4第14章勾股定理能力培優(yōu)

1、第14章勾股定理14.1勾股定理專題一勾股定理與方程1. 如圖所示，已知在三角形紙片ABC中，BC=3, AB=6，/ BCA=90 °在AC上取一點(diǎn)E,以BE為折痕，使AB的一部分與BC重合，A與BC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)D重合，則DE的長(zhǎng) 度為（）D.32. 一個(gè)正方體物體沿斜坡向下滑動(dòng)，其截面如圖所示正方形DEFH的邊長(zhǎng)為2米，坡角/ A = 30°/B = 90°,BC = 6米當(dāng)正方形 DEFH運(yùn)動(dòng)到什么位置，即當(dāng)AE =米時(shí),有 DC 2 =AE 2 +BC2.專題二構(gòu)造直角三角形3. 如圖，在 ABC 中，/ A= 30° / B= 45°

2、 AC= 23，求 AB 的長(zhǎng).4. 如圖所示，在 ABC中，已知 AB=13cm , AC=5cm , BC邊上的中線 AD=6 cm，求BC.5. 如圖，在四邊形 ABCD 中，AB:BC:CD:DA=2:2:3:1，且/ ABC=90 °，求/ DAB 的度數(shù).專題三勾股定理中的分類討論思想6. 在等腰 ABC中，/ A=30° , AB=8，貝U AB邊上的高 CD的長(zhǎng)是7. 在厶 ABC 中，AB=15 , AC=13，高 AD=12，則 ABC 的周長(zhǎng)為 .8. 在厶 ABC 中， AB=2 、. 5 , AC=4 , BC=2 ,以 AB 為邊向 ABC 外作

3、 ABD ,使厶 ABD為等腰直角三角形，求線段 CD的長(zhǎng).狀元筆記【知識(shí)要點(diǎn)】1. 勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊分別為a, b，斜邊為c,那么a2，b2二c2.2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊 a，b，c，滿足a2 b2 =c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形【溫馨提示】在直角三角形中知道任意兩邊都可以利用勾股定理求出第三邊【方法技巧】1. 當(dāng)圖形中沒有直角三角形時(shí)，有時(shí)可以通過作高構(gòu)造直角三角形2. 判定一個(gè)三角形是直角三角形有兩種方法：借助三角形內(nèi)角和求出一個(gè)角是直角； 利用勾股定理的逆定理.參考答案1. C 【解析】 由折疊可知 BD=BA=6 , DE=AE.T BC=3,

4、二 CD=BC=3 ,二 BE=DE=AE，由_ 2勾股定理可得 AC=3 3，設(shè) DE=AE=BE=x,在 Rt BCE 中，32 + 3 3 _x =x2，解得 x=2 3，即DE的長(zhǎng)度為2 3 .142. 【解析】 因/ A = 30° / B = 90° ,BC = 6米，所以AC = 12米.設(shè)當(dāng)AE為x時(shí)，所以3EC= 12-x，由 DC 2 = AE 2 + BC2 .及 DC2= DE2+ EC2，所以有 22+( 12-x) 2= x2 +36，解得：x =.33. 解：過 C 作 CD 丄 AB 于 D，/ ADC = / BDC = 90 °

5、V/ B= 45°/ BCD = / B= 45° CD = BD.v/ A= 30°， AC= 2 3，BD = CD =3由勾股定理得：AD = AC2-CD2 = 3， AB = AD + BD = 3 +3 .答：AB的長(zhǎng)是3 +3 .4. 解：延長(zhǎng) AD至U E，使DE=AD，連接 BE.在厶ADC與厶EDB中./ AD=ED，/ ADC= / EDB，CD=BD， ADC EDB， EB=AC=5cm.在厶AEB中，/ AB=13cm， EB=5 cm， AE=2AD=12 cm ，2 2 2 AB =EB AE， / E=90 ° .在Rt

6、 BED中，由勾股定理得 BD nEB2 DE2 =$61，VE5. 解：連結(jié) AC.設(shè) AB、BC、CD、DA 分別為 2x, 2x, 3x, x,則AC2 =8x2, AD2 =x2,CD2 =9x2 ,2 2 2 AC AD =CD ,/ DAC=90 ° ,/ DAB=90 ° +45° =1354【解析】6.3(1)如圖，當(dāng) AB=AC時(shí),/ A=30° , CD=丄 AC= - X8=4;2 2(2)如圖，當(dāng) AB=BC 時(shí)，則/ A= / ACB=30 ,/ ACD=60 ,/ BCD=30 ,1-BD= BC =4 ,2 CD= BC2-

