31不等關(guān)系學(xué)案北師大版必修5

1、第三章不等式本章概述?課程目標(biāo)1. 雙基目標(biāo)(1) 通過具體情境，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在大量的不等關(guān)系，了解不等式( 組) 的實際背景 .(2) 會比較兩個實數(shù)的大小，理解不等式的基本性質(zhì) .(3) 經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程 .(4) 通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系 .(5) 會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，嘗試設(shè)計求解的程序框圖 .(6) 探索并了解基本不等式的證明過程 .(7) 會用基本不等式解決簡單的最大 (小)值問題 .(8) 從實際情境中抽象出二元一次不等式組 .(9) 了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元

2、一次不等式組 .(10) 從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決 .2. 情感目標(biāo)(1) 注重突出不等式的現(xiàn)實背景和實際應(yīng)用，突出數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，有助于激發(fā)學(xué)生 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的 興趣，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識與解決實際問題的能力 .(2) 本章注意體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化價值的滲透，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分 .(3) 借助于信息技術(shù)去探索數(shù)學(xué)規(guī)律，從事一些富有探索性和創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)活動 . ?重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：不等式的解法及應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，線性規(guī)劃問題 . 難點(diǎn)：解決線性規(guī)劃問題和利用基本不等式解決實際問題 .?方法探究 不等式是刻畫現(xiàn)實世界中不等關(guān)系的數(shù)學(xué)工具，它是描述優(yōu)化問題

3、的一種數(shù)學(xué)模型 .學(xué)習(xí)本章應(yīng)注重數(shù)形結(jié)合，學(xué)會通過函數(shù)圖像理解一元二次不等式與一元二次方程、二次函 數(shù)的聯(lián)系，并 能解釋二元一次不等式和基本不等式的幾何意義. 在此基礎(chǔ)上，體會不等式在 解決實際問題中的作用，進(jìn)一步提高解決實際問題的能力 .學(xué)習(xí)本章應(yīng)注意的問題(1) 要注意與一元一次不等式，一元二次不等式、整式方程、函數(shù)、三角等知識的聯(lián)系，以便對不等式的知識有一個全面、完整的了解與認(rèn)識 .(2) 要注意體會二元一次不等式 (組) 與平面區(qū)域的關(guān)系，借助幾何直觀解決簡單的線性規(guī)劃問題(3) 注意對不等式 yab O,Z?O)AO a 2+/?2A2aZ?(aER,ZeR)的理解、記憶,2正確、靈

4、活地使用其解決問題，尤其是在正確的使用上下功夫 .(4) 本章重點(diǎn)內(nèi)容是證明不等式和不等式的解法以及簡單的線性規(guī)劃 . 證明不等式?jīng)]有 固定的模式可以套用，它的方法靈活多變、技巧性強(qiáng)、綜合性強(qiáng)，不等式的解法重點(diǎn)是一元二次不等式 (組) 的解法，注意數(shù)軸穿根法 .(5) 線性規(guī)劃知識也是重點(diǎn)內(nèi)容，在近幾年高考中也有明顯的體現(xiàn)，應(yīng)引起同學(xué)們的注意.1 等關(guān)系知能目標(biāo)解讀1. 通過具體的情境，感受現(xiàn)實生活中存在的大量不等關(guān)系，并了解不等式(組)的實際背景 .2. 能夠運(yùn)用比較實數(shù)大小的方法比較兩實數(shù)的大小，并掌握不等關(guān)系的傳遞性和不等式 的基本性 質(zhì).重點(diǎn)難點(diǎn)點(diǎn)撥重點(diǎn)：比較兩數(shù)（或式）的大小，理解不

