4升58容斥原理之重疊問(wèn)題

1、 第八講：容斥原理之重疊問(wèn)題 一、 導(dǎo)入 文氏圖 文氏圖，也叫“維恩圖”，是由英國(guó)著名數(shù)學(xué)家 Venn 發(fā)明的維恩（公元 1834 年 8 月 4 日公元 1923 年 4 月 4 日）十九世紀(jì)英國(guó)著名的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家，生于英國(guó)赫爾他 1883 年獲得理學(xué)博士學(xué)位，同年被選為英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員維恩最主要的成就是系統(tǒng)解釋并發(fā)展了幾何表示的方法，也就是發(fā)明了文氏圖他作出一系列簡(jiǎn)單閉曲線（圓或更復(fù)雜的圖形），將平面分為許多間隔利用這種圖表，維恩闡明了演繹推理的基本原理為了進(jìn)一步明確起見(jiàn)，他還引入了一些數(shù)學(xué)難題作為實(shí)例雖然在維恩之前，萊布尼茨（Leibniz）已系統(tǒng)地運(yùn)用過(guò)這類邏輯圖，但今天這種邏輯圖仍

2、稱作“維恩圖”另外，維恩在概率論和邏輯學(xué)方面也有很大貢獻(xiàn)，他的著作機(jī)會(huì)邏輯和符號(hào)邏輯，在 19 世紀(jì)末 20 世紀(jì)初曾享有很高的聲譽(yù)除了數(shù)學(xué)以外，維恩還有一項(xiàng)較為特別的技能制作機(jī)器他曾制作過(guò)一部板球發(fā)球機(jī)，當(dāng)澳洲板球隊(duì)在 1909 年到訪劍橋大學(xué)時(shí)，維恩的機(jī)器依然運(yùn)作正常，并使他們其中一位成員打空四次什么是容斥原理？這一講我們主要學(xué)習(xí)和“包含”與“排除”有關(guān)的問(wèn)題，這樣的問(wèn)題在生活中就有不少，比如吃瓜子我們說(shuō)吃掉了一斤瓜子，指的是帶殼的瓜子，并非真的吃到肚子里一斤，因?yàn)檫@一斤中還“包含”著瓜子殼如果要計(jì)算到底吃了多少，最簡(jiǎn)單的方法就是稱一稱瓜子殼，用原來(lái)的一斤“排除”掉瓜子殼的重量瓜子的例子相

3、對(duì)簡(jiǎn)單，一斤瓜子里一部分是瓜子仁，另一部分就是瓜子殼，兩者各不相關(guān)但本講要學(xué)習(xí)的包含與排除問(wèn)題要復(fù)雜一些，各部分之間會(huì)有重疊比如一個(gè)辦公室中每個(gè)人都至少愛(ài)喝茶或咖啡中的一種，已知有 7 個(gè)人愛(ài)喝茶，10 個(gè)人愛(ài)喝咖啡，那能不能就說(shuō)辦公室里有 17 個(gè)人呢？顯然不能，因?yàn)榭赡苡幸恍┤思葠?ài)喝茶也愛(ài)喝咖啡，如果直接將喝茶的人數(shù)和喝咖啡的人數(shù)相加，會(huì)把既愛(ài)喝茶又愛(ài)喝咖啡的人計(jì)算 2 次，計(jì)算人數(shù)的時(shí)候要把這一部分減去才行比如，如果有 3 個(gè)人既愛(ài)喝茶又愛(ài)喝咖啡，那總的人數(shù)就應(yīng)該是 7 + 10 3 = 14 人這就是我們今天要來(lái)研究的問(wèn)題有重疊的計(jì)數(shù)問(wèn)題，即包含與排除問(wèn)題研究這種問(wèn)題通常需要畫(huà)出示意圖

4、，這樣的示意圖又叫做文氏圖，下面我們就用文氏圖推導(dǎo)兩個(gè)對(duì)象的容斥原理公式兩個(gè)量之間的重疊例1、某班有34名同學(xué)參加了學(xué)校的運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中有17名參加了跳繩，有20 名參加了拔河，問(wèn)：及參加了跳繩又參加了拔河的又多少人？如右圖所示，如果要計(jì)算三個(gè)部分的總數(shù)，直接計(jì)算 A+B 就會(huì)算多了，而多算的正好是共同部分，只要把多算的減掉就可以了上述分析總結(jié)成公式就是：這個(gè)公式就是兩個(gè)對(duì)象的容斥原理17+20-34=37-34=3（人）答：即參加跳繩又參加拔河的同學(xué)有3人。練一練1、五年級(jí)有 122 名學(xué)生參加語(yǔ)文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門(mén)功課的成績(jī)是優(yōu)秀，其中語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的有 65 人，數(shù)學(xué)優(yōu)秀的有 87