7、BD2=4 3 ；(3)如圖，當(dāng) AC=BC 時(shí)，貝U AD=4.設(shè) CD=x，則 AC=2x.則(2x)2 -X2 =42，解得 x=故答案為4v3或4*3或4.7. 42 或32【解析】當(dāng)厶ABC是銳角三角形時(shí)，如圖，根據(jù)勾股定理可得 BD=9 DC=5, BC=14,此時(shí)當(dāng) ABC 的周長(zhǎng)為 15+13+14=42.當(dāng)厶ABC是鈍角三角形時(shí)，如圖，根據(jù)勾股定理可得BD=9 DC=5,. BC=9-5=4,此時(shí)當(dāng)厶ABC的周長(zhǎng)為15+13+4=32.8.解：T AC=4 , BC=2 , AB= 2 5 , AC2+BC2=AB2, ACB為直角三角形，/ ACB=90 ° .分

8、三種情況如圖（1），過點(diǎn)D作DE丄CB,垂足為點(diǎn)E.易證 ACB BED，易求 CD=2 10如圖，過點(diǎn)D作DE丄CA，垂足為點(diǎn)如圖，過點(diǎn)D作DE丄CB，垂足為點(diǎn)易證 AFD DEB，易求 CD=3 2 .E.易證 ACB DEA，易求 CD=2 13 .E,過點(diǎn)A作AF丄DE ,垂足為點(diǎn)F. CD的長(zhǎng)為2 10或2 13或3 2.=52（5二）22設(shè)路線1的長(zhǎng)度為11，則= AC2AB2 AC2-25 2514.2勾股定理的應(yīng)用專題 最短路徑的探究1.編制一個(gè)底面周長(zhǎng)為a、高為b的圓柱形花柱架，需用沿圓柱表面繞織一周的竹條若干根，如圖中的AiGBi, AzCB，,則每一根這樣的竹條的長(zhǎng)度最少

9、是 Bi6-12.請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：如圖(2)，一圓柱的底面半徑為 5 dm高為BC是底面直徑，求一只螞蟻從 出發(fā)沿圓柱表面爬行到點(diǎn) C的最短路線.小明設(shè)計(jì)了兩條路線：路線1：側(cè)面展開圖中的線段 AC.如下圖(2)所示：路線2：高線AB +底面直徑BC.如上圖(1)所示：設(shè)路線 2 的長(zhǎng)度為 |2，則 |22 二(AB AC)2 二(5 10)2 二 225.2 2 2 2l1 -12 =25 25二 -225 = 25二 2 -200 =25（二2 -8） 0|1 2 .所以要選擇路線2較短.(1)小明對(duì)上述結(jié)論有些疑惑，于是他把條件 改成："圓柱的底面半徑為 1dm,高AB為

10、5dn”' 繼續(xù)按前面的路線進(jìn)行計(jì)算。請(qǐng)你幫小明完成 下面的計(jì)算：路線 1： I： =AC2 =；路線 2： I22 =(AB+AC)2 =. Il22-l1l2（填或）所以應(yīng)選擇路線 （填1或2）較短請(qǐng)你幫小明繼續(xù)研究：在一般情況下，當(dāng)圓柱的底面半徑為r,高為h時(shí)，應(yīng)如何選擇上面的兩條路線才能使螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿圓柱表面爬行到C點(diǎn)的路線最短3.探究活動(dòng)有一圓柱形食品盒，它的高等于188cm底面直徑為 一 cm,ji螞蟻爬行的速度為2cm/s.（1）如果在盒內(nèi)下底面的 A處有一只螞蟻，它想吃到盒內(nèi)對(duì)面中部點(diǎn) 它至少需要多少時(shí)間？（盒的厚度和螞蟻的大小忽略不計(jì)，結(jié)果可含根號(hào)）（2）如果在盒

11、外下底面的 A處有一只螞蟻，它想吃到盒內(nèi)對(duì)面中部點(diǎn) 它至少需要多少時(shí)間？（盒的厚度和螞蟻的大小忽略不計(jì)）B處的食物，那么B處的食物，那么參考答案1. a2 b2【解析】底面周長(zhǎng)為a、高為b的圓柱形花柱架，如圖每一根這樣的竹條的長(zhǎng)度最少是,a2 b2 .2 2路線 2 ： 12 =( AB+BC =49.2解：(1)路線 1: I i2=AC=25+n2 2/ I K I 2 , | 1V I 2,選擇路線1較短.I 22= (AB+BC 2= (h+2r) 2,(2) I i2=aC=aB+ BC 2=h2+ ( n r)( r恒大于0,只需看后面的式子即可.4h 時(shí)，I2 2 2 2 211 -I 2 =h + ( n r) - ( h+2r) =rr= 2 /44h 口斗r >2 時(shí),二-44h 口斗r V 2/時(shí),42 21 =I 2 ；3解:(1)如圖,n 2r-4r-4h