(數(shù)學(xué)三)微積分性質(zhì)公式整理

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上微積分第一章 函數(shù)、連續(xù)、極限一、函數(shù)：1.函數(shù)的性態(tài)：有界性區(qū)間內(nèi)連續(xù)函數(shù)必有界，反之不然。 同區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)有界則原函數(shù)有界。 區(qū)間內(nèi)有最大值（或最小值），則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有上界（下屆）。 方法：定義、結(jié)合極限、連續(xù)與導(dǎo)數(shù)來(lái)確定。單調(diào)性單調(diào)函數(shù)一定有反函數(shù)且單調(diào)性相同。 單調(diào)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍然是單調(diào)函數(shù)。 單調(diào)函數(shù)的原函數(shù)和導(dǎo)數(shù)不一定仍為單調(diào)函數(shù)。 方法：利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)分析。周期性f(x+T)=f(x) 以T為周期的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)以T為周期，但原函數(shù)不一定為周期函數(shù)。 以T為周期的連續(xù)函數(shù)： aa+Tfxdx=0Tf(x)dx=-T/2T/2fxdx 0nTfxdx=n

2、0Tf(x)dx 方法：定義，利用常見(jiàn)函數(shù)判斷（三角函數(shù)）。奇偶性前提：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。 奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇×偶=奇，偶×偶=偶奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)之積為奇函數(shù)，偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)之積是偶函數(shù)奇奇復(fù)合為奇，偶偶復(fù)合為偶，奇偶復(fù)合為偶。求導(dǎo)后變換奇偶性。f(x)為偶 f(x)為奇，f(x)為奇f(x)為偶。若f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則：f(x)=f(x)-f(-x)+ f(x)+f(-x) 式中前者為奇，后者為偶。方法：定義2.相關(guān)：反函數(shù)單調(diào)函數(shù)一定有反函數(shù)，反函數(shù)與直接函數(shù)單調(diào)性相同，圖像關(guān)于y=x對(duì)稱求定義域分式中分母不為0，根式中負(fù)數(shù)不能開偶次方根，對(duì)數(shù)中底數(shù)大于0

3、不等于1，真數(shù)大于0，arcsinx與arccosx中-1x1tanx，secx中xk+ ，cosx與cscx中xk求表達(dá)式換元法，分段函數(shù)分段求。二、極限1.數(shù)列的極限：定義給定數(shù)列Xn及常數(shù)a，若對(duì)于任意給定的正數(shù)0，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n>N時(shí)，有|Xna|恒成立，則稱常數(shù)a為數(shù)列Xn的極限，或者稱數(shù)列Xn收斂于a，極為limnXn=a。性質(zhì)唯一性：數(shù)列收斂則極限唯一。有界性：收斂數(shù)列一定有界。 保號(hào)性：如果limnXn=a，且a0（或a0），那么存在正整數(shù)N，當(dāng)nN時(shí)，都有Xn0（或Xn0）。如果limnXn=a，limnYn=b，且ab，那么存在正整數(shù)N，當(dāng)nN時(shí)，都有XnY

4、n。 如果數(shù)列收斂于a，那么此數(shù)列的任意子數(shù)列都收斂于a。求法利用通向表達(dá)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，若limxf(x)=A，則limnf(n)=A。 若數(shù)列通項(xiàng)是n項(xiàng)和或積時(shí)，可利用積分定義，設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，則： limnk=1nfa+b-ank·b-an=abf(x)dx limn1n·k=1nf(kn)=01f(x)dx2.函數(shù)的極限：定義性質(zhì)唯一性：有極限則極限唯一。局部有界性：XX0時(shí)f(x)A，則f(x)在X0的某去心鄰域內(nèi)有界。局部保號(hào)性：XX0時(shí)f(x)A，A0（或A0），則在x0的某去心鄰域內(nèi)f(x0（或f(x)0）。反之亦然。 求法化簡(jiǎn)：無(wú)窮小量等量

5、代換，分子分母同時(shí)除以最高次的項(xiàng)，根式有理化 洛必達(dá)法則 導(dǎo)數(shù)的定義 利用兩個(gè)重要極限變形 冪指函數(shù)極限 limf(x)g(x)： limf(x)g(x)=limegxlnf(x)=elimgxlnf(x) 變量代換：題設(shè)x時(shí)，設(shè)t=1x 往往可以簡(jiǎn)化計(jì)算 帶皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式展開： ex=1+x22!+x33!+o(x3)； ln1+x=x-12x2+13x3+o(x3) sinx=x-13!x3+15!x5+o(x5)； cosx=1-12!x2+14!x4+o(x4) 11-x=1+x+x2+x3+o(x3)； (1+x)=1+x+(-1)2!x2+-1(-2)3!x3+o(x3) 利

6、用左右極限求極限：分段函數(shù)：絕對(duì)值函數(shù)，取整函數(shù)x，最大最小，符號(hào)函數(shù)sgn(x)，且求分段點(diǎn)的極限時(shí)，要從左右極限入手當(dāng)極限式中包含limxarctanx，limxarccotx，limxax時(shí)，要從x-，x+入手含參變量的極限應(yīng)考慮參變量的范圍求已知極限中的待定參數(shù)，函數(shù)值，導(dǎo)數(shù)及函數(shù)等： limfx·g(x)=A，limfx=limg(x)=0 limfxgx=A，limgx=0limf(x)=03.無(wú)窮小量與無(wú)窮大量性質(zhì)limfx=Afx=A+(x)，其中(x)是此極限過(guò)程下的無(wú)窮小量。 有限個(gè)無(wú)窮小量的和、積均為無(wú)窮小量 無(wú)窮小量×有界量仍為無(wú)窮小量。比較同一變化

