理論力學萬能解題法

1、理論力學萬能解題法（未完手稿，內部資料，僅供華中科技大學本課堂學生參考）鄭慧明huiming121212華中科技大學理論力學教研室 序 言理論力學是工科機械、能源、動力、交通、土木、航空航天、力學等專業(yè)的一門重要基礎課程，一方面可解決實際問題，此外，培養(yǎng)學生對物理世界客觀規(guī)律內在聯(lián)系的理解，有助于培育出新的思想和理論，并為后續(xù)專業(yè)課程打基礎。 但其解題方法眾多，不易掌握。有時為了了解系統(tǒng)的更多信息，取質點為研究對象，其計算復雜。有時僅需要了解系統(tǒng)整體某方面信息，丟失部分信息使問題計算簡單，有時又將局部和整體分析方法結合在一起，用不太復雜的方法獲得我們關心的信息。解題方法眾多的根本原因是，靜力學

2、所有定理都是由5大公理得到，動力學三大定理都是由公理和牛頓第2定理得到。因為這些定理起源有很多相同之處，故往往可用來求解同一個問題，導致方法眾多。正是因為方法眾多，但因為起源可能相同，對于復雜題目，往往需要列出多個多立方程才能求解。若同時應用多個定理解題時，往往列出線形相關的方程，而他們的相關性有時很難看出來，而卻未列出該列的方程，或列方程數(shù)目過多，使解題困難，一些同學感到理論力學不好學，感覺復雜的理論力學題目。雖然可以條條大路通羅馬，但因為可選擇的途徑太多，有時像進入迷宮，繞來繞去，不知下一步路如何走，甚至回到同一點，比如用功率方程和動靜法列出的方程表面上不同，實際上是同一個，一些學生會感到

3、困惑，因為有些教科書上并未直接說明功率方程可由動靜法推導得到，其本質上也是一個力/矩方程。本書的主要目的是幫助那些對理論力學解題方法多樣性無所適從的同學，了解各解題方法的內在關聯(lián)和差異，容易在眾多的解題方法中找到適合自己的技巧性不高的較簡單方法，而該方法可以推廣到一種類型的題目。大學階段要學的東西很多，為了高效率掌握一門課程的主要思想，對許多題目可能用同一種較合理的方法來解決，也是同學們所期望的，對于理論力學的學習，因為其方法的多樣性，這種追求同一性的求知愿望可能更強烈。理論力學所研究的客觀物理世界具備多樣性和同一性，為這種追求解題方法的同一性提供了可能。故本書判斷一種解題方法的優(yōu)劣及給出的解

4、題方法遵循如下原則：（1）一種解題方法若計算量不大，又可以推廣到任意位置、任意力/矩、任意速度、加速度的復雜系統(tǒng)，則本書認為是較好的舉一反三的方法。那些只對一道具體題目才使用的方法，雖然簡單，但與本書的“同一性”宗旨不一致，我們也不推薦使用，目的使學生通過反復的應用在有限時間內熟練掌握本課程的主要方法。這一點可能與以往一些理論力學教材作者觀點不同，他們可能側重于強調物理世界的多樣性和解題方法的多樣性。本書主要是用于那些水平不高的學生盡快提高理論力學解題能力，并側重于對世界同一性的強調。因篇幅有限，本書難以兼顧物質世界多樣性與同一性的統(tǒng)一，不適于追求更高解題技巧及解題方法多樣性的讀者，提請讀者注

5、意。（2）對同一類問題，給出如何在眾多方法中找到同一種較容易想到的方法求解。（3）優(yōu)先考慮盡量避免引入不需求的位置量，使所列的方程個數(shù)盡量最少，其次，才考慮盡量用一個方程解出一個未知量。前些年，一本“英語萬能作文法”風靡一時，成為考研寶典，并引起一些批評。我們認為，“英語萬能作文法”對一些英語水平不高者有較大幫助，而本書的目的是希望那些剛接觸理論力學的本科生克服“菜鳥”階段面對理論力學解題方法眾多的無所適從，且本書只是一個教學輔導參考書，無需教科書的刻板和嚴肅，故本書取名為萬能解題法，目的是突出其用同一種方法解題的宗旨和思想，并使讀者能在眾多的理論力學參考書中因為名稱的標新立異而投以一點關注的

6、目光，也許你因此發(fā)現(xiàn)本書正適合你。正如“英語萬能作文法”，專家褒貶不一，但勿庸置疑，它對那些初學水平的學習者，還是非常有幫助。同樣，本書命名了一個嘩眾取寵的萬能解題法，其實是言過其實的，也并不適合所有讀者，特此說明。本書許多素材是基于已在美國留學的材料06李智宇、機械07章狄等同學根據(jù)本課堂內容整理的。對諸多同學在本課程學習過程中所表現(xiàn)的領悟力及濃厚的興趣，記憶猶新。武漢科技大學力學系李明博士提供寶貴意見，在此表示感謝。因時間倉促、水平有限，難免有錯誤和不妥之處，敬請指教。華中科技大學理論力學教研室鄭慧明2011 年于華工園【卷首提示】：同一道理論力學習題，解題方法眾多，容易造成思路混亂，為了

