大霧第4章剛體力學(xué)

1、4.1 4.1 剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)4.1.1 4.1.1 剛體剛體 剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體。變化的物體。 與質(zhì)點(diǎn)相比，剛體模型突出物體的大小和形與質(zhì)點(diǎn)相比，剛體模型突出物體的大小和形狀，忽略形狀和大小的變化，忽略物體內(nèi)部各部狀，忽略形狀和大小的變化，忽略物體內(nèi)部各部分之間的相對(duì)振動(dòng)和形變。分之間的相對(duì)振動(dòng)和形變。 換而言之，只討論剛體的整體運(yùn)動(dòng)，不追究換而言之，只討論剛體的整體運(yùn)動(dòng)，不追究它內(nèi)部各部分之間的相互作用和運(yùn)動(dòng)。它內(nèi)部各部分之間的相互作用和運(yùn)動(dòng)。4.1.2 剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng) 平動(dòng)平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)滾動(dòng)滾動(dòng)進(jìn)動(dòng)

2、進(jìn)動(dòng))(t)()(tttt ddt dd剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)平面轉(zhuǎn)動(dòng)平面汽車直線運(yùn)動(dòng)汽車直線運(yùn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)物理量物理量x(x, v, a )(, w, a )坐標(biāo)系坐標(biāo)系一維坐標(biāo)一維坐標(biāo)一維坐標(biāo)一維坐標(biāo)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)特點(diǎn)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)特點(diǎn)1)1)運(yùn)動(dòng)描述僅需一個(gè)坐標(biāo)；運(yùn)動(dòng)描述僅需一個(gè)坐標(biāo)；2)2)每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，圓面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面；每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，圓面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面； 3)3)任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角量均相同，但線量不同。任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的角量均相同，但線量不同。剛體勻變速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體勻變速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)勻變速直線運(yùn)動(dòng)at0vvt02021tt22022021at

3、txvxa2202vv2rararvnt)(t)(t求導(dǎo)求導(dǎo)求導(dǎo)求導(dǎo)積分積分積分積分)(tPz*OFdFrMsinMFrd4.2 4.2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律4.2.1 4.2.1 力矩力矩rF)sin(dFtFrMtLMddtLMdd合外力對(duì)于轉(zhuǎn)軸的合外力矩：合外力對(duì)于轉(zhuǎn)軸的合外力矩：iMMiiiFrsin4.2.2 4.2.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量 轉(zhuǎn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律iOiiivrmLiOiiivrmL)(2iiirmLL質(zhì)元的角動(dòng)量：質(zhì)元的角動(dòng)量：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量)(2iirmJLJJLJtJtLMdddd剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛

4、體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律4.2.3 4.2.3 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量)(2iirmJ1m2moo1r2rimir22222211NNiirmrmrmrmmRJdd22mRJ mRd2mrJd2ddRl ddRmdd3RJ d3RJ203dR32 R2mR圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量OROR4032d2RrrJRr dr2/ Rmrrmd2drrmrJd2dd32圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量221mRJ lO O20231dmlrrJlrd232/02121121d2mllrrJlrrrmrJddd22rd2l2lO Orlmrm/dd，細(xì)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量細(xì)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量mMla 思考：如圖，子彈思考：如圖，

5、子彈打入并停留在桿中后，打入并停留在桿中后，整體對(duì)于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣整體對(duì)于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為多少？量為多少？2231maMlJ22 2cos2iiiidrdrr22 22iiidxdrrCmx22 22iiiiiiidxmdmrmrm2mdJJC4.2.4 4.2.4 平行軸定理平行軸定理)(2)()()(22 2iiiiiiixmddmrmrm4.2.4 4.2.4 轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用 例：細(xì)棒質(zhì)量為例：細(xì)棒質(zhì)量為 m m 長(zhǎng)為長(zhǎng)為 L L，在摩擦系，在摩擦系數(shù)為數(shù)為 的水平桌面上旋轉(zhuǎn)，求它受到的摩的水平桌面上旋轉(zhuǎn)，求它受到的摩擦力矩；假定初始角速度為擦力矩；假定初始角速度為 w0 w