7、中，(x)0，則對(duì)于lim(x)(x) 若為0，則稱(x)是x的高階無(wú)窮小，記作(x)o(x) 若為，則稱(x)是x的低階無(wú)窮小。 若為1，則等價(jià)。若為常數(shù)C，則同階。若lim(x)(x)k=C，則則稱(x)是x的k階無(wú)窮小等價(jià)無(wú)窮小 ex-1x ax-axlna (1+x)m-1mx 1-cosx12x2 x-sinx16x3 x-ln(1+x)12x2 乘除因子項(xiàng)可直接替換等價(jià)無(wú)窮小，加減項(xiàng)不可。無(wú)窮大量當(dāng)n時(shí)，按照趨向無(wú)窮的速度越來(lái)越大排列的函數(shù)：lnn，naa>0，ana>0，n!，nn4.極限的運(yùn)算四則運(yùn)算若limfx=A，limgx=B，則： limfx±g(

8、x)=A±B & limfx·g(x)=A·B limfxgx=AB(B0) & limf(x)g(x)=AB(A>0)若limf存在但limg不存在，則limfg和limfg可能存在也可能不存在。重要結(jié)果 limx(x)1x=1； limx0+(x)1x=0； limx0+xx=1； limnna=1，a1； limnnn=1 limfx·g(x)=A，limfx=limg(x)=0 limfxgx=A，limgx=0limf(x)=05.兩個(gè)重要極限： limx0sinxx=1 limx0(1+x)1x=e或limx(1+1x)

9、x=e設(shè)(x)0，則 limsin(x)(x)=1。 設(shè)f(x)A，g(x)，則 limf(x)g(x)=lim1+(fx-1)1fx-1·fx-1g(x)=elimfx-1g(x) （1式） 或limf(x)g(x)=limegxlnfx=elimgxlnf(x)=elimgxfx-16.極限存在準(zhǔn)則：?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)不增或不減，且有上界或下界的數(shù)列Xn必有極限。夾逼準(zhǔn)則如果數(shù)列XnYnZn滿足YnXnZn（n=1，2）； limnYn=a，limnZn=a，則limnXn存在且等于a函數(shù)的極限存在準(zhǔn)則類似。7.洛必達(dá)法則：定義注意只有00，的未定式才可使用。 盡量結(jié)合等價(jià)無(wú)窮小替

10、換、變量替換簡(jiǎn)化運(yùn)算。 非零因子項(xiàng)（乘或除項(xiàng)）的極限用四則運(yùn)算法則先求出后再使用洛必達(dá)法則。三、函數(shù)的連續(xù)與間斷1.連續(xù)的定義x0點(diǎn)處x0的某鄰域，若limxx0f(x)=f(x0)，則f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。左連續(xù)與右連續(xù)。開區(qū)間連續(xù)對(duì)于任意x0(a,b)，f(x)在x0連續(xù)，則稱f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)閉區(qū)間上連續(xù)f(x)在(a,b)連續(xù)，且 limxa+f(x)=fa，limxb-f(x)=f(b)半開半閉區(qū)間上連續(xù)應(yīng)用判斷抽象函數(shù)的連續(xù)性2.連續(xù)的條件同時(shí)滿足f(x)在x0點(diǎn)有定義，limxx0f(x)存在，且limxx0f(x)=f(x0)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)f(x)在x0點(diǎn)既左連

11、續(xù)，又右連續(xù)。3.間斷點(diǎn)定義不滿足連續(xù)三個(gè)條件的點(diǎn)分類第一類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)：左右極限存在且相等左右極限至少有一個(gè)不存在的點(diǎn)，分為無(wú)窮間斷點(diǎn)、震蕩間斷點(diǎn)等。跳躍間斷點(diǎn)：左右極限存在但不想等 判斷求出可能間斷點(diǎn)的左右極限4.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)，初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間內(nèi)連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的和差積商以及復(fù)合仍為連續(xù)函數(shù)。f(x)在a,b內(nèi)連續(xù)，則axftdt(axb)，在a,b上可導(dǎo)，對(duì)axftdt在a,b上可應(yīng)用最值、介值、零點(diǎn)定理。設(shè)f(x)在x0處連續(xù)，若limxx0f(x)x-x0=A，則f(x0)=0，且f(x0)=A連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)證明題構(gòu)造F

12、(x)后使用 有界性與最大最小值定理：閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)函數(shù)一定有界且一定能取到最大最小值。 介值定理：在a,b內(nèi)f(a)=A，f(b)=B，CA,B，則(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)使得f()=C 閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)可以取到其區(qū)間上的任意有限個(gè)函數(shù)值的平均值。 零點(diǎn)定理：f(x)在a,b內(nèi)連續(xù)且f(a)·f(b)0，則(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)使得f()=0第二章 一元函數(shù)微分一、導(dǎo)數(shù)與微分1.導(dǎo)數(shù)的概念定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域U(x0)內(nèi)有定義，并設(shè)x0xU(x0)。若極限limx0fx0+x-f(x0)x 存在，則稱y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x

