《拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》作業(yè)

1、拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程一選擇題（共8小題）1已知點(diǎn)P（x，y）在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)Q（x+y，xy）的軌跡是（）A圓B拋物線C橢圓D雙曲線2正方體ABCDA1B1C1D1 中，M為側(cè)面ABB1A1所在平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且M到平面ADD1A1的距離與M到直線BC距離相等，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為（）A橢圓B雙曲線C圓D拋物線3已知定點(diǎn)A（1，1）和直線l：x+y2=0，則到定點(diǎn)A的距離和到定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡為（）A橢圓B雙曲線C拋物線D直線4若拋物線y2=2px的焦點(diǎn)與雙曲線=1的右焦點(diǎn)重合，則p的值為（）A2B2C4D45拋物線y=4x2的準(zhǔn)線方程是（）Ay=1By=1Cy=Dy=

2、6拋物線的準(zhǔn)線方程是，則其標(biāo)準(zhǔn)方程是（）Ay2=2xBx2=2yCy2=xDx2=y7頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸，并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離為3的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）Ax2=±3yBy2=±6xCx2=±12yDx2=±6y8已知點(diǎn)F為拋物線y 2=8x的焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線上，且|AF|=4，則|PA|+|PO|的最小值為（）A6BCD4+2二填空題（共8小題）9已知F是拋物線y2=x的焦點(diǎn)，A、B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|+|BF|=3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為 10拋物線y=4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)

3、M的縱坐標(biāo)是 11圓心在x軸上，經(jīng)過原點(diǎn)，并且與直線y=4相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 12平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn)F（1，0）的距離比到直線x=2的距離小1若機(jī)器人接觸不到過點(diǎn)P（1，0）且斜率為k的直線，則k的取值范圍是 13若坐標(biāo)原點(diǎn)到拋物線x=m2y2的準(zhǔn)線的距離為2，則m= ；焦點(diǎn)坐標(biāo)為 14頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，且焦點(diǎn)在直線2x+y2=0上的拋物線方程是 15在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若拋物線y2=2px經(jīng)過點(diǎn)（4，2），則實(shí)數(shù)p= 16對(duì)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，給出下列條件：焦點(diǎn)在x軸上；焦點(diǎn)在y軸上；拋物線的通徑的長為5；拋物線上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6；拋物線的

4、準(zhǔn)線方程為x=；由原點(diǎn)向過焦點(diǎn)的某條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為（2，1）能使拋物線方程為y2=10x的條件是 三解答題（共2小題）17平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)M（1，3）、N（5，1），若點(diǎn)C滿足=t+（1t）（tR），點(diǎn)C的軌跡與拋物線：y2=4x交于A、B兩點(diǎn)（）求證：；（）在x軸上是否存在一點(diǎn)P（m，0）（mR），使得過P點(diǎn)的直線交拋物線于D、E兩點(diǎn)，并以該弦DE為直徑的圓都過原點(diǎn)若存在，請(qǐng)求出m的值及圓心的軌跡方程；若不存在，請(qǐng)說明理由18已知點(diǎn)F（0，1）為拋物線x2=2py的焦點(diǎn)（1）求拋物線C的方程；（2）點(diǎn)A、B、C是拋物線上三點(diǎn)且+=，求ABC面積的最大值拋物線及

5、其標(biāo)準(zhǔn)方程參考答案與試題解析一選擇題（共8小題）1已知點(diǎn)P（x，y）在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)Q（x+y，xy）的軌跡是（）A圓B拋物線C橢圓D雙曲線【分析】先設(shè)處點(diǎn)Q的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)定義得出u=x+y和v=xy，利用圓的半徑為1，代入圓的方程，進(jìn)而求得u和v關(guān)系，則點(diǎn)的軌跡可得【解答】解：設(shè)Q（u，v），則x2+y2=1，u22v=x2+y2=1點(diǎn)Q的軌跡是拋物線故選B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了拋物線的定義屬基礎(chǔ)題2正方體ABCDA1B1C1D1 中，M為側(cè)面ABB1A1所在平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且M到平面ADD1A1的距離與M到直線BC距離相等，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為（）A橢圓B雙曲線C圓D拋物

