Chapter13VARMA模型

1、19 VARMA模型1980年Sims提出向量自回歸模型（vector autoregressive model）。這種模型采用多方程聯(lián)立的形式，它不以經(jīng)濟理論為基礎(chǔ)，在模型的每一個方程中，內(nèi)生變量對模型的全部內(nèi)生變量的滯后值進行回歸，從而估計全部內(nèi)生變量的動態(tài)關(guān)系。8.1 基本概念8.1.1 向量平穩(wěn)過程設(shè)X t = (x1t, x2t, , xNt)由N個隨機過程構(gòu)成的多維隨機過程。如果X t的一階矩（均值）和二階矩（協(xié)方差）為時不變的，即與t沒有關(guān)系，則稱X t為弱平穩(wěn)過程。當(dāng)k=0時，表示X t的同期協(xié)方差矩陣，對角線元素Gii(0)表示過程xit的方差，非對角線元素Gij(0)表示過

2、程xit與xjt的協(xié)方差。當(dāng)k0時，對角線元素Gii(k)表示xit與xi, t-k的協(xié)方差，非對角線元素Gij(k)表示xit與xj, t-k的協(xié)方差。8.1.2 跨相關(guān)矩陣令D表示X t = (x1t, x2t, , xNt)標(biāo)準(zhǔn)差構(gòu)成的對角矩陣，則X t與X t-k的相關(guān)系數(shù)矩陣為：其中，第i行第j列的元素具體為：當(dāng)k=0時，0=D-10D-1表示Xt的同期相關(guān)系數(shù)矩陣。對角線元素rii(0)表示過程xit的同期相關(guān)系數(shù)1，非對角線元素rij(0)表示過程xit與xjt的同期跨相關(guān)系數(shù)。當(dāng)k0時，對角線元素rii(k)表示xit與xit-k的自相關(guān)系數(shù)，非對角線元素rij(k)表示xit

3、與xjt-k的跨相關(guān)系數(shù)。顯然，rij(k)與rji(k)表示不同的線性依存關(guān)系，一般情況下，rij(k)rji(k)。因此，Gij(k)和ij(k)不是對稱矩陣。由以及平穩(wěn)條件可得：即：Gij(k)= Gji(-k)，Gij(k)表示矩陣G(k)的第i行第j列元素，Gji(-k)表示矩陣G(-k)的第j行第i列元素。因此，G(k) G(-k)，而是G(k) = G(-k)'。同樣地，ij(k)(-k)，而是(k)=(-k)'。將多維相關(guān)矩陣總結(jié)如下。rij(k)（k=0,1,）表示xit的自相關(guān)函數(shù)。rij(k)（k=0,1,）表示xit與xjt的同期相關(guān)系數(shù)。rij(k)（

4、k=0,1,）表示xit與xj,t-k的跨期相關(guān)系數(shù)。樣本相關(guān)系數(shù)矩陣估計公式為：其中，Kosking（1980，1981）和Li and McLeod（1981）將單變量情形下的Ljung-Box Q統(tǒng)計量推廣到多元情形。原假設(shè)為：(k)=0，k=1, 2, m。即不存在自相關(guān)和跨相關(guān)。檢驗統(tǒng)計量為：在原假設(shè)成立的條件下，。其中，N表示變量的個數(shù)。例：1926年1月至1999年11月，SP500指數(shù)收益率和IBM股價收益率的自相關(guān)和跨相關(guān)。例：石油期貨與現(xiàn)貨價格8.1.3 多維變量濾子設(shè)A(L)和B(L)表示兩個濾子。Aj和Bj表示mr和rs矩陣。濾子的積為D(L)=A(L) B(L)如果A

5、(L) B(L)=I，則稱B(L)為A(L)的逆，或者A(L)為B(L)的逆。從卷積公式可以看出，只要A0¹0，A(L)的逆就存在。比如，求一階多項式F(L) = I-F1L的逆。A0¹I，A1=-F1。B0¹I B1+ A1=0 ® B1=-A1 = F1B2 + A1B1 + A2 = 0 ® B2 =-A1B1 = F12 . Bj = F1j 8.2 向量自回歸模型設(shè)定VAR模型是自回歸模型的聯(lián)立形式，所以稱向量自回歸模型。假設(shè)y1t，y2t之間存在關(guān)系，如果分別建立兩個自回歸模型y1, t = f (y1, t-1, y1, t-2,