7、使解題思路清晰和簡單，并加深對理論力學各原理的優(yōu)缺點的深刻了解，本書解題出發(fā)點遵循如下原則： 盡量用同一種方法解題，優(yōu)先考慮盡量避免引入不待求的未知量，使得列出的獨立方程數(shù)目最少。 其次才追求盡量用一個方程即可求出一個待求量（對于動力學問題，用一個方程即可求出一個待求量是不可能的。）。采用此方法，即可容易將不同的復雜的機械系統(tǒng)看成一個類似系統(tǒng)，采用同一種思路分析，這是本書解題思路與眾不同的根源。此外，追求盡量用一個方程即可求出一個待求量解動力學問題幾乎是不可能的。因為動力學問題往往還要與運動學方程聯(lián)立才能求解。 解題方法，實際上就是列完方程后，采用不同的解題技巧而已?？紤]到學生已學完線性代數(shù)，

8、對方程組與解的內在聯(lián)系有所領悟，故本書不再過分追求如何列不聯(lián)立的方程。第1章 靜力學公式和物體的受力分析一 問題問題1：有哪五大公理，該注意哪些問題？ 答：五大公理（靜力學） （1）平行四邊形法則（2）二力平衡公理（一個剛體）共線大小相等，方向相反，一個剛體 （3）力系加減平衡原理（一個，剛體）力的可傳遞性（一個剛體）三力匯交定理 1.通過匯交面 2.共面 （4）作用與反作用力（運動學、變形體） （5）剛化原理問題2：畫受力圖步驟及應注意的問題？ 答：畫受力圖方法原則：盡量減少未知力個數(shù)，使得在做題的第一步就將問題簡化，以后根據(jù)力學原理所列的方程數(shù)目就少一些，求解就方便一些。步驟：a ）根據(jù)要

9、求，選取研究對象, 去掉約束，先畫主動力 b ）在去掉約束點代替等效的約束反力c ）用二力軒、三力匯交，作用力與反作用力方法減少未知量個數(shù)，應用三力匯交時從整體到局部或從局部到整體來思考。d ）用矢量標識各力，注意保持標識的一致性。對于未知大小，方向的力將它設為Fx ，F(xiàn)y 再標識出。問題3：約束與約束力及常見的約束（詳見課本）物體（系）受到限制就為非自由體，這種限制稱為約束，進而就有約束力（約束反力）。 一般，一處約束就有一處約束力。二 典型習題以下通過例題來演示上述介紹的方法。例1由哈工大1-2（k ）改編; 如圖，各處光滑，不計自重。 1）畫出整體，AC （不帶銷釘C ）,BC （不帶銷

10、釘C ）, 銷釘C 的受力圖； 2）畫出整體，AC （不帶銷釘C ）,BC （帶銷釘C ）的受力圖； 3）畫出整體，AC （帶銷釘C ）,BC （不帶銷釘C ）的受力圖。解法提示：應用三力匯交時從整體到局部或從局部到整體來思考，盡量減少未知力個數(shù)。1）由整體利用三力匯交確定F A 方向，則AC （不帶銷釘C ）可用三力匯交。BC （不帶銷釘C ）也三力匯交。 （a ） (b (c (d2）由整體利用三力匯交確定F A 方向，則AC （不帶銷釘C ）可用三力匯交。BC （帶銷釘C ）不能用三力匯交。具體參考1）3）由整體利用三力匯交確定F A 方向，BC （不帶銷釘C ）可用三力匯交。AC （帶

11、銷釘C ）不能用三力匯交。例2如圖，各處光滑，不計自重。 1）畫出整體，AB （不帶銷釘B ）,BC （不帶銷釘B ）, 銷釘B 的受力圖；2）畫出整體，AB （不帶銷釘B ）,BC （帶銷釘B ）的受力圖； 3）畫出整體，AB （帶銷釘B ）,BC （不帶銷釘B ）的受力圖。解法提示： 1）由B 點的特點，可用三力匯交確定F A 方向。同樣，由C 點的特點，可用三力匯交確定F B 方向。 （a ） (b (c (d2），3）當銷釘處沒有集中力時，帶不帶銷釘都一樣，可把銷釘處AB 和BC 間的力當作作用力與反作用力。注意，當銷釘處有集中力時，則不能如此。例3 如圖，求靜平衡時，AB 對圓盤c

12、的作用力方向。各處不光滑，考慮自重，圓盤c 自重為P 。 解法提示： 1）由E 點的特點，可用三力匯交確定為DE 方向。 例4 如圖. 各處光滑，不計自重。畫受力圖：構架整體、桿AB 、AC 、BC （均不包括銷釘A 、C ）、銷釘A 、銷釘C 解法提示： 先對整體用用三力匯交確定地面對銷釘C 的力方向。依次由af作圖。 （a ）(b (c(d (e (f第2章 平面力系的簡化和平衡一 問題問題1：本章注意問題有哪些？ 1）找出二力軒 2）約束力畫正確3）平面匯交力系：2個方程能且只能求得2個未知量（以下“未知量”用？表示）1n平面力偶系： 1個方程2個？ 2n 平面平行力系：2個方程2個？

13、3n 平面任意力系：3個方程3個？ 4n一個系統(tǒng)總的獨立方程個數(shù)為：+4321322n n n n 能且只能求得相應數(shù)目？任意力學列方程方法 a 一矩式b ）二矩式 y AB 不（力投影軸） c ）三矩式 ABC 不共線注：a ，b ），c ）可以相互推導得出，在推導的過程中會發(fā)現(xiàn)這些限制條件，應注意，否則會線性相關。具體對一個問題分析時注意（1）所列方程必須線性無關，局部：方程1；局部 ：方程2方程1+方程2整體方程 是不行的（2）因此盡量選擇一個對象列所有的方程，看未知力與方程數(shù)差數(shù)目再找其他物體列對應方程說明：方程1+方程2整體方程，局部1，與局部2為整體的分離體，其中包含了兩者間的內力

