11變化率與導(dǎo)數(shù)113導(dǎo)數(shù)的幾何意義

1、1. 1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義整體設(shè)計(jì)教材分析本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了變化率、 導(dǎo)數(shù)概念等知識(shí)的基礎(chǔ)上，結(jié)合函數(shù)圖象來(lái)研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義，是導(dǎo)數(shù)概念的延伸，是導(dǎo)數(shù)知識(shí)的重要內(nèi)容探究和理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是從幾何的角度分析問題，利用割線和切線的辯證關(guān)系，通過(guò)逐步逼近的方法和“以直代曲”思想的運(yùn)用，在給切線以新的定義的同時(shí)，產(chǎn)生了導(dǎo)數(shù)的幾何意義.本節(jié)的學(xué)習(xí)為研究變量和函數(shù)提供了重要的方法，為今后學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性創(chuàng)造了條件.課時(shí)分配1課時(shí).教學(xué)目標(biāo)1. 知識(shí)與技能目標(biāo)通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，體會(huì)導(dǎo)數(shù)在刻畫函數(shù)性質(zhì)中的作用.2. 過(guò)程與方法目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生分析、抽象、概括等思維能力； 通過(guò)“以直代曲”思想的

2、具體運(yùn)用，使學(xué)生達(dá) 到思維方式的遷移，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維習(xí)慣.3. 情感、態(tài)度與價(jià)值觀滲透逼近和“以直代曲”思想，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣， 培養(yǎng)學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)、 探索新知識(shí)的精神，引導(dǎo)學(xué)生從有限中認(rèn)識(shí)無(wú)限，體會(huì)量變和質(zhì)變的辯證關(guān)系，感受數(shù)學(xué)思想方法的 魅力.重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義及“數(shù)形結(jié)合，以直代曲”的思想方法.難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)、理解及應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義.教學(xué)過(guò)程引入新課提出問題：平面幾何中，我們?cè)鯓优袛嘁粭l直線是否是圓的切線？學(xué)情預(yù)測(cè)：學(xué)生一定回答：與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線就叫做圓的切線.提出問題：能否將它推廣為一般曲線的切線定義？直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)就是相切嗎？學(xué)情預(yù)測(cè)：學(xué)生可能無(wú)從入手

3、，教師可通過(guò)幫助學(xué)生回憶以前學(xué)過(guò)的曲線與切線來(lái)引導(dǎo).活動(dòng)設(shè)計(jì):活動(dòng)成果：師生共同得出如下結(jié)論： 有些曲線雖然和直線只有一個(gè)交點(diǎn)，但不是相切而是相交，有些曲線在某點(diǎn)處和直線相切，但整體上卻和直線有多個(gè)交點(diǎn)所以，對(duì)于一般曲線，我們必須重新尋求曲線切線的定義.提出問題：曲線在一點(diǎn)處的切線應(yīng)該怎樣定義呢？活動(dòng)設(shè)計(jì)：教師演示多媒體結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)B沿曲線趨近于點(diǎn) A時(shí)，割線AB繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，它的最終位置為直線 AD， 這條直線AD叫做此曲線在點(diǎn) A處的切線.設(shè)計(jì)意圖初中平面幾何中有圓的切線的定義：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切. 這時(shí)，直線叫做圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)但是，圓是一種特殊的曲線，這

4、種定義并 不適用于一般曲線的切線，如上面的例子這樣，學(xué)生對(duì)于切線的認(rèn)識(shí)產(chǎn)生了疑問，也就激發(fā)了學(xué)生的探索欲望.探究新知提出問題：導(dǎo)數(shù)的概念及其本質(zhì)是什么？寫出它的表達(dá)式.活動(dòng)設(shè)計(jì)：一位學(xué)生板書，其他學(xué)生在練習(xí)本上寫出，教師訂正如下：導(dǎo)數(shù)f'(X。)的本質(zhì)是函數(shù)f(x)在x= xo處的瞬時(shí)變化率，教師：導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是從代數(shù) (數(shù))的角度來(lái)詮釋，若從圖形 (形)的角度來(lái)探究導(dǎo)數(shù)的幾何 意義，應(yīng)從哪兒入手呢？試回憶求導(dǎo)數(shù)f' (x0)的基本步驟.學(xué)生：求導(dǎo)數(shù)f' (xo)的基本步驟分三步：第一步：求 ；第二步：求平均變化率嚴(yán)； x第三步：當(dāng)朋近于0時(shí)，平均變化率fxo+7fxo無(wú)