6、 )y2, t = f (y2, t-1, y2, t-2, ) 則無法捕捉兩個變量之間的關(guān)系。如果采用聯(lián)立的形式，就可以建立起兩個變量之間的關(guān)系。VAR模型的結(jié)構(gòu)與兩個參數(shù)有關(guān)。一個是所含變量個數(shù)N，一個是最大滯后階數(shù)k。含有N個變量滯后k期的VAR模型表示如下： Yt = c + F1 Yt-1 + F2 Yt-2 + + Fk Yt-k + ut, ut IID (0, W) (8.4)其中， Yt為N´1階時間序列列向量。 c為N´1階常數(shù)項列向量。F1, , Fk 均為N´N階參數(shù)矩陣，ut IID (0, W) 是N´1階隨機誤差列向量，其中

7、每一個元素都是非自相關(guān)的，但這些元素，即不同方程對應(yīng)的隨機誤差項之間可能存在相關(guān)。用滯后算子的表述為：（I-F1L-F2L2-FpLp）Yt = F(L)Yt = c + ut此處，c表示的不是Yt的均值。對于平穩(wěn)過程來講，Yt的均值為：E(Yt) =m= F(1)-1c，其中F(1)= I-F1-F2-Fp 以兩個變量y1t，y2t滯后1期的VAR(1)模型為例， y1, t = c1 + f11 y1, t-1 + f12 y2, t-1 + u1t y2, t = c2 + f21 y1, t-1 + f22 y2, t-1 + u2 t (8.1)其中u1t, u2 t 為獨立白噪聲過

8、程，但u1t與u2 t存在相關(guān)關(guān)系。f11體現(xiàn)了y1的滯后項對其當(dāng)期項的影響，f12體現(xiàn)了y2的滯后項對y1當(dāng)期項的影響；f21體現(xiàn)了y1的滯后項對y2當(dāng)期項的影響，f22體現(xiàn)了y2的滯后項對y2當(dāng)期項的影響。如果f12=0，f210，說明從y1到y(tǒng)2存在單向影響關(guān)系；如果f21=0，f120，說明從y2到y(tǒng)1存在單向影響關(guān)系。如果f21=0，f12=0，說明y2與y1不存在反饋關(guān)系。如果f210，f120，說明y2與y1存在雙向反饋關(guān)系。y2與y1的當(dāng)期相關(guān)關(guān)系通過s12體現(xiàn)。如果s12=0，說明y2與y1不存在當(dāng)期相關(guān)。其矩陣形式是， =+ (8.2)設(shè)， Yt =, c =, F1 =,

9、 ut =,則， Yt = c + F1 Yt-1 + ut (8.3)因VAR模型中每個方程的右側(cè)只含有內(nèi)生變量的滯后項，他們與ut是漸近不相關(guān)的，所以可以用OLS法依次估計每一個方程，得到的參數(shù)估計量都具有一致性。VAR模型的特點是：（1）不以嚴(yán)格的經(jīng)濟理論為依據(jù)。在建模過程中只需明確兩件事：共有哪些變量是相互有關(guān)系的，把有關(guān)系的變量包括在VAR模型中；確定滯后期k。使模型能反映出變量間相互影響的絕大部分。（2）VAR模型對參數(shù)不施加零約束。（對無顯著性的參數(shù)估計值并不從模型中剔除，不分析回歸參數(shù)的經(jīng)濟意義。）（3）VAR模型的解釋變量中不包括任何當(dāng)期變量，所有與聯(lián)立方程模型有關(guān)的問題在V

10、AR模型中都不存在（主要是參數(shù)估計量的非一致性問題）。（4）VAR模型的另一個特點是有相當(dāng)多的參數(shù)需要估計。比如一個VAR模型含有三個變量，最大滯后期k = 3，則有k N 2 = 3 ´ 32 = 27個參數(shù)需要估計。當(dāng)樣本容量較小時，多數(shù)參數(shù)的估計量誤差較大。（5）無約束VAR模型的應(yīng)用之一是預(yù)測。由于在VAR模型中每個方程的右側(cè)都不含有當(dāng)期變量，這種模型用于樣本外一期預(yù)測的優(yōu)點是不必對解釋變量在預(yù)測期內(nèi)的取值做任何預(yù)測。（6）用VAR模型做樣本外近期預(yù)測非常準(zhǔn)確。做樣本外長期預(yù)測時，則只能預(yù)測出變動的趨勢，而對短期波動預(yù)測不理想。西姆斯（Sims）認(rèn)為VAR模型中的全部變量都是