14、，相加后消除內力，就推導出整體方程。 問題2：如何取研究對象，如何列方程 答：、原則：（1）盡量列最少數(shù)目的方程只包含待求未知量（優(yōu)先） F盡量讓每個方程能解出一個未知量 、解題思路（重要）:a 先整體，看能從3個方程中列幾個有用方程，把能求出的未知量當作已知，方便以后分析，但不必具體求出其中的未知量的大小，以后須用到某個未知量，再回頭求。 b 從待求量出發(fā)，向其周圍前后左右，由近及遠，延伸到光滑鉸鏈連接點D 處, 對點D 取矩，依次類推。若碰到其他不待求未知量，表明很可能此路不通，不要再從此處突破。一般常用此方法。(本書稱為順藤摸瓜法 。c 若存在n 個閉合回路，一般至少要多補充n 個多余的

15、方程，其中圖中那些方向已知的力的信息必須加以利用，比如向其垂線投影。若不用此信息，此題一般無法求解，因為正是此信息才決定該結構不是其他結構，只有解題時體現(xiàn)其特殊性問題才能求解。 、如何用一個方程解一個未知量：（1）向不待求未知量垂線投影 （2）在不待求未知量交點處取矩問題3：平面桁架關鍵問題有哪些？ 答：解題方法1）-個獨立方程能且只能列截面法：平面任意力系個獨立方程。能且只能列節(jié)點法：匯交力系322）先找出零力桿。3）（從整體 到 局部）先看整體能求出幾個未知量（備用）, 找出零力桿 4）再從局部出發(fā)，一般先采用截面法。采用截面法應從以下原則入手：a ）一次截出3個未知量（因為平面任意力系最

16、多只能列出3個方程）, 并最大限度包含待求未知量（目的是使方程個數(shù)最少）。b ）在使用截面法，截出3個未知量后，若求其中一個未知量，則另2個未知量要么平行，要么相交。則可解出一個未知量盡量一個方程取矩對不待求未知量匯交點影對不待求未知量垂線投 5）注意零力桿判別二 典型習題以下通過例題來演示上述介紹的方法。 （一）平面任意力系例題【例1】如圖. 各處光滑，不計自重。結構尺寸如圖，C 、E 處為鉸接；已知：P = 10 kN ，M = 12 kNm。求A 、B 、D 處的支座反力。 解法提示： 總共5個？，先對整體3個方程，再從局部（順藤摸瓜）補充2個方程:【DE 桿】EM0=, 【BC 桿】C

17、 M 0=。答案:FD=12KN,FAX=-6KN,FAY=1KN,FBX=2KN,FBY=5KN 【說明】何锃課后習題2.14與此類似解法?！纠?】如圖. 各處光滑，不計自重。靜定剛架尺寸如圖所示，作用有分布力和集中力，集中力作用在銷釘C 上。 1）求銷釘C 對AC 桿的約束力。 解法提示： 總共2個？，先對整體3個方程沒用，故從局部（順藤摸瓜）補充2個方程即可:【銷釘C+BC桿】BM0=, 【AC 桿不帶銷釘C 】A M 0=。答案:FCAX=-10KN,FCAY=-10KN2）若僅求銷釘C 對B C 桿的約束力。與上述類似，【銷釘C+AC桿】AM0=,【BC 桿不帶銷釘C 】BM0=。3

18、）若僅求A 約束力?！続C 桿】CM 0=, 【AC+BC】B M 0=。 4）若僅求B 約束力?！綛C 桿】CM0=, 【AC+BC】A M 0=。4）若同時求A 、B 約束力?？偣?個？，先對整體3個方程，再從局部（順藤摸 瓜）補充1個方程即可:如【BC 桿】CM0=?；颉続C 桿】CM0=，有人問，那為什么不可將這幾個方程同時列出呢？因為那樣將有5個方程解4個未知量，沒必要。【說明】哈工大第6版課后習題3-12,3-13,3-26,3-29與此類似解法。 3-29改編:1 僅求A 的約束反力。 解法提示： 總共3個？，按順藤摸瓜法，盡量不引入不待求未知量，補充3個方程即可:先整體，【AB

19、CD 】DM0=, 再局部【AB 】B M 0=, 【ABC 】C M 0=,2）若僅求B 對AB 約束力。局部，取【AB 】將引入不待求未知量MA, 故【帶銷釘B+BC桿】CM0=, 【帶銷釘B+BCD桿】D M 0=.【例3】由何锃例2.7改編; 如圖. 均質小車重P ，如圖所示放在組合梁ACB 上，BD 桿上作用形狀為直角三角形、強度為q 的分布力；桿重不計，求支座A 、D 的反力。 解法提示： 總共5個？，先對整體3個方程, 再從局部（順藤摸瓜）補充2個方程，但因為小車與AC 、CB 形成閉合回路，不可避免引入CB 與小車間F K , 故需補充3個方程:【BD 桿】BM0=, 【CBD

20、 】C M 0=。【小車】H M 0=。答案:MA=GL-Ga,FAX=ql/3+Ga/(2L）,FDX= ql/6+Ga/(2L）,FDY= Ga/(2L） 【說明】哈工大第6版課后習題3-11; 何锃課后習題2.11與此類似解法?！纠?】結構及其尺寸、載荷如圖。已知Q = 1000 N，P = 500 N，力偶矩m = 150 Nm 。 1）求銷釘B 對桿BC 的作用力。 解法提示： 總共2個？，先對整體3個方程沒用，故從局部（順藤摸瓜）補 充2個方程即可:【不帶銷釘B 的BC 桿】CM0=, 【不帶銷釘B 的BC 桿+輪C+繩+Q+DC桿】DM0=。答案:FBCX=500N,FBCY=5

