導(dǎo)數(shù)計(jì)算公式

1、導(dǎo)數(shù)公式1、 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式已知函數(shù)：(1)yf(x)c；(2)yf(x)x；(3)yf(x)x2；(4)yf(x)；(5)yf(x).問題：上述函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是什么？提示：（1）0，y 0.2)(x)1，(3)(x2)2x，(4)，(5)().函數(shù)(2)(3)(5)均可表示為yx(Q*)的形式，其導(dǎo)數(shù)有何規(guī)律？提示：(2)(x)1·x11，(3)(x2)2·x21，(5)()(x)x，(x)x1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)c(c為常數(shù))f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(

2、x)sin xf(x)axf(x)axln af(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)f(x)ln xf(x)2、 導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則已知f(x)x，g(x).問題1：f(x)，g(x)的導(dǎo)數(shù)分別是什么？問題2：試求Q(x)x，H(x)x的導(dǎo)數(shù)提示：y(xx)x，1，Q(x)1.同理H(x)1.問題3：Q(x)，H(x)的導(dǎo)數(shù)與f(x)，g(x)的導(dǎo)數(shù)有何關(guān)系？提示：Q(x)的導(dǎo)數(shù)等于f(x)，g(x)導(dǎo)數(shù)的和，H(x)的導(dǎo)數(shù)等于f(x)，g(x)導(dǎo)數(shù)的差導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則1f(x)±g(x)f(x)±g(x)2f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)3.

3、(g(x)0)題型一 利用導(dǎo)數(shù)公式直接求導(dǎo)例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y10x；(2)ylg x；(3)；(4)y；(5).解(1)y(10x)10xln 10；(2)y(lg x)；(3) y；(4)y()；(5)y21sin22sincoscos21sin x，y(sin x)cos x.練習(xí) 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yx；(2)yx；(3)ylg 5；(4)y3lg；(5)y2cos21.解：(1)yxlnex；(2)yxln10xln 10；(3)ylg 5是常數(shù)函數(shù)，y(lg 5)0；(4)y3lglg x，y(lg x)；(5)y2cos21cos x，y(cos x)sin x.

4、題型二 利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yx3·ex；(2)yxsincos；(3)yx2log3x；(4)y.解(1)y(x3)exx3(ex)3x2exx3exx2(3x)ex.(2)yxsin x，yx(sin x)1cos x.(3)y(x2log3x)(x2)(log3x)2x.(4)y.練習(xí) 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y；(2)yxsin x；(3)y；(4)ylg x.解：(1)y.(2)y(xsin x)()sin xxcos x.(3)y2，y.(4)y(lg x).題型三 導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用例3(1)曲線y5ex3在點(diǎn)(0，2)處的切線方程

5、為_(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P在曲線C：yx310x13上，且在第一象限內(nèi)，已知曲線C在點(diǎn)P處的切線的斜率為2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_解析(1)y5ex，所求曲線的切線斜率ky|x05e05，切線方程為y(2)5(x0)，即5xy20.(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0，y0)，由于y3x210，所以3x102，解得x0±2.又點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，所以x02，又點(diǎn)P在曲線C上，所以y02310×2131，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1)(1)5xy20(2)(2,1)練習(xí) 若曲線f(x)acos x與曲線g(x)x2bx1在交點(diǎn)(0，m)處有公切線，則ab_.解析：f(x)asin x

6、，g(x)2xb，曲線f(x)acos x與曲線g(x)x2bx1在交點(diǎn)(0，m)處有公切線，f(0)ag(0)1，且f(0)0g(0)b，ab1.答案：1典例已知aR，函數(shù)f(x)x33x23ax3a3，求曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程解由已知得f(x)3x26x3a，故f(1)363a3a3，且f(1)133a3a31.故所求切線方程為y1(3a3)(x1)，即3(a1)xy43a0.一、已知斜率，求切線方程此類問題可以設(shè)出切點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)與已知直線的斜率關(guān)系來確定切點(diǎn)，進(jìn)而求出切線方程例：求與直線x4y10垂直的曲線f(x)2x21的切線方程解：所求切線與直線x4y10垂直，

7、所以所求切線的斜率k4.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則f(x0)4x04，即x01.所以切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)故所求切線方程為y14(x1)，即4xy30.二、已知過曲線上一點(diǎn)，求切線方程過曲線上一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)不肯定是切點(diǎn)，故應(yīng)先設(shè)出切點(diǎn)，再利用該點(diǎn)在切線上來確定切點(diǎn)，進(jìn)而求出切線方程例：求過曲線f(x)x32x上的點(diǎn)(1，1)的切線方程解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，由于f(x)3x22，所以f(x0)3x2，且y0f(x0)x2x0.所以切線方程為yy0(3x2)(xx0)，即y(x2x0)(3x2)(xx0)由于切線過點(diǎn)(1，1)，故1(x2x0)(3x2)·(1x0)即2x3

8、x10，解得x01或x0，故所求切線方程為xy20或5x4y10.三、已知過曲線外一點(diǎn)，求切線方程這一題型要設(shè)出切點(diǎn)，再利用斜率公式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程求出切點(diǎn)，從而求出切線方程例：已知函數(shù)f(x)x33x，過點(diǎn)A(0,16)作曲線yf(x)的切線，求切線方程解：由題意知點(diǎn)A(0,16)不在曲線f(x)x33x上，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為M(x0，y0)則f(x0)3x3，故切線方程為yy03(x1)(xx0)又點(diǎn)A(0,16)在切線上，所以16(x3x0)3(x1)(0x0)，化簡(jiǎn)得x8，解得x02，即切點(diǎn)為M(2，2)，故切線方程為9xy160.課后練習(xí)1給出下列結(jié)論：(cos x)sin x；co

9、s；若y，則y； .其中正確的個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D3解析： (cos x)sin x，所以錯(cuò)誤；sin，而0，所以錯(cuò)誤；2x3，所以錯(cuò)誤；x，所以正確答案：B2函數(shù)ysin x·cos x的導(dǎo)數(shù)是()Aycos2xsin2x Bycos2xsin2xCy2cos x·sin xDycos x·sin x解析： y(sin x·cos x)cos x·cos xsin x·(sin x)cos2xsin2x.3若f(x)(2xa)2，且f(2)20，則a_.解析：f(x)4x24axa2，f(x)8x4a，f(2)164a20，a1.答案：14已知曲線yx4ax21在點(diǎn)(1，a2)處切線的斜率為8，則a_.解析：y4x32ax，由于曲線在點(diǎn)(1，a2)處切線的斜率為8，所以y|x142a8，解得a6.答案：65求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)yx；(2)y；(3)y(4xx)(ex1)解：(1)yxx31，y3x2.(2)y.(3)法一：y(4xx)(ex1)4xex4xxexx，y(4xe