11、內(nèi)生變量。近年來也有學(xué)者認(rèn)為具有單向因果關(guān)系的變量，也可以作為外生變量加入VAR模型。 附錄：（file:B8c1）8.3 VAR模型的平穩(wěn)條件根據(jù)齊次差分方程理論，VAR(p)模型平穩(wěn)性的充分必要條件為：如下特征方程的特征根落在單位圓之外。| I-F1L-F1L2-FpLp | = 0 或者等價地表述為：如下特征方程的特征根落在單位圓之內(nèi)。| ILp-F1Lp-1-F1L p-2-Fp | = 0 顯然，這兩個特征方程的特征根互為倒數(shù)。以VAR(1)模型Yt = c + F1 Yt-1 + ut，為例。將其用滯后算子表述為 (I - F1 L) Yt = c + ut (8.13)保持VAR

12、模型穩(wěn)定的條件是| I - F1L | = 0的根都在單位圓以外，或者| F1 - L I | = 0的根都落在單位圓以內(nèi)。而| F1 - L I | = 0的根即是矩陣F1的特征根。例8.1 對于二變量（N = 2），k = 1的VAR模型： (8.14)其中，F(xiàn)1 =。其特征方程是| I - F1L | = = (1- (5/8) L)2 - 1/8 L 2 = (1-0.978 L) (1-0.27 L) = 0 (8.15)求解得L 1 = 1/0.978 = 1.022, L 2 = 1/0.27 = 3.690因為L 1，L 2都大于1，所以對應(yīng)的VAR模型是穩(wěn)定的。例8.2 對于

13、2個變量、2階VAR模型：Yt = c + F1 Yt-1 + F2 Yt-2 + ut 其中，F(xiàn)1 = , F2 =其特征方程為：| I - F1 L - F2 L 2 | = 0 | I - F1L - F2 L 2| = = = 1- (5/8) L - 1/8 L 2 1- (5/8) L - 3/4 L 2 - - (1/2) L + 1/4 L 2 - (1/4) L + 1/4 L 2= (1-0.978 L) (1-0.27 L) = 0 (8.15)求解得4個根如下表所示。根模L1 = 1.0001.000L 2 = 0.9470.947L 3 = 0.380-0.144 i

14、0.406L 4 = 0.380-0.144 i0.406其中，3個根在單位圓內(nèi)，一個根落在單位圓上，所以平穩(wěn)性條件未能得到滿足。練習(xí)：模擬上述兩個模型的隨機數(shù)據(jù)，觀察其變化趨勢。注：對于高階自回歸方程，可以通過友矩陣變換（companion form）的方法將其轉(zhuǎn)換為VAR(1)模型，然后根據(jù)VAR(1)模型的平穩(wěn)條件判斷其平穩(wěn)性。具體變換過程如下。給出k階VAR模型，Yt = c+ F1 Yt-1 + F2 Yt-2 + + Fk Yt-k + ut (8.17)再配上如下等式， Yt -1 = Yt -1 Yt -2 = Yt -2 Yt -k +1 = Yt - k +1把以上k個等式

15、寫成分塊矩陣形式， (8.18)其中每一個元素都表示一個向量或矩陣。令Yt = (Yt-1 Yt-2 Yt-k+1) 'NK´1C = (c 0 0 0) 'NK´1A =Ut = (ut 0 0 0) ' NK´1上式可寫為Yt = C + A Yt -1 + Ut (8.19)這樣，k階VAR模型用友矩陣表示成了1階分塊矩陣的VAR模型。VAR模型的穩(wěn)定性要求A的全部特征值，即特征方程 | I - A L | = 0的全部根必須在單位圓以外，或者特征方程 | A - l I | = 0的全部根落在單位圓以內(nèi)。注意，特征方程中的A 是Nk

16、´Nk階的。特征方程中的I也是Nk´Nk階的。對于k階VAR模型的友矩陣變換形式，特征方程是，| A - l I | =即：| I - F1 L - F2 L 2 - - Fk L k | = 0的特征根落在單位圓之外。例：2變量2階VAR模型的友矩陣變換形式是 (8.20)其中等式的每一個元素（項）都表示一個4´1階向量或4´4階矩陣。平穩(wěn)性條件要求其特征方程為：| I - AL| = | I - F1 L - F2 L2 | = 0 (8.22)的全部根必須在單位圓以外。例：2變量3階VAR模型的友矩陣變換形式是 (8.21)其中等式的每一個元素（項

17、）都表示一個6´1階向量或6´6階矩陣。平穩(wěn)性條件要求其特征方程為：| I - AL| = = | I- F1 L - F2 L2 - F3 L3 | = 0 (8.23)的全部根必須在單位圓以外。例：以例8.1為例，其友矩陣變換形式是 (8.25)或 =+ (8.26)或 Yt = C + A Yt -1 + Ut (8.27)因為A的階數(shù)為4´4（注意，因為N=2，k=2，所以A的階數(shù)為4´4），所以有4個特征根。特征方程是| A - l I | = 0 (8.28)得到與前文分析完全相同的特征根和同樣的結(jié)論。8.4 VAR模型的估計對于平穩(wěn)VAR模

