函數(shù)奇偶性的歸納總結(jié)

1、函數(shù)的奇偶性的歸納總結(jié)考綱要求：了解函數(shù)的奇偶性的概念，掌握判斷一些簡單函數(shù)的奇偶性的方法。教學(xué)目標(biāo)：1、理解函數(shù)奇偶性的概念；2、掌握判斷函數(shù)的奇偶性的類型和方法；3、掌握函數(shù)的奇偶性應(yīng)用的類型和方法；4、培養(yǎng)學(xué)生觀察和歸納的能力，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索創(chuàng)新的精神。教學(xué)重點(diǎn)：1、理解奇偶函數(shù)的定義；2、掌握判斷函數(shù)的奇偶性的類型和方法，并探索其中簡單的規(guī)律。教學(xué)難點(diǎn)：1、對奇偶性定義的理解；2、較復(fù)雜函數(shù)奇偶性的判斷及函數(shù)奇偶性的某些應(yīng)用。教學(xué)過程：一、知識要點(diǎn)：1、函數(shù)奇偶性的概念一般地，對于函數(shù)，如果對于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)。一般地，對于函數(shù)，如果對于函數(shù)定義域內(nèi)任

2、意一個，都有,那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)。理解：(1)奇偶性是針對整個定義域而言的，單調(diào)性是針對定義域內(nèi)的某個區(qū)間而言的。這兩個概念的區(qū)別之一就是，奇偶性是一個“整體”性質(zhì)，單調(diào)性是一個“局部”性質(zhì)；(2)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件。2、按奇偶性分類，函數(shù)可分為四類：奇函數(shù)非偶函數(shù)、偶函數(shù)非奇函數(shù)、非奇非偶函數(shù)、亦奇亦偶函數(shù).3、奇偶函數(shù)的圖象：奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的函數(shù)，偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)。4、函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：具有奇偶性的函數(shù)，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱（也就是說，函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱）。常用的結(jié)論：若f(x)是奇函數(shù)，且x在0處有定

3、義，則f(0)0。奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同，最值相反。奇函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b(0a<b)上單調(diào)遞增（減），則f(x)在區(qū)間b,a上也是單調(diào)遞增（減）；偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反，最值相同。偶函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b（0a<b）上單調(diào)遞增（減），則f(x)在區(qū)間b,a上單調(diào)遞減（增）任意定義在R上的函數(shù)f(x)都可以唯一地表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和。若函數(shù)g(x)，f(x)，fg(x)的定義域都是關(guān)于原點(diǎn)對稱的，則u=g(x)，y=f(u)都是奇函數(shù)時，y=fg(x)是奇函數(shù)；u=g(x)，y=f(u)都是偶

4、函數(shù)，或者一奇一偶時，y= fg(x)是偶函數(shù)。 復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.5、判斷函數(shù)奇偶性的方法：、定義法：對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個x，都有或或函數(shù)f（x）是偶函數(shù)； 對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個x，都有或或 函數(shù)f（x）是奇函數(shù)； 判斷函數(shù)奇偶性的步驟：、判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱；、比較與的關(guān)系。、扣定義，下結(jié)論。、圖象法：圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的函數(shù)是奇函數(shù)；圖象關(guān)于y軸對稱的函數(shù)是偶函數(shù)。，、運(yùn)算法：幾個與函數(shù)奇偶性相關(guān)的結(jié)論：奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)；偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)；奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)；奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)。若為偶函數(shù)，則。二

5、、典例分析1、給出函數(shù)解析式判斷其奇偶性：分析：判斷函數(shù)的奇偶性，先要求定義域，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱的是非奇非偶函數(shù)，若定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，再看f(x)與f(x)的關(guān)系.【例1】 判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1). (2) . 解：函數(shù)的定義域是， ， ， 為偶函數(shù)。（法2圖象法）：畫出函數(shù)的圖象如下：由函數(shù)的圖象可知，為偶函數(shù)。說明：解答題要用定義法判斷函數(shù)的奇偶性，選擇題、填空題可用圖象法判斷函數(shù)的奇偶性。(2) . 解：由 ，得x(，3(3，+).定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故是非奇非偶函數(shù).【例2】 判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1). (2) . (3). 。解： (1).由，解得 定義域?yàn)?x0或

6、0x2，則.為奇函數(shù).說明：對于給出函數(shù)解析式較復(fù)雜時，要在函數(shù)的定義域不變情況下，先將函數(shù)解析式變形化簡，然后再進(jìn)行判斷。 (2) .函數(shù)定義域?yàn)镽， 函數(shù)為偶函數(shù)。(3). 由，解得 ， 函數(shù)定義域?yàn)?，又，且，所?既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)?！纠?】 判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1). ；(2). 解：(1) . 定義域?yàn)镽， f(x)=f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)。說明：給出函數(shù)解析式判斷其奇偶性，一般是直接找與關(guān)系，但當(dāng)直接找與關(guān)系困難時，可用定義的變形式：函數(shù)f（x）是偶函數(shù)； 函數(shù)f（x）是奇函數(shù)。 (2) .函數(shù)的定義域?yàn)镽，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，綜上可知，對于任意的實(shí)數(shù)x，都有，所以函數(shù)

