數(shù)學(xué)運(yùn)算的非線性哲學(xué)解讀—簡論模擬代數(shù)的數(shù)系問題

1、數(shù)學(xué)運(yùn)算的非線性哲學(xué)解讀說明：這是我擬在我的第二本書非線性哲學(xué)簡介中發(fā)表的一篇文章，供有興趣的朋友參考，歡迎大家批評指正！謝謝！在我的非線性哲學(xué)漫談一書中，有一篇“數(shù)系”的非線性哲學(xué)解讀，本文可以看做是該文的續(xù)篇。朋友：我們注意到你在“數(shù)系”的非線性哲學(xué)解讀一文中，分析了數(shù)系中自正整數(shù)出現(xiàn)后出現(xiàn)的數(shù)，都是在逆運(yùn)算中被創(chuàng)建的過程、原因、和相應(yīng)的哲學(xué)分析。按我們的理解，那篇文章你著重分析的是各類數(shù)，這篇文章，你著重要分析是各類運(yùn)算方法，是這樣嗎？商：是的。我在那篇文章中說了，數(shù)學(xué)是個嚴(yán)密的形式邏輯系統(tǒng)，但是作為一門實(shí)用的學(xué)科，數(shù)學(xué)無法避免面臨辯證現(xiàn)實(shí)。所以我認(rèn)為數(shù)學(xué)發(fā)展的根本動力，就是數(shù)學(xué)在發(fā)展中

2、不斷面臨的辨證現(xiàn)實(shí)，與數(shù)學(xué)嚴(yán)格遵循的形式邏輯之間的矛盾。因此我們可以這樣說，嚴(yán)密的形式邏輯是數(shù)學(xué)的生命，數(shù)學(xué)發(fā)展的過程，就是不斷用嚴(yán)密的形式邏輯，去處理蘊(yùn)含辨證矛盾系統(tǒng)的過程，由于形式邏輯不可能解決辨證矛盾，因此數(shù)學(xué)采用的是嚴(yán)格定義某公式或定理適用的區(qū)域，將系統(tǒng)離散化，把辨證矛盾嚴(yán)密隔離在“不適用、不規(guī)則、奇點(diǎn)”等區(qū)域內(nèi)而排除，使數(shù)學(xué)得以在嚴(yán)密遵循形式邏輯的前提下發(fā)展下去。因此，數(shù)學(xué)是典型的離散結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。但是辯證特征在數(shù)系中這些數(shù)上的反映，是無法用上述辦法隔離和排除的，因?yàn)樗鼈兪菙?shù)學(xué)的“基本粒子”，所以，辯證矛盾就不可避免的出現(xiàn)在這些“基本粒子”中，并在它們的集合數(shù)系中凸顯了！與數(shù)系一樣，數(shù)學(xué)

3、的運(yùn)算方法也是嚴(yán)密遵循形式邏輯的，數(shù)學(xué)的運(yùn)算方法，也是在解決數(shù)學(xué)面臨的辯證現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)嚴(yán)密遵循的形式邏輯之間的矛盾中，逐步發(fā)展的。如前面所說，數(shù)系中的數(shù)，是數(shù)學(xué)的基本粒子，而數(shù)學(xué)的運(yùn)算方法，是用嚴(yán)密的形式邏輯將這些基本粒子精確的組合成系統(tǒng)，并研究這些系統(tǒng)之間的相互關(guān)系或轉(zhuǎn)換規(guī)律，以達(dá)到運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的目的。數(shù)與運(yùn)算方法是同卵孿生兄弟，互相依存，精確對應(yīng)，共同發(fā)展。從哲學(xué)角度來分析一下數(shù)學(xué)中運(yùn)算方法的發(fā)展過程，有助于我們從更高的層面、更內(nèi)在的本質(zhì)、更完整的視角，來了解和把握數(shù)學(xué)這個思維工具，對于我們更好的理解和把握其他自然科學(xué)，有極其重要的意義。在我看來，數(shù)學(xué)從某種程度上講，就是其他學(xué)科

4、（特別是自然科學(xué)）的哲學(xué)，關(guān)鍵在于我們?nèi)绾稳ダ斫夂蛯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。目前中國教育領(lǐng)域占統(tǒng)治地位的應(yīng)試教育模式，最根本的問題，就是犯了方向性的錯誤學(xué)生學(xué)習(xí)的目的，應(yīng)該是正確理解和掌握各類思維工具的內(nèi)在本質(zhì)和相互關(guān)系，而不是死記硬背各種定律公式或具體習(xí)題的標(biāo)準(zhǔn)答案，下面我會用對數(shù)學(xué)運(yùn)算方法的哲學(xué)分析，來具體說明這個問題。朋友：目前中國社會的各個層次都已經(jīng)意識到中國教育的應(yīng)試模式帶來的嚴(yán)重問題，從上到下都在呼吁改變這個現(xiàn)狀，但是，由于中國教育的體量太大，應(yīng)試教育模式延續(xù)和發(fā)展的時間太長，無論從空間規(guī)模還是從時間規(guī)模來看，應(yīng)試教育的問題可以用一個成語來描述積重難返。商：你說得不錯。目前我國從教材、教育模式和考