18、型，每個方程中的解釋變量均與隨機誤差項不相關(guān)，因此可采用OLS單獨估計每個方程。如果假定隨機誤差項服從聯(lián)合正態(tài)分布，則可以采用ML方法進行估計。對數(shù)似然函數(shù)為：8.4.1 VAR模型滯后期k的選擇建立VAR模型除了要滿足平穩(wěn)性條件外，還應(yīng)該正確確定滯后期k。如果滯后期太少，誤差項的自相關(guān)會很嚴(yán)重，并導(dǎo)致參數(shù)的非一致性估計。正如在第4章介紹ADF檢驗的原理一樣，在VAR模型中適當(dāng)加大k值（增加滯后變量個數(shù)），可以消除誤差項中存在的自相關(guān)。但從另一方面看，k值又不宜過大。k值過大會導(dǎo)致自由度減小，直接影響模型參數(shù)估計量的有效性。下面介紹幾種選擇k值的方法。1 用LR統(tǒng)計量選擇k值。LR（似然比）統(tǒng)

19、計量定義為， LR = - 2 (log L(k) - log L(k+1) ) (8.34)其中l(wèi)og L(k) 和log L(k+1) 分別是VAR(k) 和 VAR(k+1) 模型的極大似然估計值。k表示VAR模型中滯后變量的最大滯后期。LR統(tǒng)計量漸近服從分布。顯然當(dāng)VAR模型滯后期的增加不會給極大似然函數(shù)值帶來顯著性增大時，即LR統(tǒng)計量的值小于臨界值時，新增加的滯后變量對VAR模型毫無意義。應(yīng)該注意，當(dāng)樣本容量與被估參數(shù)個數(shù)相比不夠充分大時，LR的有限樣本分布與LR漸近分布存在很大差異。2 根據(jù)信息準(zhǔn)則選擇k值。實踐中常用的幾種信息準(zhǔn)則包括赤池（Akaike）準(zhǔn)則AIC、施瓦茨（Sch

20、wartz）準(zhǔn)則SC以及Hannan-Quinn準(zhǔn)則HN。系統(tǒng)方程中的信息準(zhǔn)則計算公式為：AIC令C(T)=2，SC令C(T)=Log(T)，HN令C(T)=2LogLog(T)。一般地，給出最高的kmax，在k=1,2, , kmax 中選擇使IC取最小值的k作為最優(yōu)選擇。但需要注意的是，信息準(zhǔn)則受被解釋變量y的測度單位的影響，因此信息準(zhǔn)則不能用于選擇被解釋變量不同的模型（比如y 和 log(y)）。例8.3 以第8章案例為例，k =1、2、3、4時的LogL、Akaike AIC和Schwarz SC的值見下表。VAR(1)VAR(2)VAR(3)VAR(4)LogL184.6198.92

21、00.0207.8-2 (log L(k) - log L(k+1) )28.62.215.6¬ c2(9) = 16.9Akaike AIC-7.84-8.27-8.09-8.23Schwarz SC-7.36-7.41-6.85-6.6建立滯后2期的VAR模型是可以的。8.4.2 Granger因果關(guān)系在標(biāo)準(zhǔn)的VAR模型中，所有變量的滯后項出現(xiàn)在每個方程中。檢驗部分變量的滯后項是否對其他變量的當(dāng)期項存在顯著的解釋作用，這種檢驗稱為Granger因果關(guān)系檢驗。如果解釋作用顯著，則稱之為存在Granger因果關(guān)系。比如，在VAR(2)模型中，y2的滯后項對于y1沒有解釋作用，稱作y2

22、不會格蘭杰導(dǎo)致y1。Granger檢驗方法可以直接通過回歸方程的參數(shù)顯著性進行。更一般地，檢驗部分變量y2與y1的格蘭杰因果關(guān)系可以通過VAR(k)進行。設(shè)數(shù)據(jù)為 (x, y, z)，其中(x, y, z)分別包含N1、N2和N3個變量。令，。將S分解為：x不會格蘭杰導(dǎo)致y，當(dāng)且僅當(dāng)A1=0。y不會格蘭杰導(dǎo)致x，當(dāng)且僅當(dāng)E1=0。對A1=0或E1=0的檢驗可以通過似然比統(tǒng)計量進行，其中，和分別表示受約束模型和無約束模型的協(xié)方差矩陣。 注意：（1）滯后期k的選取是任意的。實質(zhì)上是一個判斷性問題。以xt和yt為例，如果xt-1對yt存在顯著性影響，則不必再做滯后期更長的檢驗。如果xt-1對yt不存