21、00N.2）若僅求B 對桿BA 的作用力。與上述類似，但須引入FA ，【整體】BM=，局部（順藤摸瓜）補充2個方程?！静粠тN釘B 的BA 桿】D M 0=, 【不帶銷釘B 的BA 桿+ DC 桿】CM0=. 為了得到FA, 。3）若僅求銷釘C 對桿D C 的作用力。與上述1 類似，總共2個？，先對整體3個方程沒用,故從局部（順藤摸瓜）補充2個方程?！綛D 桿】D M 0=【BC 桿+輪C+繩+Q】B M 0=。4）若僅求銷釘C 對桿B C 的作用力。與上述1 類似，總共2個？，先對整體3個方程沒用,故從局部（順藤摸瓜）補充2個方程。【BC 桿】B M 0=【DC 桿+輪C+繩+Q】D M 0=

22、。5）若僅求銷釘D 對桿DC 的作用力。與上述1 類似，總共2個？，先對整體3個方程沒用, 故從局部（順藤摸瓜）補充2個方程?！綝C 桿】CM0=, 【BC 桿+輪C+繩+Q+DC桿】B M 0=【說明】何锃課后習題2.12與此類似解法【例5】如圖. 構架ABC 由三桿AB 、AC 和DF 組成，桿DF 上的銷子E 可在桿AB 光滑槽內滑動，構架尺寸和載荷如圖示，已知2400 Nm m =，200 NP =，試求固定支座B 和C 的約束反力。 解法提示： 總共4個？，先對整體3個方程, 再從局部（順藤摸瓜）補充1個方程，但因為AEG 形成閉合回路，不可避免引入F E , 故需補充2個方程:【B

23、A 桿】AM0=, 【DF+AC】GM0=。 共5個方程即可。答案:FBX=-325N,FBY=-400N,FCX=325N,FCY=600N 若僅求G 對EF 的作用力？總共2個？，【DF 】3個方程，三個？，故不需對整體，局部【EF 桿】GM=，沿AB方向，F(xiàn)=0.【說明】1 哈工大第6版課后習題3-20與此類似解法。 2）何锃課后習題2.21. 與此類似解法。2.21 物體重12 kNQ =，由桿AB 、BC 和CE 組成的支架和滑輪E 支持如圖示，已知2 mAD BD =，1.5 mCD DE =，不計桿與滑輪的重量，求支座A 的約束力以及BC的內力。 解法提示： 總共3個？，先對整體

24、2個有用方程, 盡量不引入F B , 【整體】BM0=, X 0=，再從局部（順藤摸瓜）補充1個方程，【CE 】D M 0=, 共3個方程即可。若僅求D 對CE 的作用力？用兩個方程。 【例6】哈工大第6版課后習題3-19: 解法提示： 總共6個？，先整體列2個方程. 順藤摸瓜，局部，AB可列3個獨立方程，再補充1個，【DF 】EM0=。思考：如下解法正確嗎？為什么？總共6個？， 因為AB包含所有未知力，取AB可列3個獨立方程，還差3個。按順藤摸瓜法，【整體】C M 0=, 【DF+AC】C M 0=，【DF 】E M 0=。 共6個方程即可。答案:FAX=0,FAY=-M/2a,FDX=0,

25、FDY=M/a,FBX=0,FBY=-M/2a. 【說明】1 哈工大第6版課后習題3-24與此類似解法： 解法提示： 總共5個？， 因為AB 包含所有未知力，取AB可列3個獨立方程，還差2個。按順藤摸瓜法，【整體】EM0=, 【DB 】D M 0=。 共5個方程即可?！纠?】 AB、AC 、BC 、AD 四桿連接如圖示。水平桿AB 上有鉛垂向下的力P 作用。求證不論P 的位置如何，AC 桿總是受到大小等于P 的壓力。（只允許列三個方程求解）。 解法提示：求F AC ，但F AC 與AD、AB相關，單獨分別取AD或AB，必將引入A 點AD 或AB 的作用力，不能直接求出F AC 。按順藤摸瓜法，

26、為了不引入A 點AD 或AB 的作用力，故取DAB,則將在點B 、D 、 E引入未知力。而E 點力最多，故【DAB 】EM0=。對引入的F B 、F D ，再次把其當作待求量，按順藤摸瓜法， 得到【BA 桿】AM0=, 【整體】C M 0=。共3個方程即可。【補充】如何用4個方程求E 處作用力？【解】除了上述2個外，補充【AD 】:AM=;（2）BC;CM0=【思考】:(1如何用4個方程求CB的C 處作用力？（2） 如何用4個方程求AD的A 處作用力？（3）為什么需要4個？答：若僅BC 則1個閉合回路，再加上AD, 則2個閉合回路，外加待求的2個未知力。故需要4個方程。 【例8】 解法提示：

27、總共2個？，但因為DGC 形成1個閉合回路，不可避免引入F B , 故需列3個方程:按順藤摸瓜法，【DCB 】CM0=, 【DCB+FC】E M 0=，【整體】A M 0=。 共3個方程即可。答案:FDX=37.5N,FDY=75N注：一般串聯(lián)結構可以幾個？就列幾個方程；并聯(lián)結構則可能引入不待求量?！纠?】組合結構的荷載及尺寸如圖，長度單位為m ，求支座反力及二力桿1，2，3，4的內力。 解法提示： 總共7個？，先對整體3個方程, 可求出支座反力。再從局部（順藤摸瓜）補充4個方程。因為二力桿1，2，3，4與DE 相關，故取【DE 桿】可列3個方程，再補充一個即可。同樣，順藤摸瓜，取【3，4+C

