圓周角和圓心角的關(guān)系

1、北京師范大學(xué)出版社九年級(jí)下冊(cè)第三章第四節(jié)第一課時(shí)圓周角和圓心角的關(guān)系 銀川十八中 董秋菊 電話郵編:750021一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)是：理解圓周角的概念，了解并證明圓周角定理及其推論1.本節(jié)課是在學(xué)生掌握了圓的有關(guān)性質(zhì)和圓心角概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，圓周角定理是前面學(xué)過的三角形內(nèi)角和定理的推論和等腰三角形性質(zhì)的延續(xù)，又是下一節(jié)課學(xué)習(xí)圓周角定理的三個(gè)推論的依據(jù),還能使學(xué)生了解分情況證明數(shù)學(xué)命題及化歸的思想和方法，圓周角定理的推論1可以用來證明角相等，從而進(jìn)一步證明兩個(gè)三角形相似或全等，同時(shí)又可以實(shí)現(xiàn)角的轉(zhuǎn)換，將一個(gè)圓周角轉(zhuǎn)換為同弧所對(duì)的其他圓周角，便于解題，本節(jié)

2、是本章重點(diǎn)內(nèi)容之一.綜合上述對(duì)教材內(nèi)容的分析，結(jié)合新課標(biāo)的要求，我確定本節(jié)課的重點(diǎn)是：理解圓周角的概念并掌握?qǐng)A周角與圓心角的關(guān)系.二、學(xué)生學(xué)情分析 學(xué)生已了解圓的對(duì)稱性并已掌握?qǐng)A中弧、弦、圓心角之間的關(guān)系，通過類比分類探索圓周角和圓心角之間的關(guān)系時(shí)，主要?dú)w結(jié)為同弧上圓周角與圓心角的關(guān)系，讓學(xué)生形成分類討論的思想.九年級(jí)學(xué)生已經(jīng)具備一定的觀察討論、自主探索、歸納總結(jié)的能力，但在我所帶的班級(jí)中，多數(shù)學(xué)生表現(xiàn)欲不強(qiáng)，怕說錯(cuò)話，解錯(cuò)題，而本節(jié)課又是分三種情況證明圓周角定理，采用由特殊到一般的方法，這種探索問題的方法學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)較少，即使少數(shù)優(yōu)秀學(xué)生能在教師給出三種情況的條件下證明出圓周角定理，他

3、們也不一定能考慮到要分情況去討論論證并用化歸的思想方法去解決. 所以我認(rèn)為本節(jié)的課的難點(diǎn)是：利用分類討論和化歸的思想方法推導(dǎo)證明圓周角定理.三、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置依據(jù)新課標(biāo)要求，根據(jù)本節(jié)內(nèi)容在教材中的地位和作用，以及九年級(jí)學(xué)生的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)和心理特征，我確定以下目標(biāo)：1理解圓周角的概念，了解并證明圓周角定理及其推論12經(jīng)歷探索圓周角和圓心角的關(guān)系的過程，感受以特殊情況為基礎(chǔ)，通過轉(zhuǎn)化來解決一般性問題的方法，滲透分類的數(shù)學(xué)思想和化歸的數(shù)學(xué)方法3讓學(xué)生在主動(dòng)探索、合作交流的過程中，獲得成功的愉悅感，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、善于總結(jié)的學(xué)習(xí)習(xí)慣.四、教法與學(xué)法分析1.教學(xué)方法根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生學(xué)情，

4、教學(xué)上采用“探究式”的教學(xué)方法.教師著眼于引導(dǎo)，學(xué)生著重于探索，意在幫助學(xué)生通過直觀情境觀察和自己動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，從自己的實(shí)踐中獲取知識(shí)，并通過討論、練習(xí)來深化對(duì)知識(shí)的理解.2.學(xué)生學(xué)法學(xué)生學(xué)習(xí)的關(guān)鍵在于教師如何調(diào)動(dòng)、挖掘?qū)W生的積極性、主動(dòng)性.本著“最近發(fā)展區(qū)”原則，課堂上，學(xué)生主要采用動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、合作交流的學(xué)習(xí)方法，在教師的指導(dǎo)下從直觀感知上升到理性思考.經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、論證、歸納的學(xué)習(xí)過程，讓不同層次的學(xué)生有不同層次的收獲與發(fā)展.五、教學(xué)過程環(huán)節(jié)一 激趣引入（課件展示）在上周二下午的興趣小組活動(dòng)中，咱們班足球小組的李博、季明、王亮三位同學(xué)進(jìn)行了一場(chǎng)游戲，現(xiàn)在老師把他們的游戲抽