23、在顯著性影響，則應(yīng)該再做滯后期更長的檢驗。一般來說要試檢驗若干個不同滯后期k的格蘭杰因果關(guān)系檢驗，且結(jié)論相同時，才可以最終下結(jié)論。（2）當(dāng)做xt是否為導(dǎo)致yt變化的格蘭杰原因檢驗時，如果zt也是yt變化的格蘭杰原因，且zt又與xt相關(guān)，這時在xt是否為導(dǎo)致yt變化的格蘭杰因果關(guān)系檢驗式的右端應(yīng)加入zt的滯后項（實際上是3個變量VAR模型中的一個方程）。（3）EViews 4.1在VAR模型的框架內(nèi)，可做一對一變量的格蘭杰非因果性檢驗，也可以做一對多個變量的格蘭杰非因果性檢驗。（4）不存在協(xié)整關(guān)系的非平穩(wěn)變量之間不能進行格蘭杰因果關(guān)系檢驗。8.5 VAR模型的脈沖響應(yīng)函數(shù)和方差分解由于VAR模型

24、參數(shù)的OLS估計量只具有一致性，單個參數(shù)估計值的經(jīng)濟解釋是很困難的。要想對一個VAR模型做出分析，通常是觀察系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)和方差分解。8.5.1 脈沖響應(yīng)函數(shù) 脈沖響應(yīng)函數(shù)描述一個內(nèi)生變量對誤差沖擊的反應(yīng)。具體地說，它描述的是在隨機誤差項上施加一個標(biāo)準(zhǔn)差大小的沖擊后對內(nèi)生變量的當(dāng)期值和未來值所帶來的影響。對于平穩(wěn)的VAR過程，總可以將其轉(zhuǎn)換為VMA()過程。即其中，相應(yīng)地，Ys中第i行第j列元素表示的是第i個變量對第j個變量的誤差沖擊項產(chǎn)生的響應(yīng)，即：令其它條件不變的情況下，當(dāng)?shù)趈個變量yjt對應(yīng)的誤差項ujt在t期受到一個單位的沖擊后，對第i個內(nèi)生變量yt在(t + s)期造成的影響。把

25、Ys中第i行第j列元素yij看作是滯后期s的函數(shù), s = 1, 2, 3, 稱作脈沖響應(yīng)函數(shù)（impulse-response function），脈沖響應(yīng)函數(shù)描述了各個變量在t期以及以前各期保持不變的前提下，yi, t+s（s=1, 2, ）對uj, t的一次沖擊的響應(yīng)過程。以VAR(1)模型為例：Yt = c + F1 Yt-1 + ut (8.29)前文已經(jīng)得出（I - F1L）的逆矩陣，B0 = I，B1 = F1，B2 = F12，. ，Bj = F1j 。因此，上述VAR(1)模型可以表示為VMA的形式： Yt = (I - F1)-1 c + (8.33)其中，F(xiàn)10 = I。

26、由 (8.33)式可得： 考慮如下VAR(1)模型： 假設(shè)y0=0。在第1期給u1一個標(biāo)準(zhǔn)差的沖擊，u2為0新息。即設(shè)第2、3期u1、u2均為0新息。那么y2、y3分別為：類似地，假設(shè)y0=0。在第1期給u2一個標(biāo)準(zhǔn)差的沖擊，u1為0新息。即設(shè)第2、3期u1、u2均為0新息。那么y2、y3分別為：每個變量在不同期的響應(yīng)如下表和下圖所示。表 脈沖響應(yīng)表 脈沖響應(yīng)圖如上例所示，如果不同方程的新息不相關(guān)，則可以考察變量對每個不同信息的脈沖的響應(yīng)，即某個方程的新息出現(xiàn)波動而其他方程的新息不變時，各個變量的響應(yīng)。實踐中，不同方程的新息是相關(guān)的。當(dāng)誤差項相關(guān)時，它們有一個共同的組成部分，不能被任何特定的變

27、量所識別。因此，不可能做到只有某個方程的新息變化而其他方程的新息不變。因此，對脈沖響應(yīng)函數(shù)的解釋就比較困難。為解決這一問題，考慮Cholesky分解。引入一個變換矩陣M與ut相乘，MM' = W ® M-1W M-1' = I。vt = M-1ut。則vt的協(xié)方差矩陣為：cov(vtvt ') = cov(M-1utut' M-1') = M-1W M-1' = I。vt = M-1ut (0, I)，或者ut = Mvt 從而把ut的方差協(xié)方差矩陣W變換為一個單位矩陣I。轉(zhuǎn)換后的誤差項vt是正交的。如上例中，W的Cholesky分解矩