28、B桿】: CM0=.（二）平面桁架例題 【例1】 解法提示： 按解題套路，先去除CE上部所有的的0桿，DE為0桿（去掉）?！厩袛郃D 、CD 、CF ，取右邊部分】：BM0=。答案:FD =2F 【例2】桁架由邊長為a 的等腰直角三角形為基本單元構成，已知外力110F = kN，2320F F = kN。求4、5、7、10各桿的內力。 解法提示： 按解題套路，先由整體得到F B , 盡量用最少方程求解。故 整體;0=AM【切斷4、5、6，取右邊部分】：KM0=得到F4, Y 0=得到F5.【切斷6、7、8，取右邊部分】：Y 0=得到F7. 【切斷8、9、10，取右邊部分】：GM=得到F10.答

29、案:F4=21.83KN,F5=16.73KN,F7=-11.83KN,F10=51.83KN.【例3】哈工大第6版課后習題3-38。求1、2、3桿的內力 解法提示： 按解題套路，先去除AE左邊所有的的0桿，再盡量用最少方程（3個）求解。故【切斷AB 、3、FB ，取上邊】：KM=得到F2, 由點F 得到F1,F2.答案:F1=-4F/9,F2=-2F/3,F3=0.【說明】1 哈工大第6版課后習題3-37與此相同。3-34，3-36類似解法：2若求F AB ,F BC ,F3,(何锃課后習題2.17(b,與此類似：求出F BF 和地面對B 點的力后，用節(jié)點法即可求得F AB ,F BC 【例

30、2。18何锃】（三）其他題型答：應用合力矩定理求合力作用線方程?！纠?】何锃例題2.2. 如圖平衡系統(tǒng)中，大小相同的矩形物塊AB 和BC 上分別作用力偶1M 、2M ，12M M M =。不計重力，求支座A 、C 的約束力。 解法提示：1 若按一般常規(guī)方法，A 、C 點總共4個？，先對整體3個方程, 再對【AB 桿】:BM0=。此方法與以前方法一樣，思路清晰，故本書推薦此法。2）方法2:利用二力平衡，確定F A 、F C 方向, 再用力偶平衡理論作。此方法不易想到，僅對特殊題目適用?！纠?】合力作用線方程，何锃例題2.4. 如圖的平面一般力系由力123, , F F F 和力偶M 組成，已知各

31、力173N F =，2100N F =，3200N F =，匯交點A 的坐標為(5,5，單位為m ，力偶矩400Nm M =。求該力系的合力作用線方程。 解略。三 其他類似典型習題（若讀者對上述方法已很熟練，可跳過此部分）（一）平面任意力系（來自哈爾濱工業(yè)大學理論力學（第七版）課后題）【1】 3-19 構架由桿 AB ，AC 和 DF 鉸接而成，如圖 3-19a 所示，在桿 DEF 上作用 1 力偶矩為 M 的力偶。各桿重力不計，求桿 AB 上鉸鏈 A ，D 和 B 受力。解法提示：求桿 AB 上鉸鏈 A ，D 和 B 的共6個未知力，故需列6個方程。 按解題套路，【先整體：3個方程，未引入新

32、的未知量一個Fc 可貢獻2個方程，0=CM, 0=X 】，【再AB:3個方程包含所有待求力，未引入新的未知量，均可用】，【再DF:0=EM】【2】 3-20 構架由桿 AB ，AC 和 DF 組成，如圖 3-20a 所示。桿 DF 上的銷子 E 可在桿 AC 的光滑槽內滑動，不計各桿的重量。在水平桿 DF 的一端作用鉛直力 F ，求鉛直桿 AB 上鉸鏈 A ，D 和 B 受力。解法提示：求桿 AB 上鉸鏈 A ，D 和 B 的共6個未知力，故需列6個方程。 按解題套路，【先整體：3個方程，未引入新的未知量2個（C 處），可貢獻1個方程，0=CM, 】，【再AB:3個方程包含所有待求力，未引入新

33、的未知量，均可用】， 【再DF ：未引入新的未知量1個（F E ），可貢獻2個方程:0=EM, (0E F =】【說明】:E處力的方向已給，一般必須利用此信息，否則，題目信息不足，無法求解（在【方法中已提到】） 【2】 3-21 圖 3-21a 所示構架中，物體重 P=1 200 N，由細繩跨過滑輪 E 而水平系于墻上， 尺寸如圖。不計桿和滑輪的重力，求支承 A 和 B 的約束力，以及桿 BC 的內力 。解法提示：求四個個未知力，故需列4個方程。 按解題套路， 【先整體：3個方程】【再CE+輪E:3個方程包含D 處2個新的未知量，可貢獻1個方程：0=DM】【3】 3-26 圖 3-26a 所示

34、結構由直角彎桿 DAB 與直桿 BC 、CD 鉸鏈而成，并在 A 處與 B 處用固定鉸支座和可動鉸支座固定。桿 DC 受均布載荷 q 的作用，桿 BC 受矩為 M = qa 的力偶作用。不計各構件的自重。求鉸鏈 D 受力。 解法提示：求2個個未知力，故需列2個方程。 按解題套路， 【先整體：3個方程, 自身有3個未知力，無用】 【再DC:0=CM】, 【再DCB:0=B M 】【4】 3-28 圖 3-28a 所示結構位于鉛垂面內，由桿 AB ，CD 及斜 T 形桿 BCE 組成，不計各桿的自重。已知載荷 F 1 ， F 2 和尺寸 a ，且 M = F 1a ， F 2 作用于銷釘 B 上，