5、限趨近于的常數(shù)就是 f' (xo).教師：若從“形”的角度探索導(dǎo)數(shù)的幾何意義，是否也可以分下面三個(gè)步驟？第一步：的幾何意義是當(dāng)xo+ x與xo所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的差量，即縱坐標(biāo)之差；第二步：平均變化率f xo+ f X。的幾何意義是割線 AB的斜率.其中A(Xo, f(Xo),B(xo+ x, f(Xo + x);第三步：Al o 時(shí)，割線 AB 有什么變化？ " o, B(xo+ x, f(xo+ x)RA(x°, f(x°), 當(dāng)Alo時(shí)，A , B之間的差距越來(lái)越小.教師：結(jié)合前面的多媒體演示，你有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)生：既然平均變化率f X°+ f

6、Xo的幾何意義是割線 AB的斜率，那么當(dāng)Alo時(shí), zax割線AB的斜率逐漸變?yōu)榍€ f(x)上過(guò)A點(diǎn)的切線的斜率.教師：當(dāng)Axl o時(shí)，割線AB有一個(gè)無(wú)限趨近的確定位置，這個(gè)確定位置上的直線叫做曲線在x = xo處的切線.活動(dòng)成果：師生共同得出如下結(jié)論：當(dāng)Al 0時(shí)，割線 AB t切線AD，則割線 AB的斜率宀切線 AD的斜率.即f' (xo)= lim fxo+xfxo =切線 AD的斜率，所以，函數(shù)f(x)在x = X。處的導(dǎo)數(shù)f'(X。)的幾何意義就是函數(shù) f(x)的圖象在x = X0處的 切線AD的斜率.動(dòng)手實(shí)踐，使學(xué)生經(jīng)歷探究“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”的建構(gòu)過(guò)程, ，掌握“

7、數(shù)形結(jié)合，類比探討”的數(shù)學(xué)思想方法.設(shè)計(jì)意圖通過(guò)復(fù)習(xí)回顧、分析討論、 從而準(zhǔn)確理解“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”已知 f(x) = x2,學(xué)生先獨(dú)立思考，再自由發(fā)言，老師點(diǎn)評(píng)，然后要求學(xué)生在練習(xí)本上寫出過(guò)求曲線y= f(x)在x = 2處的切線的斜率.理解新知 提出問題： 活動(dòng)設(shè)計(jì)：程.為求得過(guò)點(diǎn)(2,4)的切線的斜率，可從經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,4)的任意一條直線(割線)入手. 解：設(shè) P(2,4), Q(2 + x, (2 + xf),則割線 PQ 的斜率 kpQ=_4 = 4 + x.活動(dòng)成果：思路分析：當(dāng) 從無(wú)限趨近于0時(shí)，kpQ無(wú)限趨近于常數(shù)4,即f' (2) = |.四0(4 + x)=4.從而曲

8、線y = f(x)在點(diǎn)P(2,4)處的切線斜率為4.結(jié)合具體函數(shù)，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求過(guò)曲線上一點(diǎn)的切線的斜率.設(shè)計(jì)意圖 運(yùn)用新知 例1求曲線y= f(x) = x2+ 1在點(diǎn)P(1,2)處的切線方程. 思路分析：求切線方程，在知道切點(diǎn)的情況下，求出過(guò)點(diǎn)f 1+ f 11+ Ax2+ 1 12 1 = lxmoTT _=P的切線斜率即可.解：k=啊lXm0(2 + XI.求曲線在某點(diǎn)處的切線方程因此，所求切線方程為 y 2 = 2(x 1)，即y = 2x. 點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，是導(dǎo)數(shù)幾何意義的重要應(yīng)用.的基本步驟：求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；求出函數(shù)在點(diǎn)x0處的變化率f' (xo)=呱

9、 W fx0 = k ,得到曲線在點(diǎn)(x0, f(x0)的切線的斜率；利用點(diǎn)斜式求出切線方程.138例2已知曲線y = 3x上的一點(diǎn)P(2, 3),求：(1)點(diǎn)P處切線的斜率；點(diǎn)P處的切線 方程.思路分析：本題是例題的鞏固和延伸，基本方法一致，但在解析式的化簡(jiǎn)上有難度.”32+AxI 2' 12解：(1)k = lim= 3 ljmfl (12 + 6 Ax+Ax) = 4.8因此，所求切線方程為y 3= 4(x 2)，即12x 3y 16= a點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求斜率、求切線方程的基本方法和步驟比較固定，但因函數(shù)h(x) = - 4.9x2 + 6.5x + 10,根據(jù)圖的不同