5、等式的性質(zhì)及其證明，并能說出每一步推理的理由.難點(diǎn)：對不等式性質(zhì)的準(zhǔn)確把握以及嚴(yán)密的邏輯推理證明能力的培養(yǎng) .學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)一、不等關(guān)系1. 不等式：我們用數(shù)學(xué)符號“尹”、”、 ”、連結(jié)的不等式，表示嚴(yán)格的不等關(guān)系，是嚴(yán)格不等式；用符號“N、“ W、“ N連結(jié)的不等式，表示非嚴(yán)格的不等關(guān)系，是非嚴(yán)格不等式.注意：如何理解表示不等式的各個符號的含義？不等式表示的是不相等的關(guān)系.對于“不相等”可以是“大于”或“小于”.對于不等式aWb表示的是” 人或a=b,只需滿足其中一條，不等式就成立.如3A3就是33或3 = 3,盡管3力或。=力，同樣也是只需滿足 其中一條，不等式就成立.對于實數(shù)來講，只存在

6、或ab或a”、b ua力；如果 a-力是負(fù)數(shù)，那么a0 ab;a-b=O = a=D;a-力 0= ab,ab bb,bc = ac.(3)ab = a+ob+c.推論ab,cd= a+cb+d.(4)ab,c0= acbc,ab,c0acbO,cdOCA aobd,推論2 ab,ab0 ;a b推論3 n/?0 a,Z?,(nGN+,且 1).(5)aZ?0A/b(eN+, 且 1)2.關(guān)于不等式性質(zhì)的式子的理解(1) 說明了不等式的對稱性； ( 2)說明了不等式的傳遞性； (3) 表示同向不等式具有 可加性，它是不 等式移項的基礎(chǔ) ； ( 4)表明不等式兩邊允許用非零數(shù) ( 式)乘，相乘后

7、的不 等式的方向取決于乘式的符號 . 知能自主梳理1. 不等式的定義用 表示不等關(guān)系的式子叫不等式 .2. 比較實數(shù)大小的依據(jù)設(shè) G R, 貝 U a-bQ =,a-b=0 =,a-bb,bc = ;(2)aZ?,c0 =;(3)aZ?,c ;(4)ab,cd =;(5)ab0,cd0 =;(6)nb0,/i wN+,nl =.答案 1.不等號 2.ab a-b ac aobc acbd (6)anbn,a y b思路方法技巧命題方向比較大小例 1 已知 x0,2413.I (x-1) (x-)2+ 0,24.x-lx.說明 1. 作差法比較兩個實數(shù)的大小時，關(guān)鍵是作差后變形，一般變形越徹底越

8、有 利于下一步的 判斷.r 因式分解 配方 通分2. 變形的方法 0 求實數(shù) a.b 應(yīng)滿足的條件 .解析 P-Q =a2b-+5-2ab+a2+4a=(ab-l)2+(A+2) 2 ：PQ,:. (ab-1) 2+(a+2) 20? ? ah 1 a -7A- -2.故實數(shù)如力應(yīng)滿足的條件是瀝 N1 或 aN-2. 命題方向 應(yīng)用不等式 ( 組) 表示不等關(guān)系例 2 某種雜志原以每本 2 .5元的價格銷售，此時可以售出 8 萬本，據(jù)市場調(diào)查， 若單價每本提 高0.1 元，銷售量就可能相應(yīng)減少 2000本，若把提價后的雜志的定價設(shè)為 x 元，怎樣用不等式表示銷售 的總收入仍不低于 20 萬元呢

9、？分析利用提價后的價格 x表示出銷售總收入，再將題中所要求的不等關(guān)系用不等式表示.解析雜志的定價為 x元，則銷售的總收入為X 2 5(8- -X0.2) x 萬元，0.2X 2 5 那么不 等關(guān)系“銷售的總收入不低于 20萬元”可以用不等式表不為 (8- X0.2) 0.2 汶20.說明決此類問題的關(guān)鍵是找出題目中的限制條件，利用限制條件找到不等關(guān)系，然后用不等式表示即可 .變式應(yīng)用 2咖啡館配制兩種飲料，甲種飲料一杯用奶粉、咖啡、糖分別為9g,4g,3g,乙種飲料一杯用 奶粉、咖啡、糖分別為4g, 5g, 10g,已知每天可用原料為奶粉 3600g,咖啡2000g,糖3000g.寫出每天配制