5、人語(yǔ)文、數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有多少人？ 2、 在一次數(shù)學(xué)測(cè)試中有兩道題全班同學(xué)都至少答對(duì)一題，答對(duì)第一題的有33人，答對(duì)第二題的又38 人，兩題都答對(duì)的又15 人，問(wèn)全班又多少人？3、學(xué)校文藝組每人至少會(huì)演奏一種樂(lè)器。已知會(huì)拉手風(fēng)琴的有24人，會(huì)彈電子琴的有17人，其中兩種樂(lè)器都會(huì)的有8人，這個(gè)文藝組一共有多少人？挑戰(zhàn)思維1、為了參加一次競(jìng)賽，某班46人中，每人至少參加一項(xiàng)。其中有20人參加語(yǔ)文興趣小組，參加語(yǔ)文同時(shí)又參加數(shù)學(xué)興趣小組的有2人，兩項(xiàng)都沒(méi)有報(bào)的有10 人，那么參加數(shù)學(xué)興趣小組的有多少人？換個(gè)思路想一想至少報(bào)一項(xiàng)的有多少人？三個(gè)量之間的重疊1、某單位元旦期間組織旅游，每人至少說(shuō)出一個(gè)想去的

6、地方。其中想去海南的有42人，想去桂林的有44人，想去港澳的有36人，既想去海南又想去桂林的有12人，既想去桂林又想去港澳的有8人，既想去海南又想去港澳的有10人，三個(gè)地方都想去的有4人。問(wèn)這個(gè)單位一共有多少人？（42=44+36）-12-8-10+4=122-（12+8+10）+4=122-30+4=96（人）答：這個(gè)單位一共有96 人。方法總結(jié)：（1） 三個(gè)量的重疊問(wèn)題中，如果是全部參與，則總?cè)藬?shù)等于參加三項(xiàng)的人數(shù)和減去同時(shí)參加兩項(xiàng)的人數(shù)和，再加上同時(shí)參加的三項(xiàng)人數(shù)。（2） 三個(gè)量的重疊問(wèn)題中，如果是部分參與，則總?cè)藬?shù)等于至少參加一項(xiàng)的人數(shù)和三項(xiàng)都沒(méi)有參加的人數(shù)和，如果都參加了，總數(shù)等于三

7、個(gè)量的和減去兩兩重疊的部分，在加上三個(gè)量重疊的部分。公式：s=a + b + c-ab-bc-ac+abc部分參與公式：s=a + b + c-ab-bc-ac+abc+d（d是三項(xiàng)都沒(méi)有參加的人數(shù)）練一練1、學(xué)校對(duì)150名大學(xué)生做關(guān)于業(yè)余生活的調(diào)查，統(tǒng)計(jì)到喜歡看電影的有63人，喜歡玩球的有66人，喜歡讀書(shū)的有54人，既喜歡看電影又喜歡玩球的有18人，既喜歡玩球又喜歡讀書(shū)的有12人，既喜歡看電影又喜歡讀書(shū)的有15人.問(wèn)：三種都喜歡的有多少人？2、在校園藝術(shù)活動(dòng)中，五（2）班的同學(xué)參加了美術(shù)和聲樂(lè)比賽。參加美術(shù)比賽的有25人，參加聲樂(lè)比賽的有20人，兩項(xiàng)都參加的有12人，兩項(xiàng)都沒(méi)有參加的有10人

8、。五（2）班一共有多少人？挑戰(zhàn)競(jìng)賽3、學(xué)校舉行運(yùn)動(dòng)會(huì)。四年級(jí)共有60名同學(xué)，其中參加百米賽跑的有21人，參加投擲的有26人，即參加百米有參加跳遠(yuǎn)的有12人，即參加跳遠(yuǎn)有參加投擲的有9人，即參加百米有參加投擲的有14人，三項(xiàng)都參加的有5人，三項(xiàng)都沒(méi)有參加的有12人，問(wèn)參加跳遠(yuǎn)的有多少人？重疊問(wèn)題中的極值問(wèn)題1、40人參加某次晚會(huì)，其中28 人在晚會(huì)上唱了歌，25人在晚會(huì)上跳舞，那么即唱歌有跳舞的人最多有多少人，最少有多少人？換個(gè)思路想一想要使人數(shù)最多則重疊最多，怎么畫(huà)圖才可以重疊最多呢？要使人數(shù)最少，可以圖形不重疊嗎？最多：25人最少:(28+25)-40=13人答：最多25 人最少13 人。方