6、線【分析】根據(jù)正方體ABCDA1B1C1D1，可得|MB|等于M到AA1的距離，根據(jù)拋物線的定義，可得結(jié)論【解答】解：BC平面ABB1A1，|MB|表示M 到直線BC 距離相等平面ADD1A1平面ABB1A1，M 到平面ADD1A1 的距離等于M到AA1的距離M 到平面ADD1A1 的距離與M 到直線BC 距離相等，|MB|等于M到AA1的距離根據(jù)拋物線的定義，可知?jiǎng)狱c(diǎn)M 的軌跡為拋物線故選D【點(diǎn)評(píng)】本題重點(diǎn)考查正方體的性質(zhì)，考查拋物線的定義，解題的關(guān)鍵是得出|MB|等于M到AA1的距離3已知定點(diǎn)A（1，1）和直線l：x+y2=0，則到定點(diǎn)A的距離和到定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡為（）A橢圓B

7、雙曲線C拋物線D直線【分析】判斷定點(diǎn)A與直線的位置關(guān)系，然后判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡【解答】解：因?yàn)槎c(diǎn)A（1，1）在直線l：x+y2=0上，所以到定點(diǎn)A的距離和到定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡是直線，就是經(jīng)過定點(diǎn)A與直線l：x+y2=0，垂直的直線故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的求法，邏輯推理能力，考查計(jì)算能力注意本題與拋物線定義的區(qū)別，易錯(cuò)選C4若拋物線y2=2px的焦點(diǎn)與雙曲線=1的右焦點(diǎn)重合，則p的值為（）A2B2C4D4【分析】求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，可得拋物線y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出p的值【解答】解：雙曲線=1的右焦點(diǎn)為（2，0），即拋物線y2=2px的焦點(diǎn)為（2，0），=2，p=

8、4故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線、拋物線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題5拋物線y=4x2的準(zhǔn)線方程是（）Ay=1By=1Cy=Dy=【分析】將拋物線化成標(biāo)準(zhǔn)方程得x2=y，算出2p=且焦點(diǎn)在y軸上，進(jìn)而得到=，可得該拋物線的準(zhǔn)線方程【解答】解：拋物線y=4x2化成標(biāo)準(zhǔn)方程，可得x2=y，拋物線焦點(diǎn)在y軸上且2p=，得=，因此拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），準(zhǔn)線方程為y=故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題給出拋物線的方程，求它的準(zhǔn)線方程著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其基本概念等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題6拋物線的準(zhǔn)線方程是，則其標(biāo)準(zhǔn)方程是（）Ay2=2xBx2=2yCy2=xDx2=y【分析】根據(jù)準(zhǔn)線方程，可知拋物線的

9、焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸，再設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式為x2=2py，根據(jù)準(zhǔn)線方程求出p的值，代入即可得到答案【解答】解：由題意可知拋物線的焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸，設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2=2py（p0），拋物線的準(zhǔn)線方程為y=，=，p=1，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2=2y故選B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線的簡單性質(zhì)屬基礎(chǔ)題7頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸，并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離為3的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）Ax2=±3yBy2=±6xCx2=±12yDx2=±6y【分析】先設(shè)出拋物線的方程，根據(jù)題意求得p，則拋物線的方程可得【解答】解：設(shè)拋物線的方程為x2=2p或x

10、2=2p，依題意知=3，p=6，拋物線的方程為x2=±12y，故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程考查了學(xué)生對(duì)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的掌握8已知點(diǎn)F為拋物線y 2=8x的焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線準(zhǔn)線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線上，且|AF|=4，則|PA|+|PO|的最小值為（）A6BCD4+2【分析】利用拋物線的定義由|AF|=4得到A到準(zhǔn)線的距離為4，即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)：“|PA|+|PO|”相當(dāng)于在準(zhǔn)線上找一點(diǎn)，使得它到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和最小，最后利用平面幾何的方法即可求出距離之和的最小值【解答】解：|AF|=4，由拋物線的定義得，A到準(zhǔn)線的距離為4，即A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2