5、象成數(shù)學(xué)問題：三人進(jìn)行一場(chǎng)射門游戲，過球門AC畫了一個(gè)圓，李博、季明、王亮分別站在圓上B、D、E的位置直線射球，但是李博和王亮不同意這樣比賽，說季明所在的位置相對(duì)于球門AC的張角大，游戲不公平，你怎么看？（引發(fā)學(xué)生思考ABC、AEC和ADC的大小.）教師依次提出問題串：?jiǎn)栴}1：到底是不是ADC大呢？帶著對(duì)這個(gè)問題的思考我們一起走進(jìn)今天的課堂.問題2：首先請(qǐng)同學(xué)們回憶一下在此之前我們都學(xué)過哪些與圓有關(guān)的角？問題3：什么是圓心角呢？問題4：ABC、AEC和ADC是圓心角嗎？ 問題5:與圓心角相比，它們有什么特征呢？問題6：依據(jù)它們共同的特征，你能給他們?nèi)€(gè)名字嗎？非常好，今天我們就來認(rèn)識(shí)圓周角.（

6、教師板書半個(gè)課題圓周角）設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)從學(xué)生感興趣的體育運(yùn)動(dòng)入手，以班級(jí)足球興趣小組三個(gè)同學(xué)的分歧為切入點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生探索的欲望，同時(shí)感受數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的密切聯(lián)系，緊接著又由一系列問題串引導(dǎo)學(xué)生觀察三個(gè)角的特征，類比圓心角，引申到本節(jié)要學(xué)習(xí)的圓周角，便于學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上掌握所學(xué)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，同時(shí)自然而然進(jìn)入下一環(huán)節(jié).環(huán)節(jié)二 概念明晰（集體活動(dòng)）問題：現(xiàn)在大家能否根據(jù)剛剛的觀察討論給圓周角下個(gè)定義呢？請(qǐng)一位同學(xué)敘述一下.（學(xué)生敘述，教師補(bǔ)充，并板書圓周角的定義。）明晰：頂點(diǎn)在圓上，兩條邊分別與圓還有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫圓周角.接下來老師給出這樣幾個(gè)練習(xí)，看大家對(duì)圓周角是否真的認(rèn)識(shí)了.練

7、習(xí)反饋：1. 判斷下列圖形中的角是不是圓周角, 如果不是請(qǐng)說明理由. 圖22判斷下列命題是否正確： （1）圓周角的頂點(diǎn)一定在圓上.（2）頂點(diǎn)在圓上的角是圓周角.（3）圓周角的兩邊都和圓相交.（4）兩邊都和圓相交的角是圓周角.3下列兩個(gè)圓中各有幾個(gè)圓周角？ACBDDCAB圖3 圖4 設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)過上一環(huán)節(jié)的觀察討論，學(xué)生明確了圓周角的特征，教師引導(dǎo)給出圓周角的定義，隨后設(shè)置了三道練習(xí)，練習(xí)1是一道關(guān)于圓周角定義的圖形辨析題，目的在于經(jīng)過學(xué)生的觀察與辨析交流，進(jìn)一步明晰圓周角的兩個(gè)特征：頂點(diǎn)在圓上和兩邊在圓內(nèi)的部分是圓的兩條弦.練習(xí)2抓住圓周角定義的本質(zhì)特征，進(jìn)一步強(qiáng)化對(duì)圓周角定義的文字?jǐn)⑹觯痪毩?xí)

8、3結(jié)合幾何證明題的復(fù)雜圖形中圓周角的確定，為以后處理有關(guān)圓的綜合性題目打下基礎(chǔ).本環(huán)節(jié)真正達(dá)到了教學(xué)目標(biāo)中所要求的理解圓周角的概念的目的.環(huán)節(jié)三 活動(dòng)探究（小組合作）現(xiàn)在我們回過頭再來看一下射門游戲中的三個(gè)角，問題1：這三個(gè)角是什么角，它們所對(duì)的弧分別是什么？問題2：我們知道在同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的圓心角相等，那么同一條弧所對(duì)的圓心角和圓周角會(huì)不會(huì)有什么關(guān)系呢”接下來我們就一起來研究這個(gè)問題.（教師板書補(bǔ)充課題）設(shè)計(jì)意圖：首先回過頭去觀察情境引入中的三個(gè)角，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三個(gè)角所對(duì)的是同一條弧，進(jìn)而聯(lián)系“在同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的圓心角相等.“提出猜想”那么同一條弧所對(duì)的圓心角和圓周角