13、0處的導(dǎo)數(shù)，記為f(x0)，即f(x0)=limx0yx=limx0fx0+x-f(x0)x 。也可記作y=|x=x0，dydx|x=x0或df(x)dx|x=x0。左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)limx0-fx0+x-f(x0)x 或 limx0+fx0+x-f(x0)x導(dǎo)數(shù)與極限的聯(lián)系 f(x0)= limxx0fx-f(x0)x-x0 若f(x0)存在，limxx0g(x)=limxx0h(x)=x0，則（在下列極限存在時(shí)） limxx0fg(x)-f(x0)g(x)-x0=f x0，(g(x)x0) limxx0fg(x)-f(x0)x-x0=f x0·limxx0g(x)-x0x-x0，設(shè)

14、limxx0g(x)-x0x-x0存在。 limxx0fg(x)-fh(x)x-x0=f x0·limxx0g(x)-h(x)x-x0，設(shè)limxx0g(x)-h(x)x-x0存在。 設(shè)f(x)在x0處連續(xù)，則 limxx0fxx-x0=Afx0=0，f x0=A limxx0fx(x-x0)k=Ak>1fx0=0，f x0=0 limxx0fx(x-x0)k=A00<k<1fx0=0，f x0 不存在可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 可導(dǎo)函數(shù)一定連續(xù)，反之不然。可導(dǎo)的充要條件左右導(dǎo)數(shù)存在且相等導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)在幾何上表示曲線y=f(x)在點(diǎn)

15、M(x0，f(x0)處的切線的斜率，即f(x0)=tan，其中是切線的傾角。法線斜率=-1f (x0)。導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，則導(dǎo)函數(shù)f(x)稱為邊際函數(shù)，f(x0)稱為在x=x0點(diǎn)的邊際函數(shù)值，而limx0yy/xx=limx0(yx·xy)=xy f(x0) 稱為f(x)的彈性函數(shù)2.導(dǎo)數(shù)的計(jì)算基本初等tanx=sec2 x cotx=-csc2 x secx=secxtanx cscx=-cscxcotx ax=axlna logax=1x ln a (arcsinx)=11-x2 arccosx=-11-x2 (arctanx)=11+x2 (arccosx)=-

16、11+x2反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)通過(guò)等式F(x，y)=0兩邊對(duì)x求導(dǎo)，y作為中間變量，按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)變限積分的導(dǎo)數(shù)設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，則axf(t)dt在a,b上可導(dǎo)，且(axf(t)dt)=f(x) 設(shè)f(x)連續(xù)，g(x)與h(x)都可導(dǎo)，則gxhxftdt=fhxhx-fgxg(x) 對(duì)于gxhxaxfx,tdt，先提出a(x)，再命u=x,t作積分變量變換，使得被積表達(dá)式中不再含x（變化至上下限或提出積分號(hào)外），然后再對(duì)x求導(dǎo)。 設(shè)f(x)在a,b上可積，則axf(t)dt在a,b上連續(xù)。高階導(dǎo)數(shù) (u±v)(n)=u

17、(n)±v(n) 萊布尼茨公式：(uv)(n)=k=0nnku(n-k)v(k) 利用冪級(jí)數(shù)展開 fxn=0anx-x0fnx0=ann! 常見(jiàn)函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)： (sinx)(n)=sin(x+n·2) (cosx)(n)=cos(x+n·2) (ex)(n)=ex (ax)(n)=ax·(lna)n (xm)(n)=0， n>mn!，n=mmm-1m-2m-n+1xm-n，n<m 其中m為正整數(shù) (11+x)(n)=(-1)nn!(1+x)n+1 ln(1+x)(n)=(-1)n-1(n-1)!(1+x)n sin(ax+b)(n)=ans

18、in(ax+b+n·2) cos(ax+b)(n)=ansin(ax+b+n·2) (1ax+b)(n)=(-1)nan·n!(ax+b)n+1 ln(ax+b)(n)=(-1)n-1an·(n-1)!(ax+b)n含絕對(duì)值函數(shù)的可導(dǎo)性設(shè)g(x)在x0連續(xù)，則函數(shù)f(x)=|x-x0|g(x)在x0處可導(dǎo)gx0=0 設(shè)fx0=0，f x0存在，則|f(x)|在x0處可導(dǎo) f x0=0隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)于冪指函數(shù)可化為指數(shù)形式或者兩邊取對(duì)數(shù)，再兩邊對(duì)x求導(dǎo)，將看作x的函數(shù)，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)，整理得出y 在導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式中允許含有因變量y 隱函數(shù)求在具體一點(diǎn)

19、x0處的導(dǎo)數(shù)時(shí)，先由原方程求出對(duì)應(yīng)的y0值，再帶入求導(dǎo)后的式子中求出y更為簡(jiǎn)便。3.微分 y=Ax+o(x) dy=Ax，dx=x二、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.函數(shù)的單調(diào)性與極值單調(diào)性充分條件f(x)0，；f(x)0，極值可能極值點(diǎn)就是導(dǎo)數(shù)為0或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)。 極值第一充分條件x0左右的f(x)異號(hào)，則f(x0)處取極值。 極值第二充分條件f(x)在x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f(x0)0，f(x0)0，則 f(x0)0時(shí)，f(x0)為極大；f(x0)0時(shí)，f(x0)為極小。最值駐點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，端點(diǎn)。拐點(diǎn)與駐點(diǎn)的高階判斷： f2n(x0)0f2n(x0)>0，fx0極小f2n(x0)<0，fx