11、，又點(diǎn)A在拋物線上，從而點(diǎn)A的坐標(biāo)A（2，4）；坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于準(zhǔn)線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為B（4，0）則|PA|+|PO|的最小值為：|AB|=故選C【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用拋物線的簡單性質(zhì)解決最小值問題，靈活運(yùn)用點(diǎn)到點(diǎn)的距離、對(duì)稱性化簡求值，是一道中檔題二填空題（共8小題）9已知F是拋物線y2=x的焦點(diǎn)，A、B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|+|BF|=3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為【分析】根據(jù)拋物線的方程求出準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，列出方程求出A，B的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，求出線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離【解答】解：F是拋物線y2=x的焦點(diǎn)F（，0）準(zhǔn)線方程x=設(shè)

12、A（x1，y1），B（x2，y2）|AF|+|BF|=x1+x2+=3解得x1+x2=線段AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題10拋物線y=4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是【分析】根據(jù)點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1利用拋物線的定義可推斷出M到準(zhǔn)線距離也為1利用拋物線的方程求得準(zhǔn)線方程，進(jìn)而可求得M的縱坐標(biāo)【解答】解：根據(jù)拋物線的定義可知M到焦點(diǎn)的距離為1，則其到準(zhǔn)線距離也為1又拋物線的準(zhǔn)線為y=，M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1=故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)拋物線中涉及點(diǎn)到焦點(diǎn)，準(zhǔn)線的距離

13、問題時(shí)，一般是利用拋物線的定義來解決11圓心在x軸上，經(jīng)過原點(diǎn)，并且與直線y=4相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x4）2+y2=16或（x+4）2+y2=16【分析】根據(jù)題意，確定出圓的圓心坐標(biāo)與半徑，進(jìn)而可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【解答】解：由題意可知，圓的半徑為4圓心在x軸上，經(jīng)過原點(diǎn)圓的圓心坐標(biāo)為（4，0）或（4，0）圓心在x軸上，經(jīng)過原點(diǎn)，并且與直線y=4相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x4）2+y2=16或（x+4）2+y2=16故答案為：（x4）2+y2=16或（x+4）2+y2=16【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題的關(guān)鍵是確定出圓的圓心坐標(biāo)與半徑，屬于基礎(chǔ)題12平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn)F（1，0）

14、的距離比到直線x=2的距離小1若機(jī)器人接觸不到過點(diǎn)P（1，0）且斜率為k的直線，則k的取值范圍是k1或k1【分析】由拋物線的定義，求出機(jī)器人的軌跡方程，過點(diǎn)P（1，0）且斜率為k的直線方程為y=k（x+1），代入y2=4x，利用判別式，即可求出k的取值范圍【解答】解：平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn)F（1，0）的距離比到直線x=2的距離小1，即平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn)F（1，0）的距離和到直線x=1的距離相等，由拋物線的定義可知，機(jī)器人的軌跡方程為y2=4x，過點(diǎn)P（1，0）且斜率為k的直線方程為y=k（x+1），代入y2=4x，可得k2x2+（2k24）x+k2=0，機(jī)器人接觸不

15、到過點(diǎn)P（1，0）且斜率為k的直線，=（2k24）24k40，k1或k1故答案為：k1或k1【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題13若坐標(biāo)原點(diǎn)到拋物線x=m2y2的準(zhǔn)線的距離為2，則m=±；焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0）【分析】求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合準(zhǔn)線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解即可【解答】解：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=x=4（）x，則準(zhǔn)線方程為x=，坐標(biāo)原點(diǎn)到拋物線x=m2y2的準(zhǔn)線的距離為2，=2，即=2，得m2=，則m=±，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），故答案為：±，（2，0）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線方程和性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)條件求出拋物