35、求：（1）固定端 A 處的約束力；（2）銷釘 B 對桿 AB 及 T 形桿的作用力。 解法提示：(1若僅求固定端 A 處的約束力，3個個未知力，故需列3個方程。 按解題套路，【AB ：0=BM,【再ABC:0=C M 】, 【再ABCD:0=D M 】(2若僅求銷釘 B 對桿 AB 桿的作用力，2個未知力，故需列2個方程。 按解題套路，順藤摸瓜?！続B ：0=AM, 不行，因為A 處有無法消除的未知力偶矩M,故【銷釘B+BC:0=C M 】, 【再銷釘B+BC+CD:0=D M 】(3若僅求銷釘 B 對T 形桿的作用力，2個未知力，故需列2個方程。 按解題套路，【BC(無銷釘B:0=CM】,

36、【再BC+CD(無銷釘B:0=D M 】【5】 3-29 圖 3-29a 所示構架，由直桿 BC ，CD 及直角彎桿 AB 組成，各桿自重不計，載荷分布及尺寸如圖。銷釘 B 穿透 AB 及 BC 兩構件，在銷釘 B 上作用 1 鉛垂力 F 。已知 q ，a ， M ，且 M = qa 2 。求固定端 A 的約束力及銷釘 B 對桿 CB ，桿 AB 的作用力。解法提示：(1若僅求固定端 A 處的約束力，3個個未知力，故需列3個方程。 按解題套路，【AB ：0=BM,【再ABC:0=C M 】, 【再ABCD:0=D M 】(3若僅求銷釘 B 對桿 AB 桿的作用力，2個未知力，故需列2個方程。

37、按解題套路，順藤摸瓜。【AB ：0=AM, 不行，因為A 處有無法消除的未知力偶矩M,故【銷釘B+BC:0=C M 】, 【再銷釘B+BC+CD:0=D M 】(2若僅求銷釘 B 對CB 形桿的作用力，2個未知力，故需列2個方程。 按解題套路，【BC(無銷釘B:0=CM】, 【再BC+CD(無銷釘B:0=D M 】說明：可以看出，按本文的解題思路，此題解法與上題幾乎完全一樣。【6】 3-30 由直角曲桿 ABC ，DE ，直桿 CD 及滑輪組成的結構如圖 3-30a 所示，桿 AB 上作用有水平均布載荷 q 。不計各構件的重力，在 D 處作用 1 鉛垂力 F ，在滑輪上懸吊一重為 P 的重物，

38、滑輪的半徑 r = a ，且 P = 2F ， CO = OD 。求支座 E 及固定端 A 的約束力。說明：可以看出，該題實際上就是前文【例3】演變而來。方法自然同【例3】。實際上，讀者只需作幾道典型問題，其他題目進圖形表面不同而已，按本文的扥分析思路，將發(fā)現(xiàn)其實際是相同的。如上述幾題。 前文例3圖 【7】 3-31構架尺寸如圖 3-31a 所示（尺寸單位為 m ），不計各桿的自重，載荷 F = 60 kN 。 求鉸鏈 A ，E 的約束力和桿 BD ，BC 的內力。解法提示：6個未知力，列6個方程即可。【整體】、【AB 】、【EC 】，每個均可列3個方程，3選2即可?！菊f明】(1若僅求桿 BD

39、 ，BC 的內力，2個未知力，故需列2個方程。 按解題套路，【AB ：0=AM,【再EC:0=E M 】【8】 3-32構架尺寸如圖 3-32a 所示（尺寸單位為 m ），不計各構件自重，載荷 F 1 = 120 kN ， F 2 = 75 kN 。求桿 AC 及 AD 所受的力。解法提示：2個未知力，列2個方程, 但因為閉合回路，且D 處力方向一致，一般需利用，故列3個方程。【整體：0=AM】, 【AD+AC+CD：0=C M 】, 【AD+AC+CD+BC：0=B M 】, 【9】 3-32構架尺寸如圖 3-32a 所示（尺寸單位為 m ），不計各構件自重，載荷 F 1 = 120 kN

40、， F 2 = 75 kN 。求桿 AC 及 AD 所受的力。解法提示：2個未知力，列2個方程, 但因為閉合回路，且D 處力方向一致，一般需利用，故列3個方程。【整體：0=AM】, 【AD+AC+CD：0=C M 】, 【AD+AC+CD+BC：0=B M 】,（二）平面桁架（來自哈爾濱工業(yè)大學理論力學（第七版）課后題）【1】 3-19 構架由桿 AB ，AC 和 DF 鉸接而成，如圖 3-19a 所示，在桿 DEF 上作用 1 力偶矩為 M 的力偶。各桿重力不計，求桿 AB 上鉸鏈 A ，D 和 B 受力。解法提示：求桿 AB 上鉸鏈 A ，D 和 B 的共6個未知力，故需列6個方程。 按解

41、題套路，【先整體：3個方程，未引入新第3章 空間力系的簡化和平衡一 問題問題1：本章應注意問題有哪些？ 答：力偶的合成方法；空間力系最終簡化結果； 力螺旋；如何選取合適的軸對其取矩 問題2：一般解題方法是什么？答：a 對軸而不是對點取矩（說明：平面問題的對點取矩實際上也是對軸取矩）b 選取軸AB 的原則二 典型習題以下通過例題來演示上述介紹的方法。 【例1】力對任意軸的矩問題。何锃例題3.3.長方體各邊長分別為0.2 m, 0.1 ma b c =，沿對角線AB 作用的力F =。求力F 對軸 之矩。解：因為 軸通過O 點，因此我們先求力F 對O 點之矩( O M F 。A 點；未知力最多的匯交

