導數計算公式

1、導數公式1、 基本初等函數的導數公式已知函數：(1)yf(x)c；(2)yf(x)x；(3)yf(x)x2；(4)yf(x)；(5)yf(x).問題：上述函數的導數是什么？提示：（1）0，y 0.2)(x)1，(3)(x2)2x，(4)，(5)().函數(2)(3)(5)均可表示為yx(Q*)的形式，其導數有何規(guī)律？提示：(2)(x)1·x11，(3)(x2)2·x21，(5)()(x)x，(x)x1.基本初等函數的導數公式原函數導函數f(x)c(c為常數)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(

2、x)sin xf(x)axf(x)axln af(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)f(x)ln xf(x)2、 導數運算法則已知f(x)x，g(x).問題1：f(x)，g(x)的導數分別是什么？問題2：試求Q(x)x，H(x)x的導數提示：y(xx)x，1，Q(x)1.同理H(x)1.問題3：Q(x)，H(x)的導數與f(x)，g(x)的導數有何關系？提示：Q(x)的導數等于f(x)，g(x)導數的和，H(x)的導數等于f(x)，g(x)導數的差導數運算法則1f(x)±g(x)f(x)±g(x)2f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)3.

3、(g(x)0)題型一 利用導數公式直接求導例1求下列函數的導數：(1)y10x；(2)ylg x；(3)；(4)y；(5).解(1)y(10x)10xln 10；(2)y(lg x)；(3) y；(4)y()；(5)y21sin22sincoscos21sin x，y(sin x)cos x.練習 求下列函數的導數：(1)yx；(2)yx；(3)ylg 5；(4)y3lg；(5)y2cos21.解：(1)yxlnex；(2)yxln10xln 10；(3)ylg 5是常數函數，y(lg 5)0；(4)y3lglg x，y(lg x)；(5)y2cos21cos x，y(cos x)sin x.

4、題型二 利用導數的運算法則求函數的導數例2求下列函數的導數：(1)yx3·ex；(2)yxsincos；(3)yx2log3x；(4)y.解(1)y(x3)exx3(ex)3x2exx3exx2(3x)ex.(2)yxsin x，yx(sin x)1cos x.(3)y(x2log3x)(x2)(log3x)2x.(4)y.練習 求下列函數的導數：(1)y；(2)yxsin x；(3)y；(4)ylg x.解：(1)y.(2)y(xsin x)()sin xxcos x.(3)y2，y.(4)y(lg x).題型三 導數幾何意義的應用例3(1)曲線y5ex3在點(0，2)處的切線方程

5、為_(2)在平面直角坐標系xOy中，點P在曲線C：yx310x13上，且在第一象限內，已知曲線C在點P處的切線的斜率為2，則點P的坐標為_解析(1)y5ex，所求曲線的切線斜率ky|x05e05，切線方程為y(2)5(x0)，即5xy20.(2)設點P的坐標為(x0，y0)，由于y3x210，所以3x102，解得x0±2.又點P在第一象限內，所以x02，又點P在曲線C上，所以y02310×2131，所以點P的坐標為(2,1)(1)5xy20(2)(2,1)練習 若曲線f(x)acos x與曲線g(x)x2bx1在交點(0，m)處有公切線，則ab_.解析：f(x)asin x

6、，g(x)2xb，曲線f(x)acos x與曲線g(x)x2bx1在交點(0，m)處有公切線，f(0)ag(0)1，且f(0)0g(0)b，ab1.答案：1典例已知aR，函數f(x)x33x23ax3a3，求曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程解由已知得f(x)3x26x3a，故f(1)363a3a3，且f(1)133a3a31.故所求切線方程為y1(3a3)(x1)，即3(a1)xy43a0.一、已知斜率，求切線方程此類問題可以設出切點，利用導數與已知直線的斜率關系來確定切點，進而求出切線方程例：求與直線x4y10垂直的曲線f(x)2x21的切線方程解：所求切線與直線x4y10垂直，

7、所以所求切線的斜率k4.設切點坐標為(x0，y0)，則f(x0)4x04，即x01.所以切點坐標為(1,1)故所求切線方程為y14(x1)，即4xy30.二、已知過曲線上一點，求切線方程過曲線上一點的切線，該點不肯定是切點，故應先設出切點，再利用該點在切線上來確定切點，進而求出切線方程例：求過曲線f(x)x32x上的點(1，1)的切線方程解：設切點坐標為(x0，y0)，由于f(x)3x22，所以f(x0)3x2，且y0f(x0)x2x0.所以切線方程為yy0(3x2)(xx0)，即y(x2x0)(3x2)(xx0)由于切線過點(1，1)，故1(x2x0)(3x2)·(1x0)即2x3

8、x10，解得x01或x0，故所求切線方程為xy20或5x4y10.三、已知過曲線外一點，求切線方程這一題型要設出切點，再利用斜率公式及導數的幾何意義列方程求出切點，從而求出切線方程例：已知函數f(x)x33x，過點A(0,16)作曲線yf(x)的切線，求切線方程解：由題意知點A(0,16)不在曲線f(x)x33x上，設切點坐標為M(x0，y0)則f(x0)3x3，故切線方程為yy03(x1)(xx0)又點A(0,16)在切線上，所以16(x3x0)3(x1)(0x0)，化簡得x8，解得x02，即切點為M(2，2)，故切線方程為9xy160.課后練習1給出下列結論：(cos x)sin x；co

9、s；若y，則y； .其中正確的個數是()A0 B1 C2 D3解析： (cos x)sin x，所以錯誤；sin，而0，所以錯誤；2x3，所以錯誤；x，所以正確答案：B2函數ysin x·cos x的導數是()Aycos2xsin2x Bycos2xsin2xCy2cos x·sin xDycos x·sin x解析： y(sin x·cos x)cos x·cos xsin x·(sin x)cos2xsin2x.3若f(x)(2xa)2，且f(2)20，則a_.解析：f(x)4x24axa2，f(x)8x4a，f(2)164a20，a1.答案：14已知曲線yx4ax21在點(1，a2)處切線的斜率為8，則a_.解析：y4x32ax，由于曲線在點(1，a2)處切線的斜率為8，所以y|x142a8，解得a6.答案：65求下列函數的導數：(1)yx；(2)y；(3)y(4xx)(ex1)解：(1)yxx31，y3x2.(2)y.(3)法一：y(4xx)(ex1)4xex4xxexx，y(4xe