16、線的標(biāo)準(zhǔn)方程是解決本題的關(guān)鍵14頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，且焦點(diǎn)在直線2x+y2=0上的拋物線方程是y2=4x或x2=8y【分析】求出已知直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A和B，在焦點(diǎn)分別為A和B的情況下設(shè)出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，對(duì)照拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)的公式求待定系數(shù)，即可得到相應(yīng)拋物線的方程【解答】解：直線2x+y2=0交x軸于點(diǎn)A（1，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，2）；當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在A點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為y2=2px，可得2p=4，拋物線方程為y2=4x；當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)在B點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為x2=2py，可得2p=8，拋物線方程為x2=8y綜上所述，拋物線方程為y2=4x或x2=8y故答案為：y2=4x或x2=8y【點(diǎn)評(píng)

17、】本題主要考查了給出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程，著重考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題15在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若拋物線y2=2px經(jīng)過點(diǎn)（4，2），則實(shí)數(shù)p=【分析】利用拋物線經(jīng)過的點(diǎn)，求解即可【解答】解：拋物線y2=2px經(jīng)過點(diǎn)（4，2），可得4=8P，解得p=故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線才的應(yīng)用，基本知識(shí)考查16對(duì)于頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線，給出下列條件：焦點(diǎn)在x軸上；焦點(diǎn)在y軸上；拋物線的通徑的長為5；拋物線上橫坐標(biāo)為2的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6；拋物線的準(zhǔn)線方程為x=；由原點(diǎn)向過焦點(diǎn)的某條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為（2，1）能使拋物線方程為y2=10x的條件是【分

18、析】根據(jù)拋物線方程，即可得出結(jié)論【解答】解：拋物線方程為y2=10x中，焦點(diǎn)在x軸上，拋物線的準(zhǔn)線方程為x=；由原點(diǎn)向過焦點(diǎn)的某條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為（2，1）故答案為【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)三解答題（共2小題）17平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)M（1，3）、N（5，1），若點(diǎn)C滿足=t+（1t）（tR），點(diǎn)C的軌跡與拋物線：y2=4x交于A、B兩點(diǎn)（）求證：；（）在x軸上是否存在一點(diǎn)P（m，0）（mR），使得過P點(diǎn)的直線交拋物線于D、E兩點(diǎn)，并以該弦DE為直徑的圓都過原點(diǎn)若存在，請(qǐng)求出m的值及圓心的軌跡方程；若不存在，請(qǐng)說明理由【分析】（1

19、）欲證兩向量垂直，通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，就是證明它們的數(shù)量積為0，將直線與拋物線的方程組成方程組，利用設(shè)而不求的方法求解；（2）對(duì)于存在性問題，可設(shè)假設(shè)存在，本題中將垂直關(guān)系合理轉(zhuǎn)化，找出m的一個(gè)相等關(guān)系，從而解出了m的值，即說明存在【解答】解：（）解：由=t+（1t）（tR），知點(diǎn)C的軌跡是M、N兩點(diǎn)所在的直線，故點(diǎn)C的軌跡方程是：即y=x4由得x212x+16=0x1x2=16，x1+x2=12y1y2=（x14）（x24）=x1x24（x1+x2）+16=16x1x2+y1y2=0 故（）解：由題意知：弦所在的直線的斜率不為零故設(shè)弦所在的直線方程為：x=ky+m，代入 y2=4x 得 y24ky4m=0，y1+y2=4k，y1y2=4m若以弦DE為直徑的圓都過原點(diǎn)，則ODOE，x1x2+y1y2=0即=m24m，解得m=0 （不合題意，舍去）或 m=4存在點(diǎn)P（4，0），使得過P點(diǎn)任作拋物線的一條弦，以該弦為直徑的圓都過原點(diǎn)設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M（x，y） 則x=，y=，