42、點，B 點： B點為其他未知力最多的匯交點或AB ，使其他未知力最多的與AB 平行0.20.10.1 201010AB F AB =-+=-+F i j k i j k 0.20.1OA =+i j 力F 對O 點之矩為( 0.20.120101024O OA =-=-+ij k M F F i j k因此，力F 對軸 之矩為( ( Nm5O O OC M OC =+=M F M F i k 【例2】求合力偶問題問題。何锃課后習題3.7.將圖示三力偶合成。已知123456100 NF F F F F F =，正方體每邊長1 mL =。 解法提示：1 若按一般萬能方法，無論力偶在何任意面上，通過

43、平面3點坐標，得到平面的平面方程，由此得到該平面的法向單位矢量i ，則該平面的力偶矩i i i =±。再將各i 的各分量相加即可。 比如OAB 平面，由 得到OAB 平面方程Ax+By+Cz+D=0,則 OAB 的順序，用右手安培定則確定。2）具體針對此題，用空間解析幾何的其他方法將更簡單。但因為上述方法對任意力偶合成均適用，故推薦使用此法。【說明】何锃課后習題3.8，3.113.13，解法與此類似。【例3】空間力系平衡問題。哈工大第6版例題4-10. 已知各尺寸，求F4,F5,F6.F1,F2,F3. 解法提示：1）根據(jù)解題方法，因為A 點不待求未知量最多，故先確定A 點，則1，2

44、，3的力矩為0。再確定B 點，4，5的力矩為0，故對AB ：ABM0=得到F6. 類似找到AE ，AEM0=，得到F5。AD M 0=，得到F6。盡量依次選用x,y,z 三個方向，這樣不容易遺漏，且計算力臂簡單，盡量避免對AF 之類取矩，那樣力臂計算復雜。2）A 點使用完后，再找不待求未知量第2多點，有幾個，選取F 點，盡量依次選用x,y,z 三個方向，即可求得F1,F2,F3.實際求得3個力后，用x,y,z 三個方向力的投影即可求得另外3個力。不過，本書推薦全部使用對軸取矩法?！菊f明】何锃課后習題3.16，哈工大第6版課后習題4-18，4-19，4-20. 解法與此類似?！尽?4-20 2

45、個均質桿 AB 和 BC 分別重 P 1 和 P 2，其端點 A 和 C 用球鉸固定在水平面上，另1 端 B 由球鉸鏈相連接，靠在光滑的鉛直墻上，墻面與 AC 平行，如圖 4-20a 所示。如 AB 與水平線交角為 45°， BAC = 90 求 A 和 C 的支座約束力以及墻上點 B 所受的壓力 第4章 摩擦一 問題問題1：本章難點是什么？ 答：1）自鎖問題2）解題方法對非臨界狀態(tài)，把摩擦力當未知力，用任意力力系方法求解即可 先排除不可能的臨界狀態(tài)列出的即將動的臨界狀態(tài) 對每一種基本組合，在假設的運動狀態(tài)下確定達到臨界狀態(tài)的面的摩擦力的方向和大小，其他的未假設的面上摩擦力大小及指向

46、與正壓力無關，當作未知量（大小，指向均未知） 問題2：解摩擦問題的解題思路是什么？ 解題步驟：一、若選取對象只在3點處受力（結合三力匯交定理），則可用幾何法（應用摩擦角），否則用解析法； 二、用解析法解題步驟1先看系統(tǒng)總共有多少個未知量n 1，及能列出多少個獨立方程n 22若=12n n 非臨界狀態(tài)，用任意力系方法做（把摩擦力當作與正壓力FN 無關的量） 3若121=-n n ，則需補充一個方程（能且只能）（即使存在多個摩擦面） 補充方程來源 4其中一個摩擦面達到臨界存在4種可能（摩擦力向左、右，滾阻為逆時針、順時針）。 考慮4種可能之前，排除不可能情形 5差2個方程時，列出所有基本, 可能的

47、兩兩組合后， 先一個摩擦面 兩個摩擦面 列出所有可能 的臨界狀態(tài)組合 基本理論直覺a 排除不可能組合b 確定摩擦力方向滾阻6若集合b 已被集合a 包含，則不考慮集合b, 僅討論集合a 即可。 9再對剩下的組合根據(jù)假設，在假設的摩擦力方向下，一一求解即可。二 典型習題以下通過例題來演示上述介紹的方法?！纠?】利用摩擦角解題。 哈工大第6版課后習題5-6. 何锃課后習題4.1.3。 若楔子兩側面與槽之間的摩擦角均為s ，則欲使楔子被打入后而不致自動滑出，角應為多大？ 解法提示：利用摩擦角。答案：2s 【說明】何锃課后習題4.7解法與此類似。 【例2】應用解析法解題。 何锃課后習題4.9。均質長方體

48、A ，寬1m 、高2m 、重10 kN，置于30的斜面上，摩擦系數(shù)8. 0=f ，在長方體上系一與斜面平行的繩子，繩子繞過一光滑圓輪，下端掛一重Q 的重物C ，求平衡時重量Q 的范圍。 解法提示：按照上述解析法解題步驟1先看系統(tǒng)總共有多少個未知量n 1，及能列出多少個獨立方程n 2A 處：2個，繩：1個，輪B ：2個，+Qc,共計6個。方程：A 處：2個，輪B ：3個。故盡管有2個摩擦面，但僅需由摩擦條件補充1個臨界方程。2補充1個臨界方程來源：A 處：（E 處摩擦力任意，A 摩擦力到臨界，但只能向左，有F As =fFAN ）. (第1種可能 E 處：（A 處摩擦力任意，E 摩擦力到臨界，可