6、0，問(wèn)它轉(zhuǎn)多，問(wèn)它轉(zhuǎn)多少周后停止轉(zhuǎn)動(dòng)。少周后停止轉(zhuǎn)動(dòng)。Oldlgmf)d(dlfMr dd dfrrMM d2LmglLmgdlglLmld02lmgMr為什么有這樣好的一個(gè)結(jié)果？為什么有這樣好的一個(gè)結(jié)果？lfMr dd 根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律：根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律：JM JMLg23可見(jiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)為勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)，有：可見(jiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)為勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)，有：t0gLt32002021tt轉(zhuǎn)過(guò)的角度：轉(zhuǎn)過(guò)的角度：gL320轉(zhuǎn)過(guò)的周數(shù)：轉(zhuǎn)過(guò)的周數(shù)：gLgLn6232020ABCAmBmCm 例：水平面光滑，繩索質(zhì)量不計(jì)，圓例：水平面光滑，繩索質(zhì)量不計(jì)，圓柱形滑輪半徑為柱形滑輪半徑為 R R，滑輪與繩索間無(wú)滑動(dòng)，滑輪與繩索間無(wú)滑動(dòng)，不計(jì)滑

7、輪與軸承間的摩擦力。求兩物體的不計(jì)滑輪與軸承間的摩擦力。求兩物體的線加速度，兩段繩索的張力。線加速度，兩段繩索的張力。ABCAmBmCmT1FT2FAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmamFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2Ra 解解: :T2FT1FCPCF2CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF 例：如圖，水平軸光滑，最初棒在水例：如圖，水平軸光滑，最初棒在水平位置，求棒在任意位置時(shí)的角加速度和平位置，求棒在任意位置時(shí)的角加速度和角速度、棒受軸的力的大小和方向。角速度、棒受軸的力的大小和方向。解：作用在棒上解：作用在棒上力有二

8、，只有重力有二，只有重力對(duì)轉(zhuǎn)軸有力矩力對(duì)轉(zhuǎn)軸有力矩gmxM)d(mxgdCmgxcos21mglM JMlg2cos3t ddt ddddddlg2cos3ddlg2cos300d2cos3dlglgsin3質(zhì)心的加速度：質(zhì)心的加速度：lglaglant2sin324cos322質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：cos43cossin23sin21mgmaFmgmgmamgFtnsin251mgF cos412mgF 2221FFF1sin99412mg12arctanFFsin10cosarctan4.3 4.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能4.3.1 4.3.1 力矩的功力矩的功

9、rFAddrFdcosd)cos(rFddMA21dMA2)(21iiirm221JEk剛體的動(dòng)能剛體的動(dòng)能4.3.2 4.3.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能22)(21iikikrmEEJ221iikivmE2221iiirm21dMA21222121JJ12kkEEA4.3.3 4.3.3 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理 ddd21tJd21J4.3.4 4.3.4 剛體的重力勢(shì)能剛體的重力勢(shì)能iipghmEiihmgmhmhiicCpmghE 例：如圖，水平軸光滑，最初棒在水例：如圖，水平軸光滑，最初棒在水平位置，求棒在任意位置時(shí)的角加速度和平位置，求棒在任意位置

10、時(shí)的角加速度和角速度、棒受軸的力的大小和方向。角速度、棒受軸的力的大小和方向。解：重力矩解：重力矩cos21mglM sin3lg0dcos2glm0dMAsin2glm021sin22Jlmg剛體定軸轉(zhuǎn)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理動(dòng)動(dòng)能定理sin3lgsin32lgtlgtddcos3dd2lgt2cos3dd再用機(jī)械能守恒定律求解：再用機(jī)械能守恒定律求解： 研究對(duì)象：桿與地球組成的系統(tǒng)，外力研究對(duì)象：桿與地球組成的系統(tǒng)，外力(軸對(duì)桿的作用力軸對(duì)桿的作用力)作功為零，只有保守內(nèi)力作功為零，只有保守內(nèi)力(重力重力)作功，機(jī)械能守恒。以桿在水平位置作功，機(jī)械能守恒。以桿在水平位置為重力勢(shì)能的零點(diǎn)，有：為

