2018高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題

1、2018年淅川二高二年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題一、選擇題：本題共6小題，每小題5分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1若<<0，給出下列不等式：<；|a|b>0；a>b；ln1a2 >ln1b2.其中正確的不等式的個(gè)數(shù)是()A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)2ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c。已知，a=2，c=，則 () A B C D3當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為（ ）A2BC4D4.若是等差數(shù)列，首項(xiàng)則使前n項(xiàng)和成立的最大自然數(shù)是()A2 012 B2 013 C2 014 D2 0155. 設(shè)集合則A. 對(duì)任意實(shí)數(shù)a， B. 對(duì)任意

2、實(shí)數(shù)a，（2，1）C. 當(dāng)且僅當(dāng)a<0時(shí)，（2，1） D. 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，（2，1）6. 已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面所成的角相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為A. B. C. D. 二、填空題：本題共2小題，每小題5分，共10分。7已知等比數(shù)列an中，a10，q0，前n項(xiàng)和為Sn，則與的大小關(guān)系為_8已知分別為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，2，且，則面積的最大值為 三、解答題：每題15分，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。9. （本小題滿分15分) 已知數(shù)列滿足，設(shè)（1）求；（2）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說明理由；（3）求的通項(xiàng)公式10.（本小題滿分15分)已知

3、中國某手機(jī)品牌公司生產(chǎn)某款手機(jī)的年固定成本為40萬元，每生產(chǎn)1萬部還需另投入16萬元.設(shè)公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機(jī) 萬部并全部銷量完，每萬部的銷售收入為 萬元，且 (1)寫出年利潤 （萬元）關(guān)于年產(chǎn)量 （萬部）的函數(shù)解析式； (2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬部時(shí)，公司在該款手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤.11.（本小題滿分15分）的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知 （I）求C；（II）若的面積為，求的周長12（本小題滿分15分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且 ，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，是否存在最大的正整數(shù)k，使得對(duì)于任意的正整數(shù)，有 恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由

4、四、附加題，每題10分，計(jì)入總分。13.解下列不等式：ax2(a1)x10(a0)14.（本小題13分）設(shè)和是兩個(gè)等差數(shù)列，記，其中表示這個(gè)數(shù)中最大的數(shù)（）若，求的值，并證明是等差數(shù)列；（）證明：或者對(duì)任意正數(shù)，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，；或者存在正整數(shù)，使得是等差數(shù)列2018年淅川二高二年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題答一、1.C 2. A 3. D 4.C 5.D 6.A1.解析：選C法一：因?yàn)?lt;<0，故可取a1，b2.顯然|a|b121<0，所以錯(cuò)誤；因?yàn)閘n a2ln(1)20，ln b2ln(2)2ln 4>0，所以錯(cuò)誤，綜上所述，可排除A、B、D，故選C.法二：由<<0

5、，可知b<a<0.中，因?yàn)閍b<0，ab>0，所以<，故正確；中，因?yàn)閎<a<0，所以b>a>0，故b>|a|，即|a|b<0，故錯(cuò)誤；中，因?yàn)閎<a<0，又<<0，則>>0，所以a>b，故正確；中，因?yàn)閎<a<0，根據(jù)yx2在(，0)上為減函數(shù)，可得b2>a2>0，而yln x在定義域(0，)上為增函數(shù)，所以ln b2>ln a2，故錯(cuò)誤由以上分析，知正確。5.【答案】D【解析】分析：求出及所對(duì)應(yīng)的集合，利用集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行求解.詳解：若，則且，即若

6、，則，此命題的逆否命題為：若，則有，故選D.點(diǎn)睛：此題主要結(jié)合充分與必要條件考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，集合法是判斷充分條件與必要條件的一種非常有效的方法，根據(jù)成立時(shí)對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷. 設(shè)，若，則；若，則，當(dāng)一個(gè)問題從正面思考很難入手時(shí)，可以考慮其逆否命題形式.6.【答案】A【解析】分析：首先利用正方體的棱是3組每組有互相平行的4條棱，所以與12條棱所成角相等，只需與從同一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱所成角相等即可，從而判斷出面的位置，截正方體所得的截面為一個(gè)正六邊形，且邊長是面的對(duì)角線的一半，應(yīng)用面積公式求得結(jié)果.詳解：根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，所以在正方體中，平面與線所成的角