20、0極大f2n+1x00，x0，fx0是拐點(diǎn) 2.函數(shù)的凹凸性和拐點(diǎn)凹凸性凹?。篺x1+x22<fx1+f(x2)2 f(x)0；凸弧：fx1+x22>fx1+f(x2)2 f(x)0拐點(diǎn)凹弧與凸弧的分界點(diǎn)。拐點(diǎn)處f(x)=0或f(x)不存在 求法：f(x)在x0兩側(cè)鄰近符號(hào)相反，增減性改變，f(x0)=0且f(x0)0的點(diǎn)。3.曲線的漸近線水平漸近線limxf(x)=C，則y=C為y=f(x)的水平漸近線鉛直漸近線limxx0f(x)=，則x=x0為y=f(x)的鉛直漸近線斜漸近線limxf(x)x=a0，limxfx-ax=b，則y=ax+b為曲線的斜漸近線4.導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用邊際

21、求導(dǎo)彈性三、中值定理及不等式的證明1.微分中值定理費(fèi)馬定理設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域U(x0)內(nèi)有定義，并在x0處可導(dǎo)，如果對(duì)任意的xU(x0)，有f(x)f(x0)（或f(x)f(x0)），那么f(x0)=0。羅爾定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)(ab)，使得f()=0。拉格朗日中值定理如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)(ab)，使得f(a)-f(b)= f()(b-a)。 拉格朗日中值定理等價(jià)表達(dá)：存在（01），使得f(a)-f(b)= f

22、a+(b-a)(b-a)柯西中值定理如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)可導(dǎo)，且對(duì)任意x(a,b)，F(xiàn)(x)0，那么在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得fb-f(a)Fb-F(a)=f ()F()泰勒中值定理f(x)=fnx0n!(x-x0)n+fn+1(n+1)!(x-x0)n+12.證明 P55-68第三章 一元函數(shù)積分學(xué)一、不定積分1.不定積分的概念f(x)的原函數(shù)為F(x)+C對(duì)于區(qū)間a,b上任一連續(xù)函數(shù)f(x)，有原函數(shù)fxdx=axf(t)dt+C2.關(guān)于原函數(shù)的結(jié)論若f(x)在a,b上不連續(xù)，則F(x)= axf(t)dt即使存在，甚至可導(dǎo)，也不一定是f(

23、x)在a,b上的原函數(shù)。若f(x)在a,b上有第一類間斷點(diǎn)，由于導(dǎo)函數(shù)沒(méi)有第一類間斷點(diǎn)可知f(x)一定沒(méi)有原函數(shù)，即在a,b上不定積分fxdx不存在。f(x)為奇函數(shù) f(x)的任意原函數(shù)F(x)為偶函數(shù)f(x)為偶函數(shù)f (x)的原函數(shù)中只有一個(gè)為奇函數(shù)，即0xf(t)dt。f(x)的任意原函數(shù)F(x)為周期函數(shù)f(x)為周期函數(shù)f(x)是以T為周期的周期函數(shù)且0Tf(x)dx=0f(x)的任意原函數(shù)是以T為周期的周期函數(shù)。3.基本性質(zhì) f xdx=fx+C 或 dfx=fx+C ddxfxdx=f(x) 或 dfxdx=f(x)dx4.積分公式 dxx=ln|x|+C axdx=axlna

24、+C secxdx=lnsecx+tanx+C cscxdx=lncscx-cotx+C 1a2+x2dx=1aarctanxa+C (a>0) 1a2-x2dx=arcsinxa+C (a>0) 1x2-a2dx=12alnx-ax+a+C (a>0) 1a2-x2dx=12alna+xa-x+C (a>0) 1x2-a2dx=lnx+x2-a2+C (a>0) 1x2+a2dx=lnx+x2+a2+C (a>0) a2-x2dx=x2a2-x2+a22arcsinxa+C (a>0) x2±a2dx=x2x2±a2+a22lnx

25、+x2±a2+C常用的變量代換 三角帶換：a2-x2，可令x=asint，t(-2,2) a2+x2，可令x=atant，t(-2,2) -a2+x2，可令x=asect，t0,2(,32) 根式代換：nax+b 或nax+bcx+d，直接令此根式為t 包含kax+b，lax+b 時(shí)，令此根式為t=nax+b（n為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)） 倒代換：當(dāng)被積函數(shù)分母的最高次冪高于分子的最高次冪時(shí)，可考慮令x=1t5.第一換元法（湊微分法）6.第二換元法7.分段函數(shù)的積分根據(jù)不同區(qū)間上的函數(shù)表達(dá)式分段分別積分，再利用原函數(shù)在分段點(diǎn)的連續(xù)性（可導(dǎo)一定連續(xù)），粘合起來(lái)，即將各段上的任意常數(shù)Ci統(tǒng)

