1平面向量及其線性運算

1、學案24平面向量及其線性運算導學目標：1了解向量的實際背景.2.理解平面向量的概念、理解兩個向量相等的含義.3理解向量的幾何表示 4掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義.5.掌握向量數(shù)乘的運算及其意義，理解兩個向量共線的含義6了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義.課前準番厘回扣教材衛(wèi)Z自主梳理1. 向量的有關(guān)概念向量的定義：既有 又有的量叫做向量.(2) 表示方法：用 來表示向量有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向.用字母a, b,或用AB, BC，表示.(3) 模：向量的 叫向量的長度或模，記作 或.零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作0;零向量的方向是 .(5)

2、 單位向量：長度為 單位長度的向量叫做單位向量.與a平行的單位向量 e(6) 平行向量：方向 或的向量；平行向量又叫 ，任一組平行向量都可以移到同一直線上規(guī)定：0與任一向量 .(7) 相等向量：長度 且方向的向量.2向量的加法運算及其幾何意義(1) 已知非零向量a, b,在平面內(nèi)任取一點 0,作0A= a, AB = b,則向量OB叫做a與b的，記作，即= 0A+ AB =，這種求向量和的方法叫做向量加法的.(2) 以同一點0為起點的兩個已知向量a,b為鄰邊作？OACB,則以0為起點的對角線0C就是a與b的和，這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的 .加法運算律a+ b =(交換律);(a +

3、b) + c=(結(jié)合律).3. 向量的減法及其幾何意義(1) 相反向量與 a、的向量，叫做 a的相反向量，記作 .(2) 向量的減法 定義a b = a+，即減去一個向量相當于加上這個向量的 . 如圖，AB = a, AD = b，則AC=, DB =.D b A4. 向量數(shù)乘運算及其幾何意義(1) 定義：實數(shù) 入與向量a的積是一個向量，記作 ，它的長度與方向規(guī)定如下： 龐I=； 當?>0時，池與a的方向;當 X0時，掃與a的方向;當a = 0時,淪=;當入=0時，?a=.(2) 運算律設人是兩個實數(shù)，則 X歸)=.(結(jié)合律) (入+ Ma=.(第一分配律) Xa+ b) =.(第二分配

4、律)(3) 兩個向量共線定理：向量b與a (a 0)共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)入使b=)a.5重要結(jié)論-> 1 -> -> ->(1) PG= 3(PA + PB + PC)? G ABC 的;(2) PA + PB + PC = 0? P ABC 的自我檢測1. (2010四川改編)設點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，BC2= 16, |AB + AC|= |AB- AC|,則 |AM| =.2. 下列四個命題： 對于實數(shù) m和向量a, b，恒有 m(a b)= ma mb; 對于實數(shù) m和向量a, b (m R)，若ma= mb,貝U a= b; 若 m

5、a = na (m, n R , a豐 0)，貝U m = n; 若 a= b, b= c,貝U a = c,其中正確命題的個數(shù)為.3. 在?ABCD 中，AB = a, AD = b, AN = 3NC, M 為 BC 的中點，貝V MN用 a, b 表示為4. (2010湖北改編)已知 abc和點m滿足Ma + Mb + Mc = o若存在實數(shù) m使得Ab +Ac = mAM成立，則 m=.5. (2009安徽)在平行四邊形 ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，若AC = AE+ pAF，其中？、卩 R,則H尸課堂潔動匱|MBSMIMl探究點一平面向量的有關(guān)概念辨析例1有向線段就是

6、向量，向量就是有向線段；向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反; 向量AB與向量CD共線，則A、B、C、D四點共線； 如果a / b, b/ c,那么a/ c.以上命題中正確的個數(shù)為 .變式遷移1下列命題中正確的有(填寫所有正確命題的序號). |a|=|b|? a = b; 若 a= b, b= c,貝U a = c; |a|= 0? a= 0; 若A、B、C、D是不共線的四點，貝y Ab = Dc?四邊形ABCD是平行四邊形.探究點二向量的線性運算例2 已知任意平面四邊形 ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點.求證：EF = (AB+ DC).變式遷移2 如圖所示，若四邊形ABCD

7、是一個等腰梯形，AB/ DC , M、N分別是DC、AB 的中點，已知 AB = a, AD = b, DC = c,試用 a、b、c 表示 BC, MN , DN + CN.探究點三共線向量問題例3如圖所示，平行四邊形 ABCD中，Ad = b, AB = a, M為AB中點，N為BD靠近 B的三等分點，求證：M、N、C三點共線.變式遷移3設兩個非零向量e-1和e?不共線.（1）如果 AB = ei e?, BC= 3ei+ 2e?, CD = 8ei 2e?,求證：A、C、D 三點共線；（2）如果 Ab = ei + e2, BC= 2ei 3e2, CD = 2ei ke2,且 A、C、

8、D 三點共線，求 k 的值.-> i ->->i.若點P為線段AB的中點，0為平面內(nèi)的任意一點，則 OP = 2（0A+ 0B）.如圖所示.2. 證明三點共線問題， 可用向量共線來解決， 但應注意向量與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系, 當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線.3. 三點共線的性質(zhì)定理：若平面上三點 A、B、C共線，則AB = BC.（2）若平面上三點 A、B、C共線，0為不同于 A、B、C的任意一點，則0C = QA + QB, 且?d- i= 1.（滿分：90分）一、填空題（每小題6分，共48分）（填上正確的序1若0、E、F是不共線的任意三點，則以下各式中成立的是

9、 號）2. 設 a, b 為不共線向量，AB = a+ 2b, BC= 4a b, CD = 5a 3b，則使 AD = BC 成立的入值為.3. 設a, b是任意的兩個向量，入 R，給出下面四個結(jié)論： 若a與b共線，則b =; 若b=掃，則a與b共線； 若a= b則a與b共線； 當0時，a與b共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)A入，使得a=入b.其中正確的結(jié)論有 （填上正確的序號）.4. 在厶ABC中，Ab= c, AC = b,若點D滿足BD = 2DC ,則AD用b, c表示為.5. （2010廣東中山高三六校聯(lián)考）在厶ABC中，已知D是AB邊上一點，若AD = 2DB ,000AD =

10、xAB + yAC ,CD = 3CA+ 沅，貝V 冶.7.已知 OP1= a, OP2= b,PiP2=滬P2（" 0），則 OP =.C是平面上不共線三點，動點P滿足OP = OA + XAB + AC）,6. （2009湖南）如下圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起，若 貝H x=, y=.& O是平面上一點，A, B, 匸1時，則PA （PB+ PC）的值為二、解答題（共42分）9. （14分）若a, b是兩個不共線的非零向量，a與b起點相同，則當t為何值時，a, tb,13（a + b）三向量的終點在同一條直線上？10. （14 分）在厶 ABC 中，|AD|= 5, |