11、重力勢(shì)能的零點(diǎn)，有：sin22102lmgJsin3lg4.4 4.4 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒4.4.1 4.4.1 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理tJtLMdddddddJLtM122121ddJJJtMtt4.4.1 4.4.1 剛體剛體( (質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系) )定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量守恒定律律 剛體剛體( (質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系) )對(duì)某一定軸所受的合外力矩為對(duì)某一定軸所受的合外力矩為零，則它對(duì)這一固定軸零，則它對(duì)這一固定軸的角動(dòng)量保持不變。的角動(dòng)量保持不變。1.1.地球自轉(zhuǎn)地球自轉(zhuǎn)2.2.茹可夫斯基凳茹可夫斯基凳1221dJJtMtt

12、例：長(zhǎng)例：長(zhǎng) l 質(zhì)量質(zhì)量 m 的勻質(zhì)細(xì)桿的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞光滑軸，可繞光滑軸 O在鉛直面內(nèi)擺動(dòng)。在鉛直面內(nèi)擺動(dòng)。桿靜止時(shí)，一質(zhì)量為桿靜止時(shí)，一質(zhì)量為 m0 的子彈的子彈水平射入與軸相距為水平射入與軸相距為 a處的桿內(nèi)并處的桿內(nèi)并留在桿中，使桿能偏轉(zhuǎn)到留在桿中，使桿能偏轉(zhuǎn)到 q =300，求子彈的初速，求子彈的初速v0。avmL000JL 22031mlamJa0m解：解：avmJ00)2(2120lamgJE勢(shì)能零點(diǎn)勢(shì)能零點(diǎn))cos2()cos1 (0lamggamEa0m由機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒，E = E0 ，代入，代入 q =300，得：，得：)212()211 ()2(2102lam

13、ggamlamgJgammlammlamv)3)(2(6321202000將上式與將上式與 聯(lián)立，代入聯(lián)立，代入 J J 值，得：值，得：avmJ00例：一質(zhì)量為例：一質(zhì)量為M 半徑為半徑為R的的水平勻質(zhì)圓盤，可繞通過(guò)中水平勻質(zhì)圓盤，可繞通過(guò)中心的光滑豎直軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。心的光滑豎直軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)。盤緣上站一質(zhì)量為盤緣上站一質(zhì)量為 m 的人的人，兩者相對(duì)地面靜止。當(dāng)人，兩者相對(duì)地面靜止。當(dāng)人在盤上繞邊緣走一周時(shí)，盤在盤上繞邊緣走一周時(shí)，盤對(duì)地面轉(zhuǎn)多大的角度？對(duì)地面轉(zhuǎn)多大的角度？ 解：盤和人組成系統(tǒng)。人走動(dòng)解：盤和人組成系統(tǒng)。人走動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)所受豎直力矩為零，時(shí)，系統(tǒng)所受豎直力矩為零，系統(tǒng)對(duì)此軸的角動(dòng)量守恒。系統(tǒng)對(duì)此軸的角動(dòng)量守恒。 j j和和J J分別表示人和盤對(duì)軸的轉(zhuǎn)分別表示人和盤對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，動(dòng)慣量，w w 和和 表示兩者的表示兩者的角速度，角速度， 和和 表示兩者對(duì)表示兩者對(duì)地的角位移，由角動(dòng)量守恒有地的角位移，由角動(dòng)量守恒有：0 Jj2221,mRJmRjttdd,ddtMRtmR