26、一成一個(gè)任意常數(shù)C。二、定積分1.存在條件必要條件abf(x)dx存在的必要條件是f(x)在a,b上有界。充分條件abf(x)dx存在的充分條件是f(x)在a,b上連續(xù)，或僅有有限個(gè)間斷點(diǎn)且有界。2.幾何意義若f(x)0，定積分abf(x)dx (ab)表示曲線y=f(x)，兩條直線x=a，x=b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積。一般地，定積分abf(x)dx表示曲線y=f(x)，兩條直線x=a，x=b所圍圖形面積的代數(shù)和（x軸方面積為正，下方面積為負(fù)）3.定積分性質(zhì)線性性可加性不等式 若f(x) 0，xa,b，則abf(x)dx0；若f(x)不恒為零，則abf(x)dx>0 若f(x) g

27、(x)，xa,b，a<b，則abf(x)dxabg(x)dx，不可反推 若a<b，則abf(x)dxabf(x)dx 若mfxb，xa,b，則m(b-a)abfxdxM(b-a)【估算】 若f(x)在a,b上最大值為M，最小值為m，g(x)0，f(x)g(x)不恒等于Mg(x)，mg(x)(xa,b)，則 mabg(x)dxabfxg(x)dxMabg(x)dx. (abfxgxdx)2abf2xdx·abg2xdx 乘積的積分平方平方的乘積分積分中值定理若f(x)在a,b上連續(xù)，則至少存在一點(diǎn)a,b，使得abf(x)dx=f·(b-a)推廣的積分中值定理若f(

28、x)，g(x)在a,b上連續(xù)，且g(x)不變號(hào)，則至少存在一點(diǎn)a,b，使得abfxg(x)dx=f·abg(x)dx變上限積分的導(dǎo)數(shù)axf(x)dx=f(x)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可積，其原函數(shù)在同區(qū)間內(nèi)未必可導(dǎo)，但在同區(qū)間內(nèi)一定連續(xù)。牛頓-萊布尼茨定理要求：在區(qū)間內(nèi)連續(xù)。若有間斷點(diǎn)則分段積分。推廣的牛頓-萊布尼茨定理：設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)在(a,b)內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，且極限F(a+0)，F(xiàn)(b-0)均存在，則abf(x)dx=Fx|a+0b-0=Fb-0-Fa+0。5.定積分的計(jì)算換元積分法分部積分法變限積分見(jiàn)第二章第一節(jié)第2點(diǎn)周期函數(shù)見(jiàn)第一章第一節(jié)第1點(diǎn)三角函數(shù) aa

29、+sinxdx=0sinxdx=2 aa+cosxdx=0cosxdx=2 02sinnxsinmxdx=-sinnxsinmxdx=，n=m0，nm 02cosnxcosmxdx=-cosnxcosmxdx=，n=m0，nm 02sinnxcosmxdx=-sinnxcosmxdx=0其中m，n為整數(shù)常用公式 0aa2-x2dx=a24 -aaa2-x2dx=a22 0a2ax-x2dx=a24 In=02sinnxdx=02cosnxdx=n-1n·n-3n-2···12·2， n為正偶數(shù) n-1n·n-3n-2·

30、83;·12·1，n為大于1的正奇數(shù)奇偶函數(shù)若積分區(qū)間為對(duì)稱區(qū)間，可拆分被積函數(shù)使其一部分具有奇偶性； 若被積函數(shù)具有奇偶性，可拆分將積分區(qū)間使其部分區(qū)間是對(duì)稱的。定積分的證明題P95三、反常積分1.反常積分的計(jì)算加減項(xiàng)不能隨便分開，例如 0+dxx2+3x+2=0+1x-1-1x+2dx=lnx-1-ln(x+2)0+=lnx-1x+2|0+ 而不能寫成0+dxx2+3x+2=0+dxx-1-0+dxx+22.幾個(gè)重要的反常積分 0+e-x2dx=2 若a0，則 a+dxxp=a1-pp-1，p>1+，p1，特別地1+dxxp=1p-1，p>1+，p1 若a1

31、，則a+dxxlnpx=ln1-pap-1，p>1+， p1，特別地e+dxxlnpx=1p-1，p>1+， p1 0+xe-kxdx=1k2，k>0+，k0 ，一般地0+xne-kxdx，k>0收斂，k<0發(fā)散。 abdx(x-a)q=(b-a)1-qq-1，q<1+， q1四、定積分的幾何應(yīng)用微元法的應(yīng)用1.面積直角坐標(biāo)系由曲線y=f(x)，y=g(x) f(x)g(x)，直線x=a，x=b所圍圖形的面積為 S=abgx-fxdx. 由曲線x=u(y)，x=v(y) u(y)v(y)，直線y=c，y=d所圍圖形的面積為 S=cdvy-uydy.極坐標(biāo)系由

32、曲線r=r()，及射線=，=所謂圍平面圖形的面積為 S=12r2()d. 由曲線r=r1()，r=r2() r1()r2()及射線所圍圖形的面積為 S=12r22-r12d.2.體積由連續(xù)曲線y=f(x)，直線x=a，x=b所圍成的曲邊梯形 繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體 Vx=abf2(x)dx (a<b) 繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體 Vy=2abx f(x)dx (f(x)0，0ab)由連續(xù)曲線x=u(y)，直線y=c，y=d所圍成的平面圖形 繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體 Vy=cdu2ydy c<d 繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體 Vx=2cdy u(y)dy (u(y)0，0cd)3.函數(shù)的