9、法總結(jié)：兩個(gè)量的極值中，兩項(xiàng)都參加的人最多，就是較少的一項(xiàng)；兩項(xiàng)都參加的人數(shù)最少，就是求重疊部分。練一練換個(gè)思路想一想最多56人還是75 人，最少是0人嗎？為什么？1、 某校100名學(xué)生中，愛(ài)好音樂(lè)的有56人，愛(ài)好美術(shù)的有75人，那么即愛(ài)好音樂(lè)有愛(ài)好美術(shù)的最多有多少人？最少有多少人？2、 某班30 名同學(xué)。在一項(xiàng)測(cè)試中，答對(duì)一題的有19 人，答對(duì)2題的14 人，那么兩題都答對(duì)的最多有多少人？最少有多少人？挑戰(zhàn)思維3、希望小學(xué)音樂(lè)興趣小組有37 人，其中20人會(huì)手風(fēng)琴，16人會(huì)鋼琴，24人會(huì)電子琴，即會(huì)手風(fēng)琴又會(huì)鋼琴的8人，即會(huì)電子琴又會(huì)鋼琴的10人，即會(huì)手風(fēng)琴又會(huì)電子琴的8人，那么三種都 不會(huì)

10、的至少多少人？換個(gè)思路想一想根據(jù)：s=a + b + c-ab-bc-ac+abc+d若要d最大，則abc必須怎么樣？方法總結(jié)：兩個(gè)量的極值中，兩項(xiàng)都參加的人最多，就是較少的一項(xiàng)；兩項(xiàng)都參加的人數(shù)最少，就是求重疊部分。三個(gè)量的極值中，如果要不參加的最多，就要參加的盡量少。家庭作業(yè)1、 一個(gè)班有48人，班主任在班會(huì)上問(wèn)：“誰(shuí)做完語(yǔ)文作業(yè)?請(qǐng)舉手!”有37人舉手。又問(wèn)：誰(shuí)做完數(shù)學(xué)作業(yè)?請(qǐng)舉手!”有42人舉手。最后問(wèn)：“誰(shuí)語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)沒(méi)有做完?”沒(méi)有人舉手。求這個(gè)班語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的人數(shù)是_人。2、某個(gè)班的全體學(xué)生進(jìn)行了短跑、游泳、籃球三個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試，有4名學(xué)生在這三個(gè)項(xiàng)目上都沒(méi)有達(dá)到優(yōu)秀，其

11、余每人至少有一個(gè)項(xiàng)目達(dá)到優(yōu)秀，這部分學(xué)生達(dá)到優(yōu)秀的項(xiàng)目、人數(shù)如下表：短跑游泳籃球短跑、游泳游泳、籃球籃球、短跑短跑、游泳、籃球1718156652求這個(gè)班的學(xué)生數(shù)？3、某班共有30名男生，其中20人參加足球隊(duì)，12人參加藍(lán)球隊(duì)，10人參加排球隊(duì)。已知沒(méi)一個(gè)人同時(shí)參加3個(gè)隊(duì)，且每人至少參加一個(gè)隊(duì)，有6人既參加足球隊(duì)又參加藍(lán)球隊(duì)，有2人既參加藍(lán)球隊(duì)又參加排球隊(duì)，那么既參加足球隊(duì)又參加排球隊(duì)的有多少人？4、班有46人其中會(huì)彈琴的有30人，會(huì)拉小提琴的有28人，則這個(gè)班級(jí)會(huì)彈琴又會(huì)拉小提琴的至少有多少人？5、某班同學(xué)中，有26人愛(ài)打籃球，17人愛(ài)打排球，19人愛(ài)踢足球，有9人既愛(ài)打籃球又愛(ài)踢足球，有4人既愛(ài)打排球又愛(ài)踢足球，有7人既愛(ài)打籃球又愛(ài)打排球，沒(méi)有一個(gè)人三種球都愛(ài)玩，也沒(méi)有一個(gè)人三種球都不愛(ài)玩，問(wèn)：這個(gè)班共有多少學(xué)生？6、某班有45名同學(xué)，其中22名同學(xué)參加科技興趣小組，27名同學(xué)參加