不定積分總結(jié)

1、不定積分一、原函數(shù)定義1 如果對任一，都有 或 則稱為在區(qū)間I 上的原函數(shù)。例如：，即是的原函數(shù)。 ，即是的原函數(shù)。原函數(shù)存在定理：如果函數(shù)在區(qū)間I 上連續(xù)，則在區(qū)間I 上一定有原函數(shù)，即存在區(qū)間I 上的可導(dǎo)函數(shù)，使得對任一，有。注1：如果有一個原函數(shù)，則就有無窮多個原函數(shù)。設(shè)是的原函數(shù)，則，即也為的原函數(shù)，其中為任意常數(shù)。注2：如果與都為在區(qū)間I 上的原函數(shù)，則與之差為常數(shù)，即（C為常數(shù)）注3：如果為在區(qū)間I 上的一個原函數(shù)，則（為任意常數(shù)）可表達的任意一個原函數(shù)。二、不定積分定義2 在區(qū)間I上，的帶有任意常數(shù)項的原函數(shù)，成為在區(qū)間I上的不定積分，記為。如果為的一個原函數(shù)，則 ，（為任意常數(shù)

2、）三、不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義如圖51所示： 圖 51設(shè)是的一個原函數(shù)，則在平面上表示一條曲線，稱它為的一條積分曲線于是的不定積分表示一族積分曲線，它們是由的某一條積分曲線沿著軸方向作任意平行移動而產(chǎn)生的所有積分曲線組成的顯然，族中的每一條積分曲線在具有同一橫坐標(biāo)的點處有互相平行的切線，其斜率都等于在求原函數(shù)的具體問題中，往往先求出原函數(shù)的一般表達式，再從中確定一個滿足條件 (稱為初始條件)的原函數(shù)從幾何上講，就是從積分曲線族中找出一條通過點的積分曲線四、不定積分的性質(zhì)（線性性質(zhì)） 五、基本積分表 a dx = ax + C，a和C都是常數(shù) xa dx = x(a + 1)/(a

3、+ 1) + C，其中a為常數(shù)且 a -1 1/x dx = ln|x| + C ax dx = (1/lna)ax + C，其中a 0 且 a 1 ex dx = ex + C cosx dx = sinx + C sinx dx = - cosx + C cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C tanx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C secx dx =ln|cot(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C = - ln|secx - tanx| + C = l

4、n|secx + tanx| + C cscx dx = ln|tan(x/2)| + C = (1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C = - ln|cscx + cotx| + C = ln|cscx - cotx| + C sec2(x) dx = tanx + C csc2(x) dx = - cotx + C secxtanx dx = secx + C cscxcotx dx = - cscx + C dx/(a2 + x2) = (1/a)arctan(x/a) + C dx/(a2 - x2) = arcsin(x/a) + C dx/(x2 + a

5、2) = ln|x + (x2 + a2)| + C dx/(x2 - a2) = ln|x + (x2 - a2)| + C (x2 - a2) dx = (x/2)(x2 - a2) - (a2/2)ln|x + (x2 - a2)| + C (x2 + a2) dx = (x/2)(x2 + a2) + (a2/2)ln|x + (x2 + a2)| + C (a2 - x2) dx = (x/2)(a2 - x2) + (a2/2)arcsin(x/a) + C六、第一換元法（湊微分）設(shè)為的原函數(shù)，即 或 如果 ，且可微，則 即為的原函數(shù)，或 因此有定理1 設(shè)為的原函數(shù)，可微，則 (2

6、-1)公式(2-1)稱為第一類換元積分公式。用湊微分法求解不定積分時，首先要認真觀察被積函數(shù)，尋找導(dǎo)數(shù)項內(nèi)容，同時為下一步積分做準(zhǔn)備。當(dāng)實在看不清楚被積函數(shù)特點時，不妨從被積函數(shù)中拿出部分算式求導(dǎo)、嘗試，或許從中可以得到某種啟迪。常用湊微分公式 配方 七、第二換元法定理2 設(shè)是單調(diào)的可導(dǎo)函數(shù)，且，又設(shè) 具有原函數(shù)，則 (2-2)其中為的反函數(shù)。公式(2-2)稱為第二類換元積分公式。 例1 求 ， 解：令 ，則 ，因此有 例2 求 ，解：令 ，則 ，因此有 其中。用類似方法可得 第二類換元法主要是針對多種形式的無理根式。常見的變換形式需要熟記會用。主要有以下幾種：八、分部積分法設(shè) ，則有 或 兩

7、端求不定積分，得 或 即 (3-1) 或 (3-2)公式 (3-1) 或 (3-2) 稱為不定積分的分部積分公式。分部積分法采用迂回的技巧，規(guī)避難點，挑容易積分的部分先做，最終完成不定積分。具體選取時，通?；谝韵聝牲c考慮：（1） 降低多項式部分的系數(shù)（2） 簡化被積函數(shù)的類型例1 求 解： 例2 求 解： 注1：由例1和例2可以看出，當(dāng)被積函數(shù)是冪函數(shù)與正弦（余弦）乘積或是冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積，做分部積分時，取冪函數(shù)為，其余部分取為。 例3 求 解： 例4 求 解： 注2：由例3和例4可以看出，當(dāng)被積函數(shù)是冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)乘積或是冪函數(shù)與反三角函數(shù)函數(shù)乘積，做分部積分時，取對數(shù)函數(shù)或反三角函

8、數(shù)為，其余部分取為。有時，分部積分會產(chǎn)生循環(huán)，最終也可求得不定積分。在中，的選取有下面簡單的規(guī)律：九、幾種特殊類型函數(shù)的積分。（1）有理函數(shù)的積分有理函數(shù)積分法主要分為兩步：1.化有理假分式為有理真分式；2.化有理真分式為部分分式之和。有理函數(shù)先化為多項式和真分式之和，再把分解為若干個部分分式之和。（對各部分分式的處理可能會比較復(fù)雜。出現(xiàn)時，記得用遞推公式：）（2）三角函數(shù)有理式的積分萬能公式：的積分，但由于計算較煩，應(yīng)盡量避免。對于只含有tanx（或cotx）的分式，必化成。再用待定系數(shù) 來做。（注：沒舉例題并不代表不重要）(3)簡單無理函數(shù)的積分一般用第二類換元法中的那些變換形式。像一些簡單的，應(yīng)靈活運用。如：同時出現(xiàn)時，可令；同時出