9、會(huì)不會(huì)有什么關(guān)系呢”，把學(xué)生的思維引導(dǎo)到圓周角與圓心角的關(guān)系上，以“同一條弧所對(duì)”作為聯(lián)系紐帶，順利過渡到對(duì)圓周角定理的探究活動(dòng).活動(dòng)一 畫一畫下面請(qǐng)大家四人一小組合作，在導(dǎo)學(xué)案上的探究一中按照提示畫出圖形.探究一 同一條弧所對(duì)的圓周角與圓心角的位置關(guān)系.請(qǐng)?jiān)谙铝懈鲌A中畫出AC弧所對(duì)的圓周角與圓心角，若按圓心O與這個(gè)圓周角的位置關(guān)系來分，你能分為幾類.（注意要做到不重不漏.）.OACACACAC.OACOACOOOO圖5結(jié)論：按照?qǐng)A心O與圓周角的位置關(guān)系可將同一條弧所對(duì)的圓周角與圓心角的位置關(guān)系分為_類.（派兩個(gè)小組代表上臺(tái)展示小組結(jié)果，教師總結(jié)分為三類）現(xiàn)在老師利用幾何畫板再給大家演示一下，

10、看看還有沒有別的情況.（演示顯示只有三種情況）.設(shè)計(jì)意圖：由于對(duì)圓周角定理的證明要分三種情況進(jìn)行探討，這點(diǎn)學(xué)生不易想到，所以我先讓學(xué)生小組合作，在導(dǎo)學(xué)案上按照提示盡可能多地畫出同一條弧所對(duì)的圓心角與圓周角，經(jīng)過小組交流和教師指點(diǎn)，總結(jié)出圓心角與圓周角的三種位置關(guān)系（圓心在圓周角一條邊上，圓心在圓周角內(nèi)，圓心在圓周角外），然后點(diǎn)兩個(gè)小組代表上臺(tái)展示結(jié)果，教師再借助幾何畫板動(dòng)態(tài)演示從而進(jìn)一步驗(yàn)證圓周角和圓心角的三種位置關(guān)系，為下一步化歸做好鋪墊.（特別說明：導(dǎo)學(xué)案上給出的圓不能僅限三個(gè)，而應(yīng)該多給幾個(gè)，然后對(duì)比得到三種結(jié)果，這樣可以避免對(duì)學(xué)生的思維限制.）活動(dòng)二 量一量同一條弧所對(duì)的圓周角與圓心角

11、的位置關(guān)系我們已經(jīng)知道了，那么他們的數(shù)量關(guān)系又是怎樣的呢？利用你手中的工具，你能完成這項(xiàng)工作嗎？下面請(qǐng)大家小組合作共同完成這項(xiàng)工作.(學(xué)生可借助量角器測(cè)量)探究二 請(qǐng)你用手中的工具分別測(cè)出探究一中你所找到的三種情況下圓周角和圓心角的度數(shù)，看看每一種情況下兩個(gè)角的度數(shù)各有什么關(guān)系？由此，你得到猜想： .你們得到了什么結(jié)論？明晰：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半？提問：到底是不是這樣的呢，咱們借用幾何畫板也來驗(yàn)證一下.（驗(yàn)證結(jié)束后，教師板書圓周角定理，并在其后打上“？”.）設(shè)計(jì)意圖：明確了圓周角和圓心角的三種位置關(guān)系后，如果直接進(jìn)行圓周角定理的證明，可能有一定困難，于是我通過教師的提問

12、引導(dǎo)學(xué)生，利用手中的工具測(cè)量得到同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角的度數(shù)，進(jìn)而合作交流得出對(duì)于二者關(guān)系的猜想：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半.教師再利用幾何畫板中的測(cè)量工具度量同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角的度數(shù)，并改變弧的大小再次測(cè)量，從而進(jìn)一步驗(yàn)證學(xué)生的猜想，為下一步對(duì)圓周角定理的證明鋪設(shè)了道路.驗(yàn)證結(jié)束后教師總結(jié)并板書圓周角定理并在其后打上“？“號(hào)，打問號(hào)是因?yàn)榻刂聊壳拔覀儍H僅是通過測(cè)量了有限數(shù)量的實(shí)例得到了這樣的猜想，還不能說明這個(gè)定理的一般性.活動(dòng)三 證一證剛剛我們通過測(cè)量得到了這一猜想，那么我們的猜想對(duì)于所有的同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角是否都成立呢？這個(gè)就需要我們從一般性出