7、是相等的，所以平面與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，同理平面也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等，要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個(gè)面與中間的，且過棱的中點(diǎn)的正六邊形，且邊長為，所以其面積為，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)平面被正方體所截得的截面多邊形的面積問題，首要任務(wù)是需要先確定截面的位置，之后需要從題的條件中找尋相關(guān)的字眼，從而得到其為過六條棱的中點(diǎn)的正六邊形，利用六邊形的面積的求法，應(yīng)用相關(guān)的公式求得結(jié)果.二、7解析：當(dāng)q1時(shí)，3，5，所以.當(dāng)q0且q1時(shí)，0，所以.綜上可知.答案：8 ( 2014)三、9. 詳解：（1）由條件可得an+1=將n=1代入得，a

8、2=4a1，而a1=1，所以，a2=4將n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12從而b1=1，b2=2，b3=45分（2）bn是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列由條件可得，即bn+1=2bn，又b1=1，所以bn是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列5分（3）由（2）可得，所以an=n·2n-15分10.（本小題滿分15分)解：（1）當(dāng) 時(shí)，2分當(dāng) 時(shí)， 4分所以7分（2）當(dāng) 時(shí)，所；8分 當(dāng) 時(shí)， ， 由于 ， 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 時(shí)，等號(hào)成立 13分 所以 取最大值為5760 14分 綜合知，當(dāng) 時(shí)， 取得最大值6104萬元 15分11.試題解析：（I）由已知及正弦定理得，故可得，所以12（

9、本小題滿分15分）解：（1）由已知an=Sn1+2， an+1=Sn+2，得an+1an=SnSn1 （n2），an+1=2an （n2）又a1=2，a2=a1+2=4=2a1，an+1=2an （n=1，2，3，）數(shù)列an是一個(gè)以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，an=22n1=2n6分（2）bn=，Tn=bn+1+bn+2+b2n=+，Tn+1=bn+2+bn+3+b2（n+1）=+Tn+1Tn=+=n是正整數(shù)，Tn+1Tn0，即Tn+1Tn數(shù)列Tn是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，又T1=b2=，TnT1=，要使Tn恒成立，則有，即k615分四、附加題，每題10分13. 原不等式變?yōu)?ax1)(x1)0，

10、因?yàn)閍0，所以a(x1)0.所以當(dāng)a1，即<1時(shí)，解為x1；當(dāng)a1時(shí)，解集為；當(dāng)0a1，即>1時(shí)，解為1x.綜上，當(dāng)0a1時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)a1時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)a1時(shí)，不等式的解集為.14.【解析】（）設(shè)數(shù)列和的公差分別為，則.所以 時(shí)，取正整數(shù)，則當(dāng)時(shí)，因此.此時(shí)，是等差數(shù)列. 時(shí)，對(duì)任意，此時(shí)，是等差數(shù)列. 時(shí)，當(dāng)時(shí)，有.所以 對(duì)任意正數(shù)，取正整數(shù)，故當(dāng)時(shí)，.20. 設(shè)n為正整數(shù)，集合A=對(duì)于集合A中的任意元素和，記M（）=（）當(dāng)n=3時(shí)，若，求M（）和M（）的值；（）當(dāng)n=4時(shí)，設(shè)B是A的子集，且滿足：對(duì)于B中的任意元素，當(dāng)相同時(shí)，M（）是奇數(shù)；當(dāng)不同時(shí)，M（）是偶

11、數(shù)求集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值； （）給定不小于2的n，設(shè)B是A的子集，且滿足：對(duì)于B中的任意兩個(gè)不同的元素，M（）=0寫出一個(gè)集合B，使其元素個(gè)數(shù)最多，并說明理由詳解：解：（）因?yàn)?（1，1，0），=（0，1，1），所以M(，)= (1+1|11|)+(1+1|11|)+(0+0|00|)=2，M(，）= (1+0|10|)+(1+1|11|)+(0+1|01|)=1（）設(shè)=（x1，x 2，x3，x4）B，則M(，）= x1+x2+x3+x4由題意知x1，x 2，x3，x40，1，且M(，)為奇數(shù)，所以x1，x 2，x3，x4中1的個(gè)數(shù)為1或3所以B(1，0，0，0），（0，1，0，0)，（0