10、，運(yùn)算難度也不同，待學(xué)習(xí)完導(dǎo)數(shù)公式后，此類問題運(yùn)算難度將大幅度降低.例3如圖，它表示跳水運(yùn)動(dòng)中高度隨時(shí)間變化的函數(shù)象，請(qǐng)描述、比較曲線思路分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在某點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率， 即函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù), 也是通過(guò)該點(diǎn)的曲線的切線的斜率值.解：我們用曲線h(t)在如 如t2處的切線，刻畫曲線 h(t)在上述三個(gè)時(shí)刻附近的變化情 況.(1)當(dāng)t = to時(shí)，曲線h(t)在to處的切線lo平行于x軸，所以，在t = to附近曲線比較平坦， 幾乎沒有升降.當(dāng)t = ti時(shí)，曲線h(t)在X處的切線X的斜率h'仙)<0，所以，在t= ti附近曲線下降， 即函數(shù)h(x) = -

11、4.9x2 + 6.5x + 10在t=ti附近單調(diào)遞減.當(dāng)t = t2時(shí)，曲線h(t)在t2處的切線12的斜率h' (t2)<0,所以，在t= t2附近曲線下降， 即函數(shù)h(x) = - 4.9x2 + 6.5x + 10在t= t2附近單調(diào)遞減.從圖中可以看出，直線11的傾斜程度小于直線12的傾斜程度，這說(shuō)明曲線在t1附近比在t2附近下降的緩慢.點(diǎn)評(píng)：通過(guò)對(duì)曲線h(t)在t0、如t2附近的變化情況的分析，圖象在t0到t2的區(qū)間內(nèi)一直是單調(diào)遞減，只是下降的緩慢程度有所不同.我們也能得出如下結(jié)論：從求函數(shù)f(x)在x= X0處導(dǎo)數(shù)的過(guò)程可以看到，當(dāng)x = X0時(shí)，f'(X

12、。)是一個(gè)確定的數(shù).這樣，當(dāng)x變化時(shí)，f'(X)便是x的一個(gè)函數(shù)，我們稱它為f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù))，記作：f'(X)f x+ Ax-fX或 y ，即 f (x) = y = limAX .通過(guò)本例，學(xué)生學(xué)習(xí)了導(dǎo)函數(shù)的概念，明確了函數(shù)f(x)在點(diǎn)X0處的導(dǎo)數(shù)f' (X0)與導(dǎo)函數(shù)f' (X)之間的區(qū)別與聯(lián)系：函數(shù)在一點(diǎn)X0處的導(dǎo)數(shù)f '(X0),就是在該點(diǎn)的函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個(gè)常數(shù)；函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f' (X)，是指函數(shù)f(x)在定義域的某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率，是隨X的變化而變化的，是變數(shù).設(shè)計(jì)意圖鞏固練習(xí)1

13、曲線y = X2在X = 0處的()A 切線斜率為1B 切線方程為y= 2xC.沒有切線D .切線方程為y = 02. 已知曲線y= 2x2上的一點(diǎn)A(2,8)，則點(diǎn)A處的切線斜率為()A . 4B. 16C. 8D . 23. 曲線y= x3 + x-2在P點(diǎn)處的切線平行于直線 y = 4x 1，則此切線方程為()A . y= 4xB . y = 4x 4C. y = 4x + 8D. y= 4x 或 y= 4x 44設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足條件馭,1_X = 1,則曲線y= f(x)在點(diǎn)(1,1)處的切線的斜率為()A 2B 11分 2答案：1.D2.C3.D4.D變練演編變式1已知曲

14、線y= 1x3上的一點(diǎn)Q,以Q為切點(diǎn)的切線斜率為9，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).3變式2已知曲線y= |x3，求與直線x + 4y + 8 = 0垂直，并與該曲線相切的直線方程.11變式3已知曲線y= x3,求過(guò)R(1 , )的切線方程.33活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生先獨(dú)立思考，獨(dú)立完成，再進(jìn)行交流、互相質(zhì)疑.學(xué)情預(yù)測(cè)：對(duì)于變式3，大部分學(xué)生可能只想到一種情況.活動(dòng)成果：變式 1.(3,9)或(3, 9).變式 2.12x 3y 16= 0 或 12x 3y+ 16= 0.、 2 變式 3.y = x -或 3x 12y+ 1 = 0.3設(shè)計(jì)意圖從多個(gè)方面設(shè)計(jì)利用曲線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求以該點(diǎn)為切點(diǎn)的切線斜率問題.對(duì)于“

