02極限與連續(xù)

1、第二章 極限與函數(shù)一、本章學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要 （一）學(xué)習(xí)要求1了解極限的描述性定義2了解無(wú)窮小、無(wú)窮大的概念及其相互關(guān)系和性質(zhì)3會(huì)用兩個(gè)重要極限公式求極限4掌握極限的四則運(yùn)算法則5理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念，知道間斷點(diǎn)的分類6了解初等函數(shù)的連續(xù)性及連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的性質(zhì)（最大值和最小值定理、根的存在定理、介值定理）7會(huì)用函數(shù)的連續(xù)性求極限重點(diǎn) 極限的求法，兩個(gè)重要極限，函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念難點(diǎn) 間斷點(diǎn)的分類，分段函數(shù)在分段點(diǎn)的連續(xù)性（二）內(nèi)容提要極限的定義(1) 函數(shù)極限、數(shù)列極限的描述性定義極限定義表類型描述性定義極限記號(hào)設(shè)函數(shù)在 為某個(gè)正實(shí)數(shù))時(shí)有定義，如果當(dāng)自變量的絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí)，相應(yīng)

2、的函數(shù)值無(wú)限接近于某一個(gè)固定的常數(shù)，則稱為（讀作“趨于無(wú)窮”）時(shí)函數(shù)的極限或設(shè)函數(shù)為某個(gè)實(shí)數(shù))內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量無(wú)限增大時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近于某一個(gè)固定的常數(shù)，則稱為（讀作“趨于正無(wú)窮”）時(shí)函數(shù)的極限或設(shè)函數(shù)(為某個(gè)實(shí)數(shù))內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量無(wú)限增大且時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近于某一個(gè)固定的常數(shù)，則稱為（讀作“趨于負(fù)無(wú)窮”）時(shí)函數(shù)的極限或設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量在內(nèi)無(wú)限接近于時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近于某一個(gè)固定的常數(shù)，則稱為當(dāng)（讀作“趨近于”）時(shí)函數(shù)的極限或設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的左半鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量在此半鄰域內(nèi)從左側(cè)無(wú)限接近于時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近于某個(gè)固定的常數(shù)，

3、則稱為當(dāng)趨近于時(shí)函數(shù)的左極限或設(shè)函數(shù)的右半鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量在此半鄰域內(nèi)從右側(cè)無(wú)限接近于時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值無(wú)限接近于某個(gè)固定的常數(shù)，則稱為當(dāng)趨近于時(shí)函數(shù)的右極限或數(shù)列的極限對(duì)于數(shù)列，若當(dāng)自然數(shù)無(wú)限增大時(shí)，通項(xiàng)無(wú)限接近于某個(gè)確定的常數(shù),則稱為當(dāng)趨于無(wú)窮時(shí)數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于或若數(shù)列的極限不存在，則稱數(shù)列發(fā)散不存在（2）單側(cè)極限與極限的關(guān)系定理的充分必要條件是的充分必要條件是（）極限存在準(zhǔn)則單調(diào)有界數(shù)列極限的存在定理單調(diào)有界數(shù)列必有極限夾逼準(zhǔn)則若當(dāng)時(shí)，有，且，則夾逼準(zhǔn)則對(duì)自變量的其他變化過程也成立.2. 極限的四則運(yùn)算法則設(shè)及都存在，則(1) ；(2) , (為任意常數(shù));(3) 上述

4、極限四則運(yùn)算法則對(duì)自變量的其他變化過程下的極限同樣成立3 兩個(gè)重要極限(1) 一般形式為（其中代表的任意函數(shù)）(2) 一般形式為 （其中代表的任意函數(shù)） 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量在討論無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的概念及其相關(guān)性質(zhì)時(shí), 均以的極限變化過程為例.其他極限變化過程,有完全類似的結(jié)論（）無(wú)窮小量在自變量的某個(gè)變化過程中，以零為極限的變量稱為該極限過程中的無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮小例如,如果，則稱當(dāng)時(shí),是無(wú)窮小量注意 一般說來，無(wú)窮小表達(dá)的是變量的變化狀態(tài)，而不是變量的大小，一個(gè)變量無(wú)論多么小，都不能是無(wú)窮小量，數(shù)零是惟一可作為無(wú)窮小的常數(shù)（） 無(wú)窮大量在自變量的某個(gè)變化過程中，絕對(duì)值可以無(wú)限增大的變量稱為

