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文檔簡介
1、數(shù)字的整除特性1我們已學(xué)過奇數(shù)與偶數(shù),我們正是以能否被2整除來區(qū)分偶數(shù)與奇數(shù)的。因此,有下面的結(jié)論:末位數(shù)字為0、2、4、6、8的整數(shù)都能被2整除。偶數(shù)總可表為2k,奇數(shù)總可表為2k1(其中k為整數(shù))。2末位數(shù)字為零的整數(shù)必被10整除。這種數(shù)總可表為10k(其中k為整數(shù))。3末位數(shù)字為0或5的整數(shù)必被5整除,可表為5k(k為整數(shù))。4末兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)能被4(25)整除的整數(shù)必被4(25)整除。如1996190096,因為100是4和25的倍數(shù),所以1900是4和25的倍數(shù),只要考察96是否4或25的倍數(shù)即可。能被25整除的整數(shù),末兩位數(shù)只可能是00、25、50、75。能被4整除的整數(shù),末
2、兩位數(shù)只可能是00,04,08,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56,60,64,68,72,76,80,84,88,92,96,不可能是其它的數(shù)。5末三位數(shù)字組成的三位數(shù)能被8(125)整除的整數(shù)必能被8(125)整除。由于10008×125,因此,1000的倍數(shù)當(dāng)然也是8和125的倍數(shù)。如判斷765432是否能被8整除。因為765432765000432顯然8|765000,故只要考察8是否整除432即可。由于4328×54,即432能被8整除,所以765432能8被整除。能被8整除的整數(shù),末三位只能是000,008,016,024,9
3、84,992。由于125×1125,125×2250,125×3375;125×4500,125×5625;125×6750;125×7875;125×810000故能被125整除的整數(shù),末三位數(shù)只能是000,125,250,375,500,625,750, 875。6各個數(shù)位上數(shù)字之和能被3(9)整除的整數(shù)必能被3(9)整除。如478323是否能被3(9)整除?由于4783234×1000007×100008×10003×1002×1034×(99999
4、1)7(99991)8×(9991)3×(991)2×(91)3(4×999997×99998×9993×992×9)(478323)前一括號里的各項都是3(9)的倍數(shù),因此,判斷478323是否能被3(9)整除,只要考察第二括號的各數(shù)之和(478323)能否被3(9)整除。而第二括號內(nèi)各數(shù)之和,恰好是原數(shù)478323各個數(shù)位上數(shù)字之和。47832327是3(9)的倍數(shù),故知478323是3(9)的倍數(shù)。在實際考察478323是否被3(9)整除時,總可將3(9)的倍數(shù)劃掉不予考慮。即考慮被3整除時,劃去7、2、3、
5、3,只看48,考慮被9整除時,由于729,故可直接劃去7、2,只考慮4833即可。如考察9876543被9除時是否整除,可以只考察數(shù)字和(9876543)是否被9整除,還可劃去9、54、63,即只考察8如問3是否整除9876543,則先可將9、6、3劃去,再考慮其他數(shù)位上數(shù)字之和。由于3整除(8754),故有3整除9876543。實際上,一個整數(shù)各個數(shù)位上數(shù)字之和被3(9)除所得的余數(shù),就是這個整數(shù)被3(9)除所得的余數(shù)。7一個整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差如果是11的倍數(shù),那么這個整數(shù)也是11的倍數(shù)。(一個整數(shù)的個位、百位、萬位、稱為奇數(shù)位,十位、千位、百萬位稱為偶數(shù)位。)如判斷425
6、59能否被11整除。425594×100002×10005×1005×1094×(99991)2×(10011)5(991)5×(111)9(4×99992×10015×995×11)(42559)11×(4×9092×915×95)(42559)前一部分顯然是11的倍數(shù)。因此判斷42559是否11的倍數(shù)只要看后一部分42559是否為11的倍數(shù)。而42559(459)(25)恰為奇數(shù)位上數(shù)字之和減去偶數(shù)位上數(shù)字之和的差。由于(459)(25)11
7、是11的倍數(shù),故42559是11的倍數(shù)?,F(xiàn)在要判斷7295871是否為11的倍數(shù),只須直接計算(1897)(752)是否為11的倍數(shù)即可。由251411知(1897)(752)是1的倍數(shù),故11|7295871。上面所舉的例子,是奇數(shù)位數(shù)字和大于偶數(shù)位數(shù)字和的情形。如果奇數(shù)位數(shù)字和小于偶數(shù)位數(shù)字和(即我們平時認為“不夠減”),那么該怎么辦呢?如867493的奇數(shù)位數(shù)字和為346,而偶數(shù)位數(shù)字和為978。顯然346小于978,即13小于24。遇到這種情況,可在1324這種式子后面依次加上11,直至“夠減”為止。由于1324110,恰為11的倍數(shù),所以知道867493必是11的倍數(shù)。又如73829
8、2的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差為(223)(987)72472411115(加了兩次11使“夠減”)。由于5不能被11整除,故可立即判斷738292不能被11整除。實際上,一個整數(shù)被11除所得的余數(shù),即是這個整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差被11除所得的余數(shù)(不夠減時依次加11直至夠減為止)。同學(xué)們還會發(fā)現(xiàn):任何一個三位數(shù)連寫兩次組成的六位數(shù)一定能被11整除。如186這個三位數(shù),連寫兩次成為六位數(shù)186186。由于這個六位數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和為618,偶數(shù)位數(shù)字和為861,它們的差恰好為零,故186186是11的倍數(shù)。數(shù)位數(shù)字和為cab,偶數(shù)位數(shù)字和為bca,它們的差恰為零,象這樣由三位數(shù)
9、連寫兩次組成的六位數(shù)是否能被7整除呢?如186186被7試除后商為26598,余數(shù)為零,即7186186。能否不做186186÷7,而有較簡單的判斷辦法呢?由于186186186000186186×1000186186×1001而10017×11×13,所以186186一定能被7整除。這就啟發(fā)我們考慮,由于7×11×131001,故若一個數(shù)被1001整除,則這個數(shù)必被7整除,也被11和13整除。或?qū)⒁粋€數(shù)分為兩部分的和或差,如果其中一部分為1001的倍數(shù),另一部分為7(11或13)的倍數(shù),那么原數(shù)也一定是7(11或13)的倍
10、數(shù)。如判斷2839704是否是7的倍數(shù)?由于283970428390007042839×10007042839×100128397042839×1001(2839704)28397042135是7的倍數(shù),所以2839704也是7的倍數(shù);2135不是11(13)的倍數(shù),所以2839704也不是11(13)的倍數(shù)。實際上,對于283904這樣一個七位數(shù),要判斷它是否為7(11或13)的倍數(shù),只需將它分為2839和704兩個數(shù),看它們的差是否被7(11或13)整除即可。又如判斷42952是否被13整除,可將42952分為42和952兩個數(shù),只要看95242910是否被13整除即可。由于91013×70,所以13整除910,8一個三位以上的整數(shù)能否被7(11或13)整除,只須看這個數(shù)的末三位數(shù)字表示的三位數(shù)與末三位數(shù)字以前的數(shù)字所組成的數(shù)的差(以大減?。┠芊癖?(11或1
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