33、平均值設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，則f(x)在a,b上的平均值為 y=1b-aabf(x)dx五、定積分的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用1.設(shè)邊際需求為Q(p)，則需求函數(shù)為Q(p)=0pQpdp+Q(0)2.設(shè)邊際需求為C(Q)，則需求函數(shù)為C(Q)=0QCQdQ+C(0)3.設(shè)邊際需求為R(Q)，則需求函數(shù)為R(Q)=0QRQdQ+R(0)4.設(shè)總產(chǎn)量對(duì)時(shí)間t的變化率為(t)，則從第a天到第b天的平均日產(chǎn)量為=1b-aab(x)dx第四章 多元函數(shù)微積分學(xué)一、多元函數(shù)微分學(xué)1.多元函數(shù)的連續(xù)與極限 二元函數(shù)的極限（多元函數(shù)同樣適用）設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)在平面區(qū)域D有定義，點(diǎn)(x0,y0)D或在D

34、的邊界上，如果動(dòng)點(diǎn)P(x,y)以任何方式無(wú)限趨于點(diǎn)P0(x0,y0)時(shí)，f(x,y)總是無(wú)限趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)P(x,y) 趨于點(diǎn)P0(x0,y0)時(shí)，f(x,y)以A為極限，記作limxx0yy0fx,y=A，或limx，y(x0，y0)fx,y=A，或limPP0fx,y=A。證明limx，y(x0，y0)fx,y不存在的方法：當(dāng)(x,y)沿不同路徑趨于點(diǎn)(x0,y0)時(shí)，f(x,y)趨于不同的值或不存在，或者取一條路徑(x,y)(x0,y0)而limf(x,y)不存在，則limx，y(x0，y0)fx,y不存在。- 的語(yǔ)言表述 limxx0yy0fx,y=A對(duì)>0，>0，

35、當(dāng)點(diǎn)Px,y滿足 0<(x-x0)2+(y-y0)2<且Px,yD時(shí)，有fx,y-A< limx，y(x0，y0)fx,y=Afx,y=A+x,y，其中l(wèi)imx，y(x0，y0)x,y=0二元函數(shù)的連續(xù)（多元函數(shù)同樣適用）若limxx0yy0fx,y=f(x0,y0)，則稱二元函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù)。如果f(x,y)在區(qū)域D上每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱f(x,y)在區(qū)域D上連續(xù)。有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（多元函數(shù)同樣適用）最大值和最小值定理在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)，必取到最大值和最小值。介值定理在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)，必取到介于最大值和最小值之間

36、的任何數(shù)。 求法 求簡(jiǎn)單二元函數(shù)的極限，判斷二元函數(shù)的極限不存在利用一元函數(shù)其極限的方法如四則運(yùn)算、無(wú)窮小代換、重要極限、有界變量與無(wú)窮小量的乘積為無(wú)窮小量，夾逼準(zhǔn)則。作變量代換，化二元函數(shù)的極限為一元函數(shù)的極限。一般地，若limxx0yy0fx,y=A，則limxx0fx,y0=A且limyy0fx0,y=A，反之不然2.偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)數(shù)的定義設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有定義，若極限limx0fx0+x ,y0-f(x0,y0)x存在，則稱此極限值為z=f(x,y)在(x0,y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)，記為f x(x0,y0)或f(x0,y0)x。對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)同理。全

37、微分若函數(shù)z=f(x,y)在(x0,y0)處的全增量可表示為z=fx0+x ,y0+y-fx0,y0=Ax+By+o()，其中A，B與x，y無(wú)關(guān)，=x2+y2，則稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微，Ax+By稱為z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的全微分，記為dz|(x0,y0)，即dz|(x0,y0)=Ax+By。對(duì)自變量x與y約定x=dx，y=dy，故全微分又可以寫成dz=Adx+Bdy。f(x,y)在(x0,y0)處可微的充要條件lim0z-f xx0，y0x+f yx0，y0y=0，其中=x2+y2函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的幾個(gè)概念的關(guān)系兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)在該

38、點(diǎn)連續(xù)函數(shù)在該點(diǎn)可微，反之不然。 函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)，反之不然。 兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)不連續(xù)，函數(shù)在該點(diǎn)也可能可微。 函數(shù)在該點(diǎn)可微兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)存在，反之不然。 函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)，反之不然。 函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù) & 兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)存在 不能互相推出。 高階偏導(dǎo)數(shù)求法只需要求在一點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，可利用結(jié)果 f xx0，y0=df(x，y0)dx|x=x0， f yx0，y0=df(x0，y)dy|y=y03.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則基本原則：有幾個(gè)中間變量求出來(lái)就有幾項(xiàng)，每項(xiàng)先對(duì)中間變量求偏導(dǎo)再乘以中間變量對(duì)自變量的偏導(dǎo)數(shù)。求二階偏導(dǎo)時(shí)仍需要分別對(duì)中間變量求偏導(dǎo)。中間變量為二元函數(shù)設(shè)u=x,y和v=(x

39、,y)在點(diǎn)(x,y)處偏導(dǎo)數(shù)存在，函數(shù)z=f(u,v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u.v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)z=fx,y,(x,y)在點(diǎn)(x,y)處偏導(dǎo)數(shù)存在，且zx=zuux+zvvx，zy=zuuy+zvvy。中間變量為一元函數(shù)設(shè)z=f(u,v)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，一元函數(shù)u=t和v=t都可導(dǎo)，則dzdt=zududt+zvdvdt，這里dzdt稱為z對(duì)t的全導(dǎo)數(shù)。多維設(shè)z=f(u,v,w)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，u=x,y，v=x,y，w=w(x,y)偏導(dǎo)數(shù)存在，則 zx=fuux+fvvx+fwwx，zy=fuuy+fvvy+fwwy多元函數(shù)為常數(shù)的條件 設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D上滿足fx0，fy0，則f