5、這個(gè)變化過程中的無(wú)窮大量，簡(jiǎn)稱無(wú)窮大應(yīng)該注意的是：無(wú)窮大量是極限不存在的一種情形，我們借用極限的記號(hào)，表示“當(dāng)時(shí), 是無(wú)窮大量” （）無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系在自變量的某個(gè)變化過程中，無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量，非零無(wú)窮小量的倒數(shù)是無(wú)窮大量（）無(wú)窮小量的運(yùn)算 有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和是無(wú)窮小量 有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量 無(wú)窮小量與有界量的乘積是無(wú)窮小量 常數(shù)與無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量（5）無(wú)窮小量的比較下表給出了兩個(gè)無(wú)窮小量之間的比較定義無(wú)窮小量的比較表設(shè)在自變量的變化過程中，均是無(wú)窮小量無(wú)窮小的比較定 義記 號(hào)（）（）（） 極限與無(wú)窮小量的關(guān)系定理的充分必要條件是，其中是當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小量（）

6、 無(wú)窮小的替換定理設(shè)當(dāng)時(shí)，存在，則5函數(shù)的連續(xù)性 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的兩個(gè)等價(jià)的定義：定義設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng)自變量的增量趨于零時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)增量也趨于零，即 ，則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，或稱是的一個(gè)連續(xù)點(diǎn)定義若，則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù) 左右連續(xù)的概念若，則稱函數(shù)在點(diǎn)處左連續(xù)；若，則稱函數(shù)在點(diǎn)處右連續(xù) 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的充分必要條件是在點(diǎn)處既左連續(xù)又右連續(xù)由此可知，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，存在，這個(gè)極限等于函數(shù)值函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的概念在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)，稱為在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或者說函數(shù)在該區(qū)間

7、上連續(xù)，該區(qū)間也稱為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間如果連續(xù)區(qū)間包括端點(diǎn)，那么函數(shù)在右端點(diǎn)連續(xù)是指左連續(xù)，在左端點(diǎn)連續(xù)是指右連續(xù) 間斷點(diǎn)若函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，則稱點(diǎn)為函數(shù)的間斷點(diǎn) 間斷點(diǎn)的分類設(shè)為的一個(gè)間斷點(diǎn)，如果當(dāng)時(shí)，的左極限、右極限都存在，則稱為的第一類間斷點(diǎn)；否則，稱為的第二類間斷點(diǎn)對(duì)于第一類間斷點(diǎn)有以下兩種情形： 當(dāng)與都存在，但不相等時(shí)，稱為的跳躍間斷點(diǎn)； 當(dāng)存在，但極限不等于時(shí)，稱為的可去間斷點(diǎn) 初等函數(shù)的連續(xù)性定理基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 最大值和最小值存在定理 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)一定能取得最大值和最小值 根的存在定理 設(shè)為閉區(qū)間上的連

8、續(xù)函數(shù)，且異號(hào)，則至少存在一點(diǎn)，使得 介值定理 設(shè)是閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)，且，則對(duì)介于之間的任意一個(gè)數(shù)，則至少存在一點(diǎn)，使得二、主要解題方法1求函數(shù)極限方法(1) 利用極限存在的充分必要條件求極限例1 求下列函數(shù)的極限：（1）， （2） 當(dāng)為何值時(shí)，在的極限存在.解 (1),因?yàn)樽髽O限不等于右極限，所以極限不存在（2）由于函數(shù)在分段點(diǎn)處，兩邊的表達(dá)式不同，因此一般要考慮在分段點(diǎn)處的左極限與右極限于是，有， ，為使存在，必須有=，因此 ，當(dāng)=1 時(shí)， 存在且 =1小結(jié) 對(duì)于求含有絕對(duì)值的函數(shù)及分段函數(shù)分界點(diǎn)處的極限，要用左右極限來求，只有左右極限存在且相等時(shí)極限才存在，否則，極限不存在 （3）利用極

9、限運(yùn)算法則求極限例2 求下列函數(shù)的極限：(1) ， (2) ， (3) ， (4) 解 (1) =(2) 當(dāng)時(shí)，分子、分母極限均為零，呈現(xiàn)型，不能直接用商的極限法則，可先分解因式，約去使分子分母為零的公因子，再用商的運(yùn)算法則原式=(3) 當(dāng)時(shí)，的極限均不存在，式呈現(xiàn)型，不能直接用“差的極限等于極限的差”的運(yùn)算法則，可先進(jìn)行通分化簡(jiǎn)，再用商的運(yùn)算法則即原式=(4) 當(dāng)時(shí)，分子分母均無(wú)極限，呈現(xiàn)形式需分子分母同時(shí)除以，將無(wú)窮大的約去，再用法則求原式=小結(jié) （）應(yīng)用極限運(yùn)算法則求極限時(shí)，必須注意每項(xiàng)極限都存在（對(duì)于除法，分母極限不為零）才能適用（II）求函數(shù)極限時(shí)，經(jīng)常出現(xiàn) 等情況，都不能直接運(yùn)用極