49、能向左，可能向右。F Es =fFEN ）.(2種可能 在這3種可能中，第1種可能已包含了：E 摩擦力到臨界，向左。故知討論2種基本的可能臨界了。在所假設的臨界條件下，補充一個摩擦力與正壓力關系方程即可求解了。其求解方法仍同靜力學，盡量不要引入新的未知量，盡量用1個方程即可求出一個未知量。 3）至于B 可能脫離地面情況，對B通過對K 取矩，即可排除這是不可能的。4）A 、E 處摩擦力同時達到臨界的情形，必然包含于上述2種基本情形之中。不用單獨討論。 【具體解法】：1）A 摩擦力到臨界，向左，有F As =fFAN （1） 整體:EM 0=. 在對A 求出F AN . 即可求得Q 。2）E 摩擦

50、力到臨界，向右，有F Es =fFEN 整體:AM0=.整體除去A 的剩余部分:kM0=. 即可求得Q 。3）比較大小，得到范圍?！菊f明】1）何锃課后習題4.10解法與此類似。 何锃課后習題4.10圓柱重G ，放在傾角30=的斜面上，由一直角彎桿擋住，如圖所示。圓柱各處摩擦系數(shù)均為f ，不計桿重。求向上拉動彎桿所需的最小力min P 解法提示：按照上述解析法解題步驟 1系統(tǒng)僅需由摩擦條件補充1個臨界方程。 2補充1個臨界方程來源：A 處：（B 處摩擦力任意，A 摩擦力到臨界，依題意只能向上，有F As =fFAN ）. (第1種可能 B 處：（A 處摩擦力任意，B 摩擦力到臨界，只能向下。F

51、Es =fFEN ）.(第2種可能在這2種可能中，互不完全包含。故要分別討論。其求解方法仍同靜力學，盡量不要引入新的未知量，盡量用1個方程即可求出一個未知量?！揪唧w解法】：1）A 摩擦力到臨界，向上，有F As =fFAN （1） 輪C:BM0=.(2AD:X 0=.(3 得到P1.2）B 摩擦力到臨界，向下，有F bs =fFbN （1） 輪C:AM0=.(2整體:X 0=.(3 得到P1.3）比較大小，得到范圍。2）哈工大第6版課后習題5-15，對輪C ，分別利用對地面、AB 與C 的接觸面取矩，從而確定出各摩擦面的摩擦力方向后，剩下的臨界可能性就少多了。哈工大第6版課后習題5-18，解法

52、與此類似。【例3】應用解析法解題。 何锃課后習題4.9。 *5-15 重為 P 1 = 450 N 的均質梁 AB 。梁的 A 端為固定鉸支座，另 1 端擱置在重 642 F F s ' 1 = 240 NW 2 = 343 N 的線圈架的芯軸上，輪心 C 為線圈架的重心。線圈架與 AB 梁和地面間的靜滑動摩擦因數(shù)分別為 f s1 = 0.4 ， f s2 = 0.2 ，不計滾動摩阻，線圈架的半徑 R = 0.3 m ，芯軸的半徑 r = 0.1 m 。在線圈架的芯軸上繞 1 不計重量的軟繩，求使線圈架由靜止而開始運動的水平拉力 F 的最小值。 解法提示：按照上述解析法解題步驟1先看系

53、統(tǒng)總共有多少個未知量n 1，及能列出多少個獨立方程n 2 盡管有2個摩擦面，但僅需由摩擦條件補充1個臨界方程。 2補充1個臨界方程來源：D 處：（E 處摩擦力任意，D 摩擦力到臨界2種可能. 但對輪C:對E 點取矩，排除了摩擦力向左。（第1種要討論的情形）E 處：（D 處摩擦力任意，E 摩擦力到臨界2種可能. 但對輪C:對D 點取矩，排除了摩擦力向右。（第2種要討論的情形）3 .故只需討論2種情形。在第1種要討論的情形中，為了不引入E 處2個未知力，【輪C:0=EM】【AB:0=A M 】，再補充D 處摩擦條件方程即可。在第1種要討論的情形中，為了不引入D 處2個未知力，【輪C:0=DM】【整

54、體:0=A M 】，再補充E 處摩擦條件方程即可。第5章 點的運動學和剛體的基本運動 一 問題問題1：點的運動的主要知識點是什么？ 答：直角：22( (y x y x y x a a a a a v v t y y t x x += 矢徑：dtrd V =弧坐標：222 (, (t n t n t a a a pV a dt t dv a dtdsV +=問題2：點的運動難點是什么？答：如何由X(t,Y(t求t 時刻曲率半徑。 切向加速度，全加速度 問題3 剛體簡單運動1）平動：在同一瞬時，各點a v, 一樣，且0,0=w ，在其他任意時刻，盡管a v, 可能與上一時刻不同，但在同一時刻，各點a v, 一樣，且0, 0=w ，機構特點為平行四邊形。而瞬時平動，僅在此瞬時，各點v一樣，且0=w 。機構特點:只要此時某一剛體上有兩點的速度平行，且與兩點連線不垂直。2）定軸：=2Rw a R a wR V n t 矢量表示法A r W A V =（A r 起點必須為為 向量上任一點）W二 典型習題以下通過例題來演示上述介紹的方法?！纠?】由X(t,Y(t求t 時刻曲率半徑。 哈工大第6版例題6