15、過(guò)這一點(diǎn)”和“以該點(diǎn)為切點(diǎn)”的說(shuō)法要區(qū)別開.達(dá)標(biāo)檢測(cè)1 函數(shù)y = f(x)在x = xo處的導(dǎo)數(shù)f'(X。)的幾何意義是()A .在點(diǎn)x = xo處的函數(shù)值B .在點(diǎn)(X0, f(x。)處的切線與x軸所夾銳角的正切值C.曲線y = f(x)在點(diǎn)(X0, f(x。)處的切線的斜率D .點(diǎn)(X0, f(x。)與點(diǎn)(0,0)連線的斜率2. 已知曲線y= x2 1上的兩點(diǎn) A(2,3) , B(2 + x,3+ Ay),當(dāng) 從=1時(shí)，割線AB的斜 率是,當(dāng)Ax= 0.1時(shí)，害熾AB的斜率是,曲線在點(diǎn)A處的切線方程是.3. 如果函數(shù)f(x)在x = x0處的切線的傾斜角是鈍角，那么函數(shù)f(x)

16、在x= x0附近的變化情況是.4. 在曲線y = x2上過(guò)哪一點(diǎn)的切線，(1)平行于直線y = 4x 5;(2)垂直于直線2x 6y+ 5= 0;與x軸成135。的傾斜角；過(guò)點(diǎn)R(1, 3)與已知曲線相切.答案：1.C2.11 y = 4x 53.逐漸下降39114. (1)(2,4) ; (2)( 2, 4)； (3)( 2, 4)； (4)2x + y + 1 = 0,6x y 9 = 0.課堂小結(jié)本節(jié)課主要圍繞著“利用函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義”和“利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解釋實(shí)際問題”兩個(gè)教學(xué)重心展開.先回憶導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義、數(shù)值意義，由數(shù)到形，自然引出從圖形的角度研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義；然后

17、，類比“平均變化率一一瞬時(shí)變化率”的研究思路，運(yùn)用逼近思想定義了曲線上某點(diǎn)的切線，再引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形結(jié)合的角度思考，獲得導(dǎo)數(shù)的幾何意義一一“導(dǎo)數(shù)是曲線上某點(diǎn)處切線的斜率”.布置作業(yè)課本習(xí)題1.1A6 , B3，補(bǔ)充練習(xí)3、5、6.補(bǔ)充練習(xí)1一木塊沿某一平面自由下滑，測(cè)得下滑的水平距離s與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系為 s1= 8t5. 曲線y = x3在點(diǎn)(a, a3)(a 0)處的切線與x軸、直線x = a所圍成的三角形的面積為 , 貝y a的值為.6. 已知曲線 C: y = x3.(1)求曲線C上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處的切線方程； 第(1)小題中的切線與 C是否還有其他的公共點(diǎn)？,貝y t = 2秒時(shí)，

18、此木塊在水平方向上的瞬時(shí)速度為()1 1A 2B 1 232已知曲線y = 2x 2上一點(diǎn)P(1 , - 2)，則過(guò)點(diǎn)P的切線的傾斜角為()A 30 ° 45 °C. 135 °D 165 °3. 已知曲線y= 設(shè)計(jì)說(shuō)明本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)習(xí)了“變化率問題、導(dǎo)數(shù)的概念”等知識(shí)的基礎(chǔ)上，研究導(dǎo)數(shù)的幾何意義，因?yàn)樾陆滩奈瓷婕皹O限，于是盡量采用形象直觀的方式，讓學(xué)生通過(guò)動(dòng)手作圖，自我感受整個(gè)逼近的過(guò)程，并用形象的幾何畫板及Flash展示動(dòng)態(tài)的過(guò)程，讓學(xué)生更加深刻地體會(huì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及“以直代曲”的思想.在利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究實(shí)際問題時(shí)，某點(diǎn)附近的曲線可以用過(guò)此點(diǎn)的切線近似代替，即“以直代曲”，從而達(dá)到“以簡(jiǎn)單的對(duì)象刻畫復(fù)雜對(duì)象”的目的，并通過(guò)兩個(gè)例題的研究，讓學(xué)生從不同的角度完整地體驗(yàn)導(dǎo)數(shù)與切線斜率的關(guān)系，并感受導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的廣泛性.本節(jié)課注重以學(xué)生為主體，每一個(gè)知識(shí)、每一個(gè)發(fā)現(xiàn)及設(shè)法由學(xué)生自己得出.課堂上給予學(xué)生充足的思考時(shí)間和空間，讓學(xué)生在動(dòng)手操作、 動(dòng)筆演算等活動(dòng)后，再組織討論，教師只是在關(guān)鍵處加以引導(dǎo).備課資料補(bǔ)充練習(xí)：求函數(shù)f(x) = x3的導(dǎo)數(shù).解：任取 x0 R, Ax 0.f(x0) = x3，f(x 0+ Ax)= (x0+ xf,在點(diǎn)P(1,4)處的切線與直線I平