13、發(fā)去證明它.下面請(qǐng)大家小組合作，在導(dǎo)學(xué)案上的探究三中完成證明. 探究三 證明圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半.已知：在中，所對(duì)的圓周角B和圓心角AOC求證：（對(duì)于以下三種情況你認(rèn)為哪種情況最為特殊，最便于我們證明.） （1） （2） （3）圓心O在ABC外部 圓心O在ABC一邊上 圓心O在ABC內(nèi)部圖6證明：（2）圓心O在ABC一邊上，如圖6（2）明晰：圓周角定理 圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半。設(shè)計(jì)意圖：本節(jié)課的難點(diǎn)正在于此.對(duì)于三種情況的證明，大多數(shù)學(xué)生都會(huì)感覺很困難，于是我先讓學(xué)生小組合作，在導(dǎo)學(xué)案上根據(jù)提示進(jìn)行證明.有了猜想為基礎(chǔ)，證明“（2）圓心在圓周角一邊

14、上”這種情況學(xué)生完全可以自己完成，教師展示正規(guī)證明過程以供學(xué)生參考，另外兩種情況通過教師語言提示“其他兩種情況是不是可以轉(zhuǎn)化成（2）的形式再加以證明呢”啟發(fā)學(xué)生轉(zhuǎn)化成第一種情況去解決，認(rèn)識(shí)到轉(zhuǎn)化的條件是：加以角的頂點(diǎn)為端點(diǎn)的直徑作為輔助線，這一過程中教師要巡視指導(dǎo)，與此同時(shí)，充分給予學(xué)生交流的時(shí)間，體會(huì)將一般情況轉(zhuǎn)化成特殊情況的過程，體驗(yàn)了化歸的思想方法，達(dá)到了突破難點(diǎn)的目的.對(duì)于情況（1）找小組代表上臺(tái)敘述思路，教師多媒體展示正規(guī)證明過程，情況（3）點(diǎn)學(xué)生上臺(tái)板演，教師加以總結(jié)，把黑板上圓周角定理后面的“？“號(hào)擦除，接著明晰把情況（1）（3）轉(zhuǎn)化成（2）的形式解決的方法屬于化歸的數(shù)學(xué)方法.活

15、動(dòng)四 解決分歧，得出新知此時(shí)根據(jù)以上內(nèi)容的學(xué)習(xí)，你認(rèn)為射門游戲中到底是不是ADC大呢，這個(gè)游戲?qū)θ煌瑢W(xué)公平嗎？為什么？由此你又能得到什么結(jié)論？能否用圓周角定理證明你的結(jié)論？明晰：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。設(shè)計(jì)意圖：利用圓周角定理解決激趣引入環(huán)節(jié)所遺留的問題，前后呼應(yīng)，同時(shí)自然得出圓周角定理的第一個(gè)推論.環(huán)節(jié)四 大顯身手1.填空：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的_.圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的_.同弧或等弧所對(duì)的圓周角 .設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生從不同角度認(rèn)識(shí)圓周角定理，達(dá)到活學(xué)的目的.2.如圖7，在O中，BOC=50°，則BAC=_ABCO變式訓(xùn)練1：如圖，點(diǎn)A，B，C是O

16、上的三點(diǎn)，BAC=40°，則BOC=_ 變式訓(xùn)練2：如圖，BAC=40°，則OBC=_ 圖7設(shè)計(jì)意圖：2是圓周角定理的直接應(yīng)用，側(cè)重于考查學(xué)生面對(duì)多個(gè)圓周角與圓心角時(shí)的識(shí)圖辨圖能力.變式訓(xùn)練1是反面考察圓周角定理，與練習(xí)2相呼應(yīng)，變式訓(xùn)練2與等腰三角形知識(shí)聯(lián)系，考察了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.3、如圖8，已知圓心角AOB=100°，求圓周角ADB、AEB、ACB的度數(shù)？E變式訓(xùn)練：如圖8，已知,求證：.圖8 設(shè)計(jì)意圖：3考察圓周角定理及其推論1，變式訓(xùn)練將圓周角定理的推論1與三角形全等相結(jié)合，進(jìn)一步考察學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。環(huán)節(jié)五 品味收獲問題：今天這節(jié)課大家表現(xiàn)的都非常的不錯(cuò)，相信每一位同學(xué)都開動(dòng)了腦筋，交流了思想，那你能說說你今天這節(jié)課的收獲嗎？（學(xué)生陳述，教師再小結(jié)）1.圓周角的概念: 頂點(diǎn)在圓上，兩條邊分別與圓還有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫圓周角2.圓周角定理: 圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半3.推論：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等4.分類討論的思想和化歸的數(shù)學(xué)方法.5.在合作中體會(huì)到了集體力量之大.設(shè)計(jì)意圖：在這一環(huán)節(jié)中，先找學(xué)生陳述，