12、，0，1，0)，（0，0，0，1)，（0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0).將上述集合中的元素分成如下四組： （1，0，0，0)，(1，1，1，0)；（0，1，0，0)，(1，1，0，1)；（0，0，1，0)，（1，0，1，1)；（0，0，0，1)，（0，1，1，1).經(jīng)驗(yàn)證，對(duì)于每組中兩個(gè)元素，均有M(，）=1.所以每組中的兩個(gè)元素不可能同時(shí)是集合B的元素所以集合B中元素的個(gè)數(shù)不超過4.又集合（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1)滿足條件，所以集合B中元素個(gè)數(shù)的最大值為4.（）設(shè)Sk=( x1，x 2，xn）|(

13、 x1，x 2，xn）A，xk =1，x1=x2=xk1=0）（k=1，2，n)，Sn+1=( x1，x 2，xn）| x1=x2=xn=0，則A=S1S1Sn+1對(duì)于Sk（k=1，2，n1）中的不同元素，經(jīng)驗(yàn)證，M(，)1.所以Sk（k=1，2 ，n1）中的兩個(gè)元素不可能同時(shí)是集合B的元素所以B中元素的個(gè)數(shù)不超過n+1.取ek=( x1，x 2，xn）Sk且xk+1=xn=0（k=1，2，n1）.令B=（e1，e2，en1）SnSn+1，則集合B的元素個(gè)數(shù)為n+1，且滿足條件.故B是一個(gè)滿足條件且元素個(gè)數(shù)最多的集合點(diǎn)睛：解決新定義問題的兩個(gè)著手點(diǎn)(1)正確理解新定義耐心閱讀，分析含

14、義，準(zhǔn)確提取信息是解決這類問題的前提，剝?nèi)バ露x、新法則、新運(yùn)算的外表，利用所學(xué)的知識(shí)將陌生的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為我們熟悉的性質(zhì)，是解決這類問題的突破口(2)合理利用有關(guān)性質(zhì)是破解新定義型問題的關(guān)鍵在解題時(shí)要善于從題設(shè)條件給出的數(shù)式中發(fā)現(xiàn)可以使用性質(zhì)的一些因素，并合理利用15(12分)(2016·山東)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知2(tan Atan B).(1)證明：ab2c；(2)求cos C的最小值解析：(1)證明：由題意知2()，化簡(jiǎn)得2(sin Acos Bsin Bcos A)sin Asin B，即2sin(AB)sin Asin B.因?yàn)锳BC，所以si

15、n(AB)sin(C)sin C.從而sin Asin B2sin C.由正弦定理得ab2c.(2)由(1)知c，所以cos C()，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立故cos C的最小值為.答案：(1)見解析(2)17.（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足=1，.（）證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（）證明：.17.（本小題滿分12分）（）證明：由得又，所以是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，因此的通項(xiàng)公式為（）由（）知因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以于是所以5(2018·河南百校聯(lián)盟模擬)已知正實(shí)數(shù)a，b滿足ab4，則的最小值為_解析：ab4，a1b38，(a1)(b3)×(22)，當(dāng)且僅當(dāng)a1b3，即a3

16、，b1時(shí)取等號(hào)，的最小值為.答案：4.數(shù)列an滿足，則an=（B）ABCD14、若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是=_.【命題意圖】本題主要考查等比數(shù)列定義、通項(xiàng)公式及數(shù)列第n項(xiàng)與其前n項(xiàng)和的關(guān)系，是容易題.【解析】當(dāng)=1時(shí)，=，解得=1，當(dāng)2時(shí)，=()=，即=，是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，=.16.在等比數(shù)列an中anR，且a3，a11是方程3x225x+27=0的兩根，a7= 16.31.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S6S7S5，則滿足Sn0的n的最大值（C）A10 B11 C12 D132.若=，則ABC是（A）A等腰直角三角形B有一個(gè)內(nèi)角是30°的直角三角形C等邊三角形D有一個(gè)內(nèi)角是30°的等腰三角形D有一個(gè)內(nèi)角是30°的等腰三角形3.數(shù)列an滿足，則an=（B）ABCD4.在ABC 中，已知a=2，b=2，A=30°，則B=（