10、的兩種飲 料的杯數(shù)所滿足的不等式組 .解析 每天應(yīng)配制甲種飲料 x杯，乙種飲料y杯，則應(yīng)滿足如下條件：(1) 奶粉的總使用量不大于 3600g ;(2) 咖啡的總使用量不大于 2000g ;(3)糖的總使用量不大于 3000g ;(4)x,y為自然數(shù).女曠滿足不等式組：9.A+4VV3600,4x+5yW2000,3.r+10yb.A ac b;%1 若 則 aabb,ci b%1 右cab0測 ;c-a c-b%1 若 ab, ,則 a0,bbc 知 c 乂 0,所以cbO,所以ab,故該命題是真命題.ab rabb a2ab, abb2.所以ai2abb2故該命題為真命題ab = -a c

11、-aQ,所以C-Q0.所以O(shè)VC-QVC-兩邊同乘以77,得_a 0.c-a)c-b) c-a c-b又因為ab0,所以W一一故該命題為真命題c-a c-b abAa-b0, 0= 一 0 .因為所以 b-a0.所以 ab0力vO,故該命題為真命題.綜上可知，命題、都是真命題.故選C.說明 通過本例，可以使我們熟悉不等式的基本性質(zhì)，更好地掌握各性質(zhì)的條件和結(jié)論.在各性質(zhì)中，乘法性質(zhì)的應(yīng)用最易出錯，即在不等式的兩邊同乘(除)以一個數(shù)時，必須能確定該數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零，否則結(jié)論不確定.變式應(yīng)用3 判斷下列各題的對錯.(1 ) 0=Q/?()a b(2) Q 吊且 cdAacbd ()(3) abQ

12、 且cJ0=a h(4)c cc c a b II =A- 0答案X X v v解析(1)當(dāng)a0時，此式成立，推不出ab, .( I)錯；(2) 當(dāng)。=3力=|,c=-2,d=-3時，命題顯然不成立，.*? (2)錯；ab0(3) -cd0 a b la bn o=J成乂 . ? (3)對;顯然c20,/.兩邊同乘以得。對.? .( 4)對.探索延拓創(chuàng)新命題方向應(yīng)用不等式的性質(zhì)討論范圍例4 已知：-一一，求a+/32的范圍.分析已知的不等式相當(dāng)于C 7C 7C-W a W 2 22I aP,.但我們只有這樣的性故本題其實就是已知單角范圍求和角、差角范圍，所以要進(jìn)行不等式的加減質(zhì)：不等式再同向不

13、等式可相加,那么要進(jìn)行不等式相減怎么辦？那只有將其相加.解2jr2.?.+?.?e 屮 v - vp2 2由得v,V- a3271,-， -271ji v a +ji27T得-B revBW ,2 2+得.JIWQ-8V兀，又avB, a - p v0,0.1-n W a - (3 0,變式應(yīng)用4已知12VQV60,15V/?V36,求a-b及色的取值范圍. b解析 欲求a-b的范圍，應(yīng)先求的范圍，欲求色的范圍，應(yīng)先求！的范圍，再利用不 bb等式性質(zhì)求解.V15Z?36,? .-36V/V-15.? ? 12-36VQWV60-15, -24VQ-Z?V45.1vvav-v13612361?1

14、56015名師辨誤做答例 5已知 1 Wo+/?W5, -1WQ-/?W3,求 3。-2 力的范圍.誤解.? . 1 WQ+Z?W5, -1? OOW4.又?： lWa+bW5,-3W-(a-b)Wl,-1W0W3.?.0WaA4,-lWW3,.?.0W3A12,-6W-2DW2,： .-6A3a-2bAl4.辨析在誤解中，由已知條件推出不等式 -63?-2AW3,得到0 WaW4,-lWbW3|這并不意味著 a與可各自獨(dú)立地取得區(qū)間 0,4與-1,3的一切值.如取。=4,力=3時，a+M7,就已超出題設(shè)條件 1 Wa+W5 中的范圍，細(xì)究緣由，就是推出關(guān) 系并非等價關(guān)系 .正解設(shè) a+b-u