28、陣為：第1期的y1的1個標(biāo)準(zhǔn)差沖擊，即設(shè)第2、3期v1、v2均為0新息（u1、u2也為0）。那么y2、y3分別為：類似地，第1期的y2方程的1個標(biāo)準(zhǔn)差沖擊，即設(shè)第2、3期v1、v2均為0新息（u1、u2也為0）。那么y2、y3分別為：雖然喬利斯基分解被廣泛應(yīng)用，但是對于共同部分的歸屬來說，它還是一種很隨意的方法。方程順序的改變將會影響到脈沖響應(yīng)函數(shù)。因此在解釋脈沖響應(yīng)函數(shù)時應(yīng)小心。比如，在上例中，將方程的順序更改為，W的Cholesky分解矩陣為：第1期的y1的1個標(biāo)準(zhǔn)差沖擊，即設(shè)第2、3期v1、v2均為0新息（u1、u2也為0）。那么y2、y3分別為：類似地，第1期的y1的1個標(biāo)準(zhǔn)差沖擊，即

29、設(shè)第2、3期v1、v2均為0新息（u1、u2也為0）。那么y2、y3分別為：每個變量在不同期的響應(yīng)如下表和下圖所示。注意：對于ut中的每一個誤差項，內(nèi)生變量都對應(yīng)著一個脈沖響應(yīng)函數(shù)。這樣，一個含有4個內(nèi)生變量的VAR將有16個脈沖響應(yīng)函數(shù)。8.5.2 預(yù)測誤差方差分解VAR模型的另一種分析方法是方差分解，既分析未來t+s期的yj, t+s的預(yù)測誤差的方差由不同新息的沖擊影響的比例。與脈沖響應(yīng)函數(shù)(impulse response function)相對應(yīng)，方差分解提供了另一種描述系統(tǒng)動態(tài)變化的方法。脈沖響應(yīng)函數(shù)是追蹤系統(tǒng)對一個內(nèi)生變量的沖擊效果，反映一個變量的沖擊對所有內(nèi)生變量當(dāng)期及未來各期的

30、影響，而方差分解將VAR系統(tǒng)中任意一個內(nèi)生變量的預(yù)測均方誤差分解成系統(tǒng)中各變量的隨機沖擊所做的貢獻，然后計算出每一個變量沖擊的相對重要性，即各變量沖擊的貢獻占總貢獻的比例。比較這個相對重要性信息隨時間的變化，就可以估計出該變量的作用時滯，還可估計出各變量效應(yīng)的相對大小。因此，方差分解揭示了一個變量的運動軌跡在多大程度上是由于自己的沖擊，多大程度上是由于系統(tǒng)中其它變量的沖擊。另外，在VAR模型中，如果對一個方程的沖擊在任何預(yù)測區(qū)間都不能解釋所關(guān)注變量的預(yù)測誤差方差，那么稱所關(guān)注的這些變量為外生的，其運動獨立于其它方程的沖擊。另一方面，如果一個方程的沖擊在任何區(qū)間完全解釋了所關(guān)注變量的預(yù)測誤差方差

31、，那么稱所關(guān)注的這些變量為完全內(nèi)生的，其運動完全取決于其他方程的沖擊。在這一方面，預(yù)測誤差方差分解也為我們提供了非常有用信息。以VAR(1)模型為例（假設(shè)均值為0）。yt = A yt -1 + ut對(t+1)期的預(yù)測值為：對(t+2)期的預(yù)測值為：依此類推，可得到對(t+s)期的預(yù)測值預(yù)測誤差為：預(yù)測誤差的方差為：對于VAR(k)過程的預(yù)測誤差，可以通過其友矩陣變換的形式來計算。假設(shè)下式是由任一VAR(k) 模型轉(zhuǎn)換而得到的關(guān)于Yt的一階向量自回歸模型。Yt = A Yt -1 + Ut (8.38)E(Ut Us') = 其中QNk´Nk = 。Q中的每一個元素都是N&

32、#180;N階的。注意，(8.38)式中的前N行就是原VAR(k) 模型。對(8.38)進行迭代運算，上式中的前N行（原VAR中的方程）可用向量表示為，Yt+s = A11(s) Yt + A12(s) Yt-1 + A1k (s) Yt -k+1 + ut +s + A11 ut+s -1+ A11(2) ut+s -2 +A11 (s-1) ut +1 (8.40)其中 (A11(s) Yt + A12(s) Yt-1 + A1k (s) Yt -k+1) 表示(8.39)式中As Yt的前N行。(ut +s + A11 ut+s -1+ A112 ut+s -2 + + A11s-1 u