10、限運(yùn)算法則，必須對(duì)原式進(jìn)行恒等變換、化簡(jiǎn)，然后再求極限。常使用的有以下幾種方法（）對(duì)于型，往往需要先通分，化簡(jiǎn)，再求極限，（）對(duì)于無(wú)理分式，分子、分母有理化，消去公因式，再求極限，（）對(duì)分子、分母進(jìn)行因式分解，再求極限，（）對(duì)于當(dāng)時(shí)的型，可將分子分母同時(shí)除以分母的最高次冪，然后再求極限（3）利用無(wú)窮小的性質(zhì)求極限例3 求下列函數(shù)的極限（1） ， （2）解（1） 因?yàn)?而，求該式的極限需用無(wú)窮小與無(wú)窮大關(guān)系定理解決因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，是無(wú)窮小量，因而它的倒數(shù)是無(wú)窮大量，即 （2）不能直接運(yùn)用極限運(yùn)算法則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)分子，極限不存在，但是有界函數(shù)，即而 ，因此當(dāng)時(shí)，為無(wú)窮小量.根據(jù)有界函數(shù)與無(wú)窮小乘積仍

11、為無(wú)窮小定理，即得.小結(jié) 利用無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系，可求一類函數(shù)的極限（分母極限為零，而分子極限存在的函數(shù)極限）；利用有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積仍為無(wú)窮小定理可得一類函數(shù)的極限（有界量與無(wú)窮小之積的函數(shù)極限）（4）利用兩個(gè)重要極限求函數(shù)的極限例4 求下列函數(shù)的極限：（1） ， （2）解（1）分子先用和差化積公式變形，然后再用重要極限公式求極限原式=（2）解一 原式=，解二 原式=小結(jié) （）利用求極限時(shí)，函數(shù)的特點(diǎn)是型，滿足的形式，其中為同一變量；（）用求極限時(shí)，函數(shù)的特點(diǎn)型冪指函數(shù)，其形式為型,為無(wú)窮小量，而指數(shù)為無(wú)窮大，兩者恰好互為倒數(shù)；（）用兩個(gè)重要極限公式求極限時(shí)，往往用三角公式或代數(shù)公式進(jìn)

12、行恒等變形或作變量代換，使之成為重要極限的標(biāo)準(zhǔn)形式。(5) 利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限常用等價(jià)無(wú)窮小有當(dāng) 時(shí),例5 求下列函數(shù)的極限（1） ， （2）解 （1）= （）（2）= （） 小結(jié) 利用等價(jià)無(wú)窮小可代換整個(gè)分子或分母，也可代換分子或分母中的因式，但當(dāng)分子或分母為多項(xiàng)式時(shí)，一般不能代換其中一項(xiàng)。否則會(huì)出錯(cuò)如上題 , 即得一錯(cuò)誤結(jié)果（6）利用函數(shù)的連續(xù)性求極限例6 求下列函數(shù)的極限 （1） ， （2）解 (1) 因?yàn)槭浅醯群瘮?shù)，在處有定義，所以 ，(2) 函數(shù)看成由 復(fù)合而成，利用分子有理化，然后利用復(fù)合函數(shù)求極限的法則來運(yùn)算 =小結(jié) 利用“函數(shù)連續(xù)的極限值即為函數(shù)值”可求連續(xù)函數(shù)的極限。在一定條件下復(fù)合函數(shù)的極限，極限符號(hào)與函數(shù)符號(hào)可交換次序2判斷函數(shù)連續(xù)性的方法 由于初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)總是連續(xù)，所以函數(shù)的連續(xù)性討論多指分段函數(shù)在分段處的連續(xù)性 例 7 討論函數(shù) ， 在點(diǎn)處的連續(xù)性 解 由于函數(shù)在分段點(diǎn)處兩邊的表達(dá)式不同，因此，一般要考慮在分段點(diǎn)處的左極限與右極限因而有，而即，由函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充要條件知在處連續(xù)三、學(xué)法建議1本章的重點(diǎn)是極限的求法及函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)的