15、,a-b-v,則 a=A，+bV=,A，u-v2 2且 1W“W5,-1WVW3. 1? 3a-2b= 2.1 M圣5 0 2 2 2?-2W 紜里 W12 2即 -2W3a-2/?W105it v,55v 0 -22課堂鞏固訓(xùn)練、選擇題1. 下列不等式： ? X2+32X(X 仁 R); a3+/?3 a2b+ab2(a, b E R);(3)tz2+/?“2 Ca-b-1)中正確的個數(shù)為(A.O B. 1C.2答案 CD. 3解析對于，2=(a-b)a-b2)=a-b)x2+3-2x=(x- 1) 2+20 恒成立，對于,2(tz+Z?),ai+b3-azb-ab1=a2(a-b)+b 2

16、(b-a)a、Z?ER,而。+力0,或a+b=O或i+/?v0,故不正確，對于，a2+b2-2a+2b+2=-2a+1 +/?2+2Z?+l=(? -!) 2+(/?+1) ? N 0, .?正確，故選C.2.設(shè)xa0,則下列各不等式一定成立的是()A. x axaC. x a ax答案 Bx6Z0解析 xaxan 2、 2、aaxaxa= xaxa.3. 若與 同時成立，則(A. x0j0C. x0 答案 B解析B. x0,y0D. x0,y0需滿足 xyy, .x0,y) g(x).答案 W解析 f(x)-g(x)=3x 3-(3x 2-x+ 1) =(3X3-3X2)+(X- 1)=3

17、X2(X- 1)+(X- 1 )=(3 J+ 1)(X- 1),?.&W 1 得 x-IWO, 而 3?+l0,.(3x2+l )a.l)W0, 3X3A3X2-X+1. 如 )Wg(x).5. 已知 60xv84,28vyv33, 則 x-y 的取值范圍為x- 的取值范圍為 . y20 答案 (27,56) (,3)解析 .28vyv33,-33-y-28,又 V60x84,27r-y56., .111山 28y33 得一 - ,33 y 28即竺 三b). 若保持原面積不變，則規(guī)劃 后的正方形布局的面積為血若保持周長不變，則規(guī)劃后的正方形布局的周長為 2(“+力)， 所 .,.,a + b

18、, 卜=5、， / ci + b x in-, a + b 、，以其邊長為-一-，其面積為()L因為ab-()-2 2 2,(a + b) 4ab-(a + b)(a,、b,、， a + 方、，皿=ab= = 們，所以 ab( )一.故保持原周長不變的布局方案可使公園的面積較大課后強(qiáng)化作業(yè)1.cd%1若ab09 則- 0 ；abc d%1若ab0,- 0,則bc-adX);a bcd%1若bc-adX),- 0,則ab0.ab、選擇題其中正確命題的個數(shù)是A.OC.2答案C已知a,b,c,d均為實數(shù)，有下列命題：（）B. 1D. 3解析?: ab0,: . 0,1c d? (bc -ad) V0

19、 即0,0,a bc dctb( )0,a b即：bc? ab0,.正確；f ? c dbe-ad 八0,a bab又 bc-ad0, ab0,正確.,e=a2 3 4-n+l,pllj P, Q 的大小B.PvQD.無法確定2.已知P=關(guān)系為()Q + Q + 1A. PQCPWQ答案C解析P-Q =-a+a-l0,-Q2(Q2+ ) W0,Q+ Q + 14323221 -ClQ Q + o + o +o 一Q Cl 1Cl? + Q + 142Q Q + 1J2/2-a2(a2 +1)+ Q + 1 WO:? PWQ.(2011 ?陜西文，3)設(shè)Qvavb則下)3.列不等式中正確的是(A