33、t +1)表示(8.39)式中(Ut+s + A Ut+s -1+ A2 Ut+s -2 + + As-1 Ut +1)的前N行。其中A1j (s), ( j =1, 2, k) 表示As中第1至N行和N(k-1)+1到Nk列圍成的塊。A11(i) , (i =1, 2, s-1) 表示Ai的左上塊。Ai為A的i次方。 把(8.40)式寫成，Yt+s = A11(s) Yt + A12(s) Yt-1 + A1k (s) Yt -k+1 + ut +s + Y1 ut+s -1+ Y2 ut+s -2 +Y s-1 ut +1 (8.41)其中A11=Y1，A11(2) =Y2，A11 (s-

34、1) =Y s-1。可得到對(t+s)期的預(yù)測值：= A11(s) Yt + A12(s) Yt-1 + A1k (s) Yt -k+1預(yù)測誤差為：Yt+s -= ut+s +Y1 ut+s-1 + Ys-2 ut+ 2+ Ys-1 ut+1預(yù)測誤差的方差為：Var(es) = W + Y1WY1' + Y2WY2 ' + +Y s-1WY s-1' (8.40)其中W = E(ut ut' )。（不同期的ut等于零） 下面考察每一個正交化誤差項對預(yù)測誤差方差的貢獻。通過下式把ut變換為正交化誤差項vt。根據(jù)Cholesky分解，可以找到矩陣M，M滿足：MM&#

35、39; = W ® M-1W M-1' = I。vt = M-1ut。則vt的協(xié)方差矩陣為：cov(vtvt ') = cov(M-1utut' M-1') = M-1W M-1' = I。vt = M-1ut (0, I)，或者ut = Mvt 轉(zhuǎn)換后的vt彼此正交，稱為正交誤差項。vt的方差矩陣為var(vt) = I，I為對角矩陣。每一期隨機誤差項的方差為：將其帶入預(yù)測誤差方差表達式中，這里，我們注意和式中每一項的結(jié)構(gòu)。以二元VAR模型為例。根據(jù)Cholesky分解， 第1期的預(yù)測誤差為W，即y1的預(yù)測誤差為：y2的預(yù)測誤差為：因此，的預(yù)

36、測誤差方差完全是由于第1個方程的新息帶來的，即var(v1)和var(v2)各自的比例為100%和0%。的預(yù)測誤差則是由于第1個方程的新息和第2個方程的新息共同帶來的，var(v1)和var(v2)各自的比例為c21/( c21+ c22)和c22/( c21+ c22)。第2期的預(yù)測誤差為W+AWA'，即y1的預(yù)測誤差為：y2的預(yù)測誤差為：因此，第1、2個方程的新息在的預(yù)測誤差方差中所占比重分別為：第1、2個方程的新息在的預(yù)測誤差方差中所占比重分別為：，每一期的預(yù)測誤差都可以做同樣的分解。因此，在預(yù)測誤差方差中，我們可以通過Cholesky分解把每個變量的預(yù)測誤差方差分解到不同變量的

37、沖擊項當(dāng)中。這便是預(yù)測誤差方差分解。例：考察如下模型的第1、2、3期的預(yù)測誤差方差分解。W的Cholesky分解矩陣為：根據(jù)預(yù)測誤差方差分解公式：第1期的預(yù)測誤差方差分解為：第2期的預(yù)測誤差方差分解為：=第3期的預(yù)測誤差：=以此類推，我們可以得到如下預(yù)測誤差方差分解表。表：預(yù)測誤差方差分解表8.6 結(jié)構(gòu)VAR模型在VAR模型中，變量之間的當(dāng)期相關(guān)關(guān)系沒有直接體現(xiàn)出來，而是通過隨機誤差項的協(xié)方差矩陣體現(xiàn)的。將其稱作簡化形式（reduced form）VAR模型。為了更直接地體現(xiàn)變量之間直接的線性相關(guān)和考察脈沖響應(yīng)的直接的經(jīng)濟含義，考慮對VAR模型進行適當(dāng)?shù)淖儞Q。首先來看如下例子。例：在如下結(jié)構(gòu)模

38、型中，將其表述為A(L)Yt = c + vt, vt IID (0, I) 其中，A(L)= A0 + A1 L + + Ap Lp 假定vt是白噪聲過程。如果不滿足這一假定，比如說，vt是一個向量自回歸過程：vt = F1 vt-1 + F2 vt-2 + + Fk vt-k + et, et IID (0, W)則可以通過在結(jié)構(gòu)模型兩邊同時乘以（I - F1 L - F2 L2- - Fk Lk）將誤差項轉(zhuǎn)換為白噪聲過程。即在模型中增加Yt的滯后項，由p階滯后增加到(p+k)階滯后。模型中，v1、v2、v3、v4分別表示貨幣余額、名義利率、收入和價格水平的沖擊項。將此模型轉(zhuǎn)換為VAR模型

