三元不等式的又一利器qpr變換法

1、三元對(duì)稱不等式證明的“利器”變換法王子康 安徽省馬鞍山市第八初級(jí)中學(xué) 243000【摘要】 在初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，我們常常遇到含有，等單項(xiàng)式的三元對(duì)稱不等式，使用常規(guī)方法解這類不等式不但運(yùn)算量大，而且步驟繁瑣易錯(cuò)。運(yùn)用特定字母替換這些單項(xiàng)式，則可以使得解題過程簡(jiǎn)潔明了，便于理解和運(yùn)算。本文歸納介紹了一些基本性質(zhì)和恒等變換，并從特例分析、運(yùn)用技巧等方面就使用變換證明三元對(duì)稱不等式進(jìn)行了簡(jiǎn)要論述?！娟P(guān)鍵詞】 初高中數(shù)學(xué) 變換 三元對(duì)稱不等式在初高中數(shù)學(xué)的許多三元對(duì)稱不等式中都含有，等單項(xiàng)式，這一類不等式通常結(jié)構(gòu)特征明顯。使用變換法將不等式轉(zhuǎn)換為含有、的簡(jiǎn)化不等式來證明解決，不失為一種行之有效的解

2、題技巧。下面就變換法的運(yùn)用進(jìn)行簡(jiǎn)要論述。1. 基本性質(zhì)通常，我們采用下列變量變換： ，。原不等式變換為。顯而易見，對(duì)應(yīng)的是“算術(shù)均值”；對(duì)應(yīng)的是“積均值”；對(duì)應(yīng)的是“幾何均值”。 這樣做的好處是可以降低不等式的次數(shù)。這樣我們很容易看出其滿足的不等式關(guān)系，特別地當(dāng)次數(shù)小于等于5時(shí)效果是很明顯的。這種證明不等式的方法稱為變換法。在具體運(yùn)用前，我們必須充分理解掌握這三者之間存在的基本性質(zhì)以及幾個(gè)恒等變換。若，設(shè)，則有以下基本性質(zhì)：性質(zhì)1. ，即：“算術(shù)均值”“積均值”“幾何均值”。證明：均值不等式，得證。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。性質(zhì)2. 證明：將舒爾不等式展開后，得得證。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。性質(zhì)3.

3、 證明：由性質(zhì)1可知，且，所以，得證。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。性質(zhì)4. 證明：由性質(zhì)1 可知：，所以，即，得證。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。性質(zhì)5. 證明：由排序不等式可知：，得證。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。性質(zhì)6. 證明：由性質(zhì)3 和性質(zhì)7 ，且，可知：，即，得證。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。性質(zhì)7. 證明：由二元均值不等式可知：，同理，三式相加，得，整理，得，得證。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。性質(zhì)8. 證明：由性質(zhì)5 ，且可知，比較性質(zhì)2 ，兩式相加，得，得證。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。性質(zhì)9. 性質(zhì)10. p2q3pr+2q2p4+3q24p2qpq22p2r+3qrq3+9r24pqrp3r+q36pqr2. 恒

4、等變換除上述性質(zhì)以外，我們還需要用到以下“十八般武器”。通過替代變換，整理后可以得到以下幾個(gè)經(jīng)常用到的重要恒等變換（限于篇幅，轉(zhuǎn)換過程從略，讀者可以自行嘗試），記住這些恒等變換對(duì)幫助我們更加高效地完成不等式的證明十分有益：恒等變換1.恒等變換2. 恒等變換3.恒等變換4.恒等變換5. 恒等變換6. 恒等變換7.恒等變換8.恒等變換9.恒等變換10.恒等變換11. 恒等變換12. 恒等變換13. 恒等變換14. 恒等變換15.恒等變換16. 恒等變換17.恒等變換18.恒等變換19.3. 技巧運(yùn)用例1 已知正數(shù)且，求證：證：設(shè)，有，并將恒等變換7代入原式，得，整理，得，這就是性質(zhì)8，所以原不等式

5、成立。原不等式得證。例2 已知是互不相等的正數(shù)且。求證：證：原式，將其展開后，化簡(jiǎn)，得設(shè)，有，代入式，可得，就是性質(zhì)3，所以不等式成立。原不等式得證。例3 已知為正實(shí)數(shù)，且，求證：。（數(shù)學(xué)通訊2017年第1，2期問題284）證：設(shè)，并將恒等變換11代入原式，可得又，代入式，得比較性質(zhì)2，我們只需要證明，即可使原不等式成立。由性質(zhì)4可知：原不等式得證。分析：例3出自文獻(xiàn)2中，在這里給出的是本例的變換證法。這一類沒有明顯特征的不等式，我們可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)卣归_化簡(jiǎn)后形成含有，等多項(xiàng)式的特殊不等式，再運(yùn)用變換法使不等式的證明過程得到簡(jiǎn)化。例4 已知正數(shù)且，求證： 證：設(shè)，有，并將恒等變換1、2代入原式，

6、可得就是性質(zhì)2。原不等式得證。例5 已知且，求證： (Kyiv Mathematical Festival 2016)證：將原式通分后展開，得， 設(shè)，則，將恒等變換4和5代入式，得，整理化簡(jiǎn)，得，將，代入并整理，得比較性質(zhì)3，我們只要證明，即可使上式成立。即證由性質(zhì)1和式，可知，所以，我們只需要證明，明顯，所以式成立。原不等式得證。分析：在進(jìn)行變換法證明不等式時(shí)，我們要善于將結(jié)果與已知條件或基本性質(zhì)作比對(duì)分析，通過作差或配項(xiàng)、配系數(shù)等方法，從中發(fā)現(xiàn)進(jìn)行下一步證明的途徑和策略。例6 若三角形的三邊為，求證：證：原式，將不等式展開并整理，得設(shè)，分別代入式，展開并整理，得比較性質(zhì)2，我們只要證明，根

7、據(jù)性質(zhì)1，該式明顯成立。原不等式得證。例7 為三角形的三邊，且三邊之和為1，求證證：已知為正數(shù)，且，設(shè)，原式，比較性質(zhì)4，我們只需要證明，即可使原不等式成立。由性質(zhì)1和已知條件，可知：，所以，明顯，所以不等式成立。原不等式得證。分析：上面例6原題出自文3，這里我們給出這些三角不等式的經(jīng)典變換例證。變換法在求證一些與三角形的三邊有關(guān)的不等式中也能發(fā)揮出意想不到的作用。例8 設(shè)，且，求證（2011年克羅地亞數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）證：將原式變形為由柯西不等式可知：，我們只需要證明，原式即可成立。設(shè)，則，并將恒等變換1、2、4代入上式，得，整理得，由性質(zhì)1和式，可知，所以我們只需要證明，即證明，明顯成立。原不等式得證。分析：本題出自安振平老師文4中的例2，在本文中給出了綜合運(yùn)用變換與柯西不等式結(jié)合的新證法：利用柯西不等式對(duì)原式作適當(dāng)變形后，再利用變換簡(jiǎn)化，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)目s放以后一舉證明。這說明在一些不等式的證明中我們可以將多種證明方法有機(jī)地結(jié)合起來，可以更加便捷地解決問題。綜述：變換法在證明這一類的三元不等式中有特別的效果，不失為一種簡(jiǎn)潔有效的證明辦法?！緟⒖嘉墨I(xiàn)】1 張艷宗.利用變換證一類不等式問題J.中等數(shù)學(xué)，2014(6):10-