20、. ab4ab v 2B. ayAab v * vZ?2C.a4ab brr a + b D. Vab ab2答案B解析9： 0ab, ,a + b.a0,即故選 B.本題也可通過特殊值法解決，如取。=1力=4,易知選B.4.若Q、人是任意實數(shù)，且 Q對，則()A/ 對之B. 0D.( -r履0,但不能保 證aQl,從而不能保證C成立，顯然只有 D成立.事實上，指數(shù)函數(shù)y=(|)x在xGR上是減 函數(shù)，所以abA (-) fl(-)fc成立.故選D.2 2 5.已知ab lol,則以下不等式中恒成立的是()A. I Z? I 0C.abb,排除D,故選A.6.已知W+QVO,那么Q,Q2, Q

21、, Q2的大小關(guān)系是()22 22A.a a-a -aB.-aa -a a2 222C.-aa a-aD.a -aa-a答案B解析特殊值法:a+a0,: .-la0.令 a二,BlJ cT= , -a= , -a2=-,故選 B.2424一般解法：山 a+aQ得0a-a且 QV-Q2V0,故 a-a a 4bB. (Q+4)(/?+4)=200l ct4bCLI (Q+4)0+4)=2OO-a4bDrj 4ab=200答案C8. 如果 a0,且奸，泌=loga (W+l), N=loga( a2+l),那么()A.MNB.MvNC. M=ND.M、N的大小無法確定答案A解析當(dāng)。1 時 tz3+

22、la2+b y=log flx 單增,log a(?3+l)log fl (/+1).當(dāng) OVQVI 時 a3+i log a(tz +1),或?qū)?a 取值檢驗.二、填空題9. 已知三個不等式：？abO,- ,?bcad.以其中兩個作條件，余下一個為結(jié)論，寫出a b兩個能成立的不等式命題.答案:，小。，：中任選兩個即可.%1,1II圮 r c、d I - be 解析vvrAA 0-若成立，則成立n；若成立則成立，.？.=().若成立即 bead,若成立，“、be ad c d .,則一 ，:.=.ab ab a b10.如果ab,那么下列不等式:?abi,1 1%1 一3% gagb.其中恒成

23、立的是.答案解析?6I 3-/?3=(?-Z?)(2 2+/?2+6Z/?)r 5 2 3 2r=(a-b) L(a+ )2+ Z?2 0； 2 4.y=3是增函數(shù)，】對,當(dāng)a0,b0時，不成立.11.設(shè) m=2s+2a+1 ,n=(a+ 1)2,則？n、n 的大小關(guān)系是答案mNn解析m-n=2 ( 224-2 ( 2+I-(? +l) 2=Z?0,m0, 0,則 p= ,q= ,r=a b a + m答案prsq解析取 Q=4 力=2, m=3, =l,貝 U/?=! ,q=2,3 sr= ,s=貝U p Vr Vs Vq (特值探路).73具體比較如下：b b + m b a)mp-r=

24、-= ； r VO, :,p b 0,m 0,n 0.b+ma+nV1, 1,. r s.Q + mb + nI、 b + m a + n 或 r-s=a + m b + n0. r s._(b- a)(b + a + m + n) a + m)(Z? + n)a + n a (b-an .s-q= = 7 0, . .s q.p r s Vq.b + n b b(b + n)三、解答題13.某城市電信寬帶私人用戶月收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下表:方案類別基本費(fèi)用超時費(fèi)用甲包月制（不限時）120元無乙限時包月制（限60小時）80元2元/時問某用戶每月上網(wǎng)時間在多少小時以內(nèi)，選擇乙方案比較合適解析設(shè)用戶每月上網(wǎng)時間為 x小時，則選擇乙方案為80 (0x60),由 2(x-60)+80W120,得 xW80,?.?某用戶每月上網(wǎng)時間在80小時以內(nèi)，選擇乙方案比較合適14.已知 ab,ef,cQ.求證：f-ac。.求證：* W .b d解析。弘0,? acbc, /. -acv-bc,，:fe, ?f -ac0,. 一 W