7、為奇函數(shù)。說明：分段函數(shù)判斷奇偶性，必分段來判斷，只有各段為同一結(jié)果時函數(shù)才有奇偶性。分段函數(shù)判斷奇偶性，也可用圖象法。2、抽象函數(shù)判斷其奇偶性：【例4】 已知函數(shù)對任意的非零實(shí)數(shù)恒有判斷函數(shù)的奇偶性。解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，得，令，則取，得故函數(shù)為偶函數(shù)。3、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用：(1) . 求字母的值：【例5】已知函數(shù)是奇函數(shù)，又，求的值.解：由得，。又得，而得，解得。又，或.若，則，應(yīng)舍去；若，則b=1Z.。說明：本題從函數(shù)的奇偶性入手，利用函數(shù)的思想(建立方程或不等式，組成混合組)，使問題得解.有時也可用特殊值，如  f(1)=f(1)，得c =0。 (2) . 解不等式：【例6

8、】若f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x0，+)時，f(x)=x1，求f(x1)0的解集。分析：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，可先作出f(x)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法.解：畫圖可知f(x)0的解集為     x1x1，f(x1)0的解集為x0x2.答案：x0x2說明：本題利用數(shù)形結(jié)合的方法解題較快、簡捷.本題也可先求f(x)的表達(dá)式，再求f(x1)的表達(dá)式，最后求不等式的解也可得到結(jié)果.(3) . 求函數(shù)解析式：【例7】已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且x(，0)時，f(x)=xlg(2x)，求f(x).分析：先設(shè)x0，求f(x)的表達(dá)式，再合并.解：f(x)為奇函數(shù)，f(

9、0)=0.當(dāng)x0時，x0，f(x)=xlg(2+x)，即f(x)=xlg(2+x)，f(x)=xlg(2+x)  (x0).。說明：注意自變量在區(qū)間上的轉(zhuǎn)化，分段函數(shù)的處理和分類討論的思想緊密相連。三、鞏固訓(xùn)練：一、選擇題1.若y=f(x)在x0，+)上的表達(dá)式為y=x(1x)，且f(x)為奇函數(shù)，則x(，0時f(x)等于A.x(1x)             B.x(1+x) C.x(1+x)      

10、         D.x(x1)2.已知四個函數(shù)：，      ， y=3x+3-x， y=lg(3x+3-x).其中為奇函數(shù)的是A.                   B. C.        &

11、#160;          D.3.已知y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時，f(x)=x22x，則在R上f(x)的表達(dá)式為A.x(x2) B. x（x2） C.x(x2) D.x（x2）二、填空題4.已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函數(shù)，且定義域?yàn)閍1，2a，則a=_，b=_.5.若 (xR且x0)為奇函數(shù)，則a=_.6.已知f(x)=ax7bx+2且f(5)=17，則f(5)=_.7.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，的圖像如右圖所示，那么不等式的解集是_ 三、解答題8.已知且x

12、=lnf(x)，判定G(x)的奇偶性。9.已知函數(shù)f(x)滿足f(x+y)+ f(xy)=2f(x)·f(y)(x、yR)，且f(0)0，試證f(x)是偶函數(shù).10.設(shè)函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)，且，求和的解析表達(dá)式。11.已知f(x)x5+ax3-bx-8，f(-2)10，求f(2)。 12.已知都是定義在R上的奇函數(shù)，若在區(qū)間上的最大值為5，求在區(qū)間上的最小值。13.已知是奇函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且有，求實(shí)數(shù)的取值范圍。四、鞏固訓(xùn)練參考答案：一、選擇題1. 解析：x(，0，x0， f(x)=(x)(1+x)，f(x)=x(1+x).  f(x)=x(1+x). 答案：

13、B2. 提示：可運(yùn)用定義，逐個驗(yàn)算.答案：D3. 解析：設(shè)x0，則x0，f(x)是奇函數(shù)，f(x)=f(x)=(x)22(x)=x22x.，即f(x)= x（|x|2），故答案：B 。二、填空題4. 解析：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，故a1=2a，又對于f(x)有f(x)=f(x)恒成立，b=0. 答案： ， 0 。5. 解析：特值法：f(1)=f(1) ，。答案： 。6. 解析：整體思想：f(5)=a(5)7  b(5)+2=17 (a·575b)=15， f(5)=a·57b·5+2=15+2=13. 答案：13 。7. 解析： 是定義在上的奇函數(shù)， 補(bǔ)充其圖像如圖，又不等式同解于或，解得，或或，不等式的解集是，答案：。三、解答題8. 解：由x=lnf(x)得f(x)=ex.。又，G(x)為奇函數(shù)。9. 證明：令x=y=0，有f(0)+f(0)=2f2(0). f(0)0，f(0)=1.令x=0，f(y)+f(y)=2f(0)·f(y)=2f(y). f(y)=f(y). f(x)是偶函數(shù).歸納：賦值法(代入特殊值)在處理一般函數(shù)問題時經(jīng)常用到.10. 解：，又函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)，上式化為，解組成的方程組得，。11. 分析：問題的結(jié)構(gòu)特征啟發(fā)我們設(shè)法利用奇偶性來解 解：令g(x)=x5+ax3-bx，