40、(x,y)在區(qū)域D上為常數(shù)。 設(shè)函數(shù)z=f(x,y)定義在全平面上，若fx0，則f(x,y)=(y)；若fy0，則f(x,y)=(x)。若函數(shù)z=f(x,y)的兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)2zxy，2zyx在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，則在區(qū)域D內(nèi)2zxy=2zyx抽象函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全微分畫出復(fù)合關(guān)系的鏈導(dǎo)圖，若對(duì)某一變量求偏導(dǎo)數(shù)，要看有幾條路徑從因變量到此變量，則求導(dǎo)后就有幾項(xiàng)的和，每一條路徑有幾步，對(duì)應(yīng)該條路徑的項(xiàng)就是幾項(xiàng)的乘積。 運(yùn)用合適的符號(hào)簡(jiǎn)化表達(dá)式的表示，如z=f(x+y，xy)，則zx=f 1+yf 2，需注意的是，f 1，f 2的復(fù)合關(guān)系仍同f一樣。4.隱函數(shù)的求導(dǎo)公式由方程確定的隱函數(shù)設(shè)函數(shù)F(x,y,

41、z)在點(diǎn)P(x0,y0,z0)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且F(x0,y0,z0)0，F(xiàn)z=( x0,y0,z0)0，則方程F(x,y,z)0在點(diǎn)(x0,y0,z0)的某鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z=f(x,y)，它滿足z0=f(x0,y0)，并有zx=-FxFz，zy=-FyFz?！井?dāng)Fx=( x0,y0,z0)0，F(xiàn)y=( x0,y0,z0)0時(shí)，可分別確定隱函數(shù)x=f(y,z)，y=f(x,z)】由方程組確定的隱函數(shù)設(shè)方程組Fx,y,u,v=0Gx,y,u,v=0確定了隱函數(shù)u=u(x,y)，v=v(x,y)，則通過(guò)等式兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)，注意到u,v是x的函數(shù)，有F

42、x+Fuux+Fvvx=0Gx+Guux+Gvvx=0，解此方程組并設(shè)運(yùn)算過(guò)程中出現(xiàn)的分母0，求出ux，vx 即可。對(duì)y求偏導(dǎo)類似。求法若能夠顯化則顯化，若不能顯化則按照以下三個(gè)方法來(lái)求： 方程兩邊對(duì)某變量求偏導(dǎo)數(shù)； 方程兩邊求全微分，利用全微分形式不變性； 公式法：設(shè)Fz0，則由方程F(x,y,z)=0確定z是x,y可微函數(shù)，則zx=-FxFz，zy=-FyFz。5.多元函數(shù)的極值與最值極值的定義若在(x0,y0)的某鄰域內(nèi)恒有f(x,y)f(x0,y0)(或f(x0,y0)，則稱f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)有極大值f(x0,y0)(或極小值f(x0,y0)。對(duì)于自變量的取值有附加條件的極

43、值稱為條件極值。極值存在的必要條件設(shè)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)具有一階偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)(x0,y0)處有極值，則必有fx(x0,y0)=0，fy(x0,y0)=0。極值存在的充分條件(僅適用于二元函數(shù))設(shè)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)具有一階及二階偏導(dǎo)數(shù)，又fx(x0,y0)=0，fy(x0,y0)=0，令A(yù)=fxx(x0,y0)，B=fxy(x0,y0)，c=fyy(x0,y0)，則 B2-AC>0時(shí)，(x0,y0)不是極值點(diǎn)； B2-AC<0時(shí)，(x0,y0)是極值點(diǎn)，且當(dāng)A0時(shí)，(x0,y0)是極大值點(diǎn)，A0時(shí)，(x0,y0)是極小值點(diǎn)； B2-AC=0時(shí)

44、，(x0,y0)不確定是否為極值點(diǎn)。條件極值拉格朗日乘數(shù)：求z=f(x,y)在條件x,y=0下的可能極值點(diǎn)，先令F(x,y)=f(x,y)+(x,y)，解方程組Fx=f xx,y+xx,y=0Fy=f yx,y+yx,y=0F=x,y=0 ，得x,y及，則其中x,y就是可能極值點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際背景或比較可能極值點(diǎn)的函數(shù)值討論確定，約束條件可能多于一個(gè)。多元函數(shù)的最值及其應(yīng)用閉區(qū)域上連續(xù)多元函數(shù)的最值可能在區(qū)域內(nèi)部或邊界上達(dá)到。對(duì)于實(shí)際問(wèn)題一般根據(jù)實(shí)際背景來(lái)確定是否去最值。(如可能極值點(diǎn)唯一，則極大(小)值點(diǎn)即最大(小)值點(diǎn)。)求法二元函數(shù)極值：解方程組fx(x0,y0)=0，fy(x