39、，即兩邊同時乘以A 0-1，新的隨機擾動項為A 0-1vt = ut 每個新的隨機擾動項都是u1、u2、u3、u4的一個線性組合。這時候，脈沖響應(yīng)函數(shù)為：¶Yt+s/¶ui,t顯然，它沒有直接的經(jīng)濟含義。我們更感興趣的是¶Yt+s/¶vi,t。結(jié)構(gòu)VAR模型是通過VAR模型的估計結(jié)果來計算¶Yt+s/¶vi,t的重要方法。8.6.1 Cholesky分解Cholesky分解：任意對稱正定矩陣A可以寫為一個下三角矩陣L與其轉(zhuǎn)置U=L'的乘積，即A=LU?？紤]對L進行進一步轉(zhuǎn)換。令di表示L對角線元素的倒數(shù)。令D=Diag(d1,

40、 d2, , dK)，則A=LU = LD-1D2D-1U = (LD-1) D2 (D-1U) = L* D2 L*'。(L*)-1是一個特殊的下三角矩陣，其形式為：在VAR模型Yt = c + F1 Yt-1 + F2 Yt-2 + + Fk Yt-k + ut, ut IID (0, W)中，W為對稱正定矩陣。根據(jù)Cholesky分解，W = L* D2 L*' = L* G L*'。由此可得：(L*)-1W (L*') -1 = G。G= D2為對角矩陣。模型兩邊同時乘以(L*)-1得到：(L*)-1 Yt = (L*)-1c + (L*)-1F1 Yt

41、-1 + (L*)-1F2 Yt-2 + + (L*)-1Fk Yt-k + (L*)-1ut, Yt* = c* + F1* Yt-1 + F2* Yt-2 + + Fk* Yt-k + ut* 在轉(zhuǎn)換的新模型中，F(xiàn)k* = (L*)-1Fk。根據(jù)L*的形式可知，Yt*的形式為：由于ut*的方差矩陣為對角矩陣，wNj直接體現(xiàn)了變量的當(dāng)期相關(guān)關(guān)系，因此，稱這種方程為結(jié)構(gòu)（structural）VAR模型。需要注意的是，在SVAR模型分析中，Cholesky分解結(jié)果依賴于變量的排序。事實上，由于L*是下三角矩陣，因此，Cholesky分解體現(xiàn)了變量因果關(guān)系的一種遞推關(guān)系，即每個變量影響排在其后面

42、的所有變量，但不受排在其前面的變量的影響。因此，第一個變量影響所有其他變量而不受其他變量的影響，是外生性最強的；而最后一個變量受所有其他變量的影響，而不影響其他變量，是內(nèi)生性最強的。例：考慮如下二元VAR(1)模型： 根據(jù)Cholesky分解，可得：模型兩邊同時乘以L-1，第二個方程（y2）為：類似地，將變量重新排序，可得到第二個方程（y1）為： 8.6.2 短期SVAR模型Cholesky分解只是SVAR模型的一種特殊形式。其最大局限在于，分析結(jié)果直接受到變量排序的影響，而這一個問題的來源在于Cholesky分解中的遞歸性質(zhì)。SVAR估計的主要目的在于在脈沖響應(yīng)分析中獲得隨機誤差項的非遞歸正

43、交分解。設(shè)一般形式的系統(tǒng)方程為：A(L)Yt = c + vt, vt IID (0, I)其中，A(L)= A0 + A1 L + + Ap Lp，為n×n的多項式矩陣，I為單位矩陣。注意，在結(jié)構(gòu)方程中每個方程中都存在內(nèi)生解釋變量。方程兩邊同時乘以A0-1可得：A0-1 A (L)Yt = A 0-1c + A 0-1vt A0-1 (A0 + A1 L + + Ap Lp)Yt = A 0-1vt 即(I + F1 L + + Fp Lp) = m + ut ，ut IID (0, W)這即是VAR模型的形式。其中，F(xiàn)1 = A0-1A1, ., Fp = A0-1Ap；m =A0-1c。A0直接體現(xiàn)了變量的相關(guān)關(guān)系，是否可以由VAR模型求出A0中的未知參數(shù)呢？重寫結(jié)構(gòu)VAR模型與SVAR模型的參數(shù)對應(yīng)關(guān)系為：VAR模型：(I + F1 L + + Fp Lp) Yt = m + ut , ut IID (