次函數(shù)的解析式【練5】 （2013年平谷一模）已知關(guān)于的一元二次方程=0.（1）判定方程根的情況；（2）設(shè)為整數(shù)，方程的兩個(gè)根都大于且小于，當(dāng)方程的兩個(gè)根均為有理數(shù)時(shí)，求的值【練6】 （2014年昌平一模）如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若反比例函數(shù)（）的圖象與二次函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，落在兩個(gè)相鄰的正整數(shù)之間，請(qǐng)你直接寫(xiě)出這兩個(gè)相鄰的正整數(shù)；（3）若反比例函數(shù)（，）的圖象與二次函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，且，試求實(shí)數(shù)的取值范圍1 常見(jiàn)的整數(shù)根問(wèn)題分為給出參數(shù)范圍，分離常數(shù)法，枚舉法；2 代數(shù)式求值的思想是消元，常見(jiàn)題型是整體代入及