45、0,y0)=0得所有駐點(diǎn)； 對(duì)每一個(gè)駐點(diǎn)(x0,y0)，求A=fxx(x0,y0)，B=fxy(x0,y0)，c=fyy(x0,y0)的值； 根據(jù)B2-AC的符號(hào)確定是否為極值點(diǎn)，是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)。 條件極值：拉格朗日乘數(shù)法 最值：閉區(qū)域上連續(xù)多元函數(shù)的最值可能在區(qū)域內(nèi)部或邊界上達(dá)到，先求出在區(qū)域內(nèi)部所有駐點(diǎn)和偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，比較這些點(diǎn)與邊界上最值點(diǎn)的函數(shù)值，邊界上的最值可利用條件極值來(lái)求。實(shí)際問(wèn)題根據(jù)實(shí)際背景來(lái)確定是否去最值。6.變量替換下表達(dá)式的變形P1237.多元函數(shù)微分學(xué)的反問(wèn)題由已知滿足的關(guān)系式或條件，利用多元函數(shù)微分學(xué)的方法和結(jié)論，求出待定的函數(shù)、參數(shù)等。特別是已知偏導(dǎo)數(shù)或

46、偏導(dǎo)數(shù)所滿足的關(guān)系式(方程)求函數(shù)，主要有兩種題型：已知偏導(dǎo)數(shù)，通過(guò)不定積分求函數(shù) 設(shè)f(x,y)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且fx(x,y)=g(x,y)，fy(x,y=h(x,y)，則有 f(x,y)=fxx,ydx+y=gx,ydx+yf(x,y)=fyx,ydy+x=gx,ydy+x 已知多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)所滿足的方程，通過(guò)變量代換，化為一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所滿足的方程，即常微分方程，求解微分方程得到函數(shù)。二、二重積分1.二重積分的概念與性質(zhì)定義設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域D任意分成n個(gè)小閉區(qū)域1，2n(i也表示小閉區(qū)域的面積)，任取一點(diǎn)(i,i)i，d表示各小閉區(qū)域直徑中的最大值，

47、若limd0i=1nf(i,i)i總存在(與i的分法及(i,i)的取法均無(wú)關(guān))，則稱此極限值為函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上的二重積分，記作Df(x,y)d或Df(x,y)dxdy，即Df(x,y)d=limd0i=1nf(i,i)i二重積分的幾何意義當(dāng)z=f(x,y)0時(shí)，二重積分Df(x,y)d表示以D為底，曲面z=f(x,y)為頂?shù)那斨w的體積。若f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則二重積分Df(x,y)d一定存在。2.二重積分的性質(zhì)設(shè)f(x,y)，g(x,y)在有界區(qū)域D上可積，則有(線性性) Dk1f(x,y)±k2g(x,y)d=k1Df(x,y)d±k2Dg(

48、x,y)d(可加性) Dfx,yd=D1fx,yd+D2fx,yd，其中D=D1D2，且D1與D2僅在邊上重疊，其他處不相互重疊。(不等式) 若在D上，f(x,y)g(x,y)，則Df(x,y)dDg(x,y)d； Dfx,ydDf(x,y)d； 若f(x,y)，g(x,y)在區(qū)域D上連續(xù)，f(x,y)g(x,y)，且f(x,y)不恒等于g(x,y)，則有嚴(yán)格不等式Df(x,y)d<Dg(x,y)d f(x,y)0且Df(x,y)d=0 推不出f(x,y)=0.但加上f(x,y)連續(xù)條件，則結(jié)論正確。(中值定理)設(shè)函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，是D的面積，則在D上至少存在一點(diǎn)(,

49、)，使得Df(x,y)d=f(,)。關(guān)于對(duì)稱性的性質(zhì) 若D關(guān)于x軸對(duì)稱，則Df(x,y)d= 0， 當(dāng)fx,-y=-fx,y時(shí) 2D1fx,yd，當(dāng)fx,-y=fx,y時(shí)其中D1為D的上半平面部分； 若D關(guān)于y軸對(duì)稱，則Df(x,y)d= 0， 當(dāng)f-x,y=-fx,y時(shí) 2D2fx,yd，當(dāng)f-x,y=fx,y時(shí)其中D2為D的上半平面部分； (輪換對(duì)稱性) 若xy互換，D保持不變時(shí)，即D關(guān)于直線x=y對(duì)稱，則Df(x,y)dxdy=Df(y,x)dxdy=12Dfx,y+fy,xdxdy只要看到積分區(qū)域具有對(duì)稱性的二重積分計(jì)算問(wèn)題，就要想到考察被積函數(shù)或其代數(shù)和的每一部分是否具有奇偶性，以便簡(jiǎn)化計(jì)算。被積函數(shù)含有抽象函數(shù)時(shí)，一般可考慮用對(duì)稱性分析，特別當(dāng)具有輪換對(duì)稱性時(shí)，往往使用輪換對(duì)稱性的公式。3.二重積分的計(jì)算利用直角坐標(biāo)系計(jì)算 若D：axb，1xy2x，則Df(x,y)d=abdx1x2xf(x,y)dy 若D：cyd，1yx2y，則Df(x,y)d=cddy1y2yf(x,y)dx根據(jù)區(qū)域D的不同形狀，可先定x的變化范圍，再定y的變化范圍，即先對(duì)y積分再對(duì)x積分；也可以反過(guò)來(lái)，有時(shí)候兩種都可以。計(jì)算盡量簡(jiǎn)便的方法：先看被積區(qū)域的邊界曲線方程，哪個(gè)變量