三角形四心與向量

1、三角形“四心”的向量性質(zhì)及其應(yīng)用一、三角形的重心的向量表示及應(yīng)用（中線交點(diǎn)）命題一：已知是不共線的三點(diǎn)，是內(nèi)一點(diǎn)，若則是的重心命題二：點(diǎn)是三角形的重心則變式：已知分別為的邊的中點(diǎn)則變式引申：如圖4，平行四邊形的中心為，為該平面上任意一點(diǎn)，則二、三角形的外心的向量表示及應(yīng)用(外接圓圓心，邊中垂線交點(diǎn))命題二：已知是內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)為ABC的外心。三、三角形的垂心的向量表示及應(yīng)用：（高線交點(diǎn)）例1：已知是內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)G為垂心。變式：若H為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且則點(diǎn)H是ABC的垂心四、三角形的內(nèi)心的向量表示及應(yīng)用（內(nèi)角平分線交點(diǎn)，內(nèi)切圓圓心）命題四：O是內(nèi)心的充要條件是0)|CB|CB|C

2、A|CA(OC)|BC|BC|BA|BA(OB)ACAC|AB|AB(OA=-×=-×=-×變式1：如果記的單位向量為，則O是內(nèi)心的充要條件是 變式2：如果記的單位向量為，則O是內(nèi)心的充要條件也可以是。例1（2003江蘇）已知O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，滿足，則P的軌跡一定通過ABC的內(nèi)心 。 例2、已知P是非等邊ABC外接圓上任意一點(diǎn)，問當(dāng)P位于何處時(shí)，PA2+PB2+PC2取得最大值和最小值。 例3.已知O是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的（ D ） A .外心 B.內(nèi)心 C 重

3、心 D 垂心變形：（1） C（2） C（3） A例4： 點(diǎn)O在ABC內(nèi)部且滿足,則ABC面積與凹四邊形ABOC的面積之比（ C ）A 0 B 3/2 C 5/4 D 4/3 變形引申：，求ABC面積與凹四邊形ABOC的面積之比（ ）例2（03年江蘇卷）O是平面上一 定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則P的軌跡一定通過ABC的（ ）A外心B內(nèi)心 C重心 D垂心（1）（05年全國卷理）的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，則實(shí)數(shù)m = ；（2）（05年全國卷I文）點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)O是的（）A三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)B三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C三

4、條中線的交點(diǎn)D三條高的交點(diǎn)（3）(05年湖南卷文)P是ABC所在平面上一點(diǎn)，若=，則P是ABC的（） A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心（06陜西理） 已知非零向量與滿足(+)·=0且·= , 則ABC為 ( )A三邊均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等邊三角形 D等邊三角形3以“各種運(yùn)算的幾何意義”為代表的靈活運(yùn)用階段（05浙江卷）已知向量，|1，對(duì)任意tR，恒有|t|，則（C）(A) (B) () (C) () (D) ()()例3（06湖南理）如圖1, , 點(diǎn)在由射線、 線段及的延長(zhǎng)線圍成的區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運(yùn)動(dòng), 且,則的取值范圍是 ；當(dāng)時(shí), 的取值范圍是 . （

5、2）（07陜西理）如圖4，平面內(nèi)有三個(gè)向量、，其中與的夾角為，與的夾角為，且，若，則的值為例4（07全國）設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，為該拋物線上三點(diǎn)，若，則（ ）A9B6C4D307重慶理）如圖5，在四邊形中，則的值為（） （2007江西卷）15如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線分別交直線，于不同的兩點(diǎn)，若，則的值為2009年高考中的向量選擇題考查應(yīng)用：1.（2009廣東卷理）一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài)已知，成角，且，的大小分別為2和4，則的大小為 A. 6 B. 2 C. D. 【解析】，所以，選D.2.（2009浙江卷理）設(shè)向量，滿足：，以，的模為邊長(zhǎng)構(gòu)成三角形，則

6、它的邊與半徑為的圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為 ( ) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A B C D答案：C 【解析】如果知道此三角形有一個(gè)半徑為1的內(nèi)切圓，本題立解3.（2009陜西卷文）在中,M是BC的中點(diǎn)，AM=1,點(diǎn)P在AM上且滿足學(xué),則科網(wǎng)等于（A） （B） （C） (D) 答案:A. 解析:由知, 為的重心,根據(jù)向量的加法, 則=故選A4.（2009全國卷理）設(shè)、是單位向量，且·0，則的最小值為 ( D )（A） （B） （C） (D)解: 是單位向量 故選D.對(duì)照：（08浙江卷9）已知，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量滿足,則的最大值是C （A）1 （B）2 （

7、C） （D）5.（2009寧夏海南卷理）已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，則點(diǎn)O，N，P依次是的 （A）重心 外心 垂心 （B）重心 外心 內(nèi)心 （C）外心 重心 垂心 （D）外心 重心 內(nèi)心（注：三角形的三條高線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)為三角型的垂心）填空題7.（2009安徽卷理）給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動(dòng).若其中,則的最大值是_.解析設(shè) ，即對(duì)比：2009年石家莊高中畢業(yè)班第一次模擬考試試卷第18題： 在中， ()求； (11)設(shè)的外心為，若，求，的值18解: ()由余弦定理知:,2分.5分()由,知 7分為的外心，.同理.10分即， 解得: 12分方法1考查了向量的數(shù)量積及靈活運(yùn)用，并需要一定的計(jì)算技巧，檢測(cè)出考生個(gè)體理性思維的廣度和深度及進(jìn)一步學(xué)習(xí)的能力，符合對(duì)數(shù)學(xué)能力考查的命題思想方法2利用了向量的加法法則及平面向量基本定理，