2013碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)一真題及解析

1、2013碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)一真題及解析1. 已知極限，其中k，c為常數(shù)，且，則（）A. B. C. D. 答案（D）解析：用洛必達(dá)法則因此，即2.曲面在點(diǎn)處的切平面方程為（ ）A. B. C. D. 答案（A）解析：法向量切平面的方程是：，即。3.設(shè)，令，則（ ）A . B. C. D. 答案（C）解析：根據(jù)題意，將函數(shù)在展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)（只含有正弦，不含余弦），因此將函數(shù)進(jìn)行奇延拓：，它的傅里葉級(jí)數(shù)為，它是以2為周期的，則當(dāng)且在處連續(xù)時(shí)，。4.設(shè)，為四條逆時(shí)針?lè)较虻钠矫媲€，記，則A. B. C. D 答案（D）解析：由格林公式，,在內(nèi)，因此在外，所以5.設(shè)A,B,C均為n階矩陣，若AB

2、=C，且B可逆，則（ ）A.矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價(jià)B矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價(jià)C矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價(jià)D矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價(jià)6.矩陣與相似的充分必要條件為（ ）A. B. 為任意常數(shù) C. D. 為任意常數(shù)7.設(shè)是隨機(jī)變量，且，則（ ）A. B. C. D8.設(shè)隨機(jī)變量,，給定，常數(shù)c滿足，則( )（9）設(shè)函數(shù)y=f(x)由方程y-x=ex(1-y) 確定，則 。(10)已知y1=e3x xe2x，y2=ex xe2x，y3= xe2x是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的3個(gè)解，則該方程的通解y=。（11）設(shè)。（12）。（13）設(shè)A=

3、(aij)是3階非零矩陣，為A的行列式，Aij為aij的代數(shù)余子式.若aij+Aij=0(i，j=1,2,3），則A。（14）設(shè)隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，a為常數(shù)且大于零，則PYa+1|Ya=三解答題： （15）（本題滿分10分）計(jì)算，其中f(x)解：使用分部積分法和換元積分法(16)(本題10分)設(shè)數(shù)列an滿足條件：S（x）是冪級(jí)數(shù)（1）證明：（2）求(I)證明：由題意得 即 (II) 解：為二階常系數(shù)齊次線性微分方程，其特征方程為從而 ，于是 ，由，得所以（17）（本題滿分10分）求函數(shù).解答：先求駐點(diǎn)，令，解得為了判斷這兩個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，求二階導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)處，因?yàn)?所以不是極值點(diǎn)

4、。類似的，在點(diǎn)處，因?yàn)?，所以是極小值點(diǎn)，極小值為(18)(本題滿分10分)設(shè)奇函數(shù)f(x)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(1)=1，證明：（I）存在（）存在19.(本題滿分10分)設(shè)直線L過(guò)A（1,0,0），B（0,1,1）兩點(diǎn)將L繞z軸旋轉(zhuǎn)一周得到曲面，與平面所圍成的立體為。（1） 求曲面的方程；（2） 求的形心坐標(biāo)。解：20.（本題滿分11分）設(shè)，當(dāng)a,b為何值時(shí)，存在矩陣C使得AC-CA=B,并求所有矩陣C。第20題解：令，則 ，則由得，此為4元非齊次線性方程組，欲使存在，此線性方程組必須有解，于是 所以，當(dāng)時(shí)，線性方程組有解，即存在，使。又 ,所以 21.（本題滿分11分）設(shè)二次型，記，。（1） 證明二次型f對(duì)應(yīng)的矩陣為；（2） 若正交且均為單位向量，證明f在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為。證明：（3）22.（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為令隨機(jī)變量（1） 求Y的分布函數(shù)；（2） 求概率.23.(本