5、核模式、教師隊(duì)伍、學(xué)校體制、家長意識、學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣都已經(jīng)適應(yīng)了長期占統(tǒng)治地位的應(yīng)試教育模式，要改變這種現(xiàn)狀，確實(shí)不是一天兩天就能解決問題的。從哲學(xué)角度看，內(nèi)因是決定因素，扭轉(zhuǎn)大家的觀念、意識、思維模式，是最重要和最有效的切入點(diǎn)。非線性哲學(xué)漫談一書出版后，教育界的朋友們反響非常大，我與他們討論后，大家一致認(rèn)為，目前去觸動整個教育體系，難度太大，因?yàn)檫@會使我們馬上面臨牽涉整個教育系統(tǒng)的復(fù)雜問題。所以當(dāng)務(wù)之急，是先編著一套面向教師和教育系統(tǒng)管理者的輔導(dǎo)教材，讓他們先改變觀念和思維模式，而不是先去編著一套全新的教材。朋友：我們也覺得這個思路是對的，事實(shí)上只要教育工作管理者和教師的觀念和思維模式回歸到正

6、確的道路上來，即使還在沿用原來的教材，教育的方式和效果也能得到很大的改變。商：是的。下面我就開始對數(shù)學(xué)的運(yùn)算方式進(jìn)行分析。人類在創(chuàng)建數(shù)的基本概念后，事實(shí)上運(yùn)算方式就同步產(chǎn)生了，有兩個事實(shí)能證明我的這個觀點(diǎn)。第一個事實(shí)就是我們用于計(jì)數(shù)的“進(jìn)制”。盡管人類在最初創(chuàng)建數(shù)的時候，數(shù)的“進(jìn)制”并不統(tǒng)一，不同的國家或同一個國家在不同的歷史時期，甚至同一個國家在同一個歷史時期，采用的數(shù)的進(jìn)制并不一樣，但是有一點(diǎn)是共同的，那就是用有限的數(shù)字，來表達(dá)無限的數(shù)，所以數(shù)字系統(tǒng)都有“進(jìn)制”的規(guī)定。以中國為例，在很長的歷史時期，十進(jìn)制和十六進(jìn)制的數(shù)系，都流行過，而且這兩種進(jìn)制是并行流行的，只是在不同的實(shí)用領(lǐng)域所分別采用

7、而已。事實(shí)上“進(jìn)制”本身就是一種運(yùn)算方式，用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來看，“進(jìn)制”就是一種指數(shù)運(yùn)算的特例，譬如十進(jìn)制的逢十進(jìn)一位，就是將處于低位的1乘以10以后，進(jìn)入高位，同樣是1這個數(shù)字，隨著它出現(xiàn)在不同的位置，它的位置數(shù)，就是乘以10的個數(shù)。用非線性哲學(xué)的觀點(diǎn)來看數(shù)的進(jìn)制，它就是分形系統(tǒng)，我來具體說明一下：我們用0到9的十個數(shù)字，來表達(dá)一切數(shù)。同一個數(shù)字處在一個數(shù)的不同的位置，表示不同的數(shù)值，但是這個數(shù)字本身并不因?yàn)榇淼臄?shù)值不同而有所改變，也不因所在位置的不同而有所改變，所以數(shù)字具有自相似性和標(biāo)度不變性的。譬如111這個數(shù)，每一位的數(shù)字是一樣的，但是它們表征的數(shù)值是不一樣的；在123123這個數(shù)中，前

8、三位的數(shù)字和排序和后面三位的數(shù)字和排序是一樣的，但是它們的數(shù)值相差了1000倍，也就是10的三次方（因?yàn)樗鼈兿嗖盍巳唬?，如果我們在這里借用“維度”的概念，我們可以說它們相差了3維，因?yàn)樵跀?shù)學(xué)運(yùn)算中，兩數(shù)相乘具有一維擴(kuò)展成兩維的含義（十進(jìn)制的一維就是10），譬如，10x10可以表達(dá)邊長為10的正方形的面積，是兩維的；10的三次方就是這個正方體的體積，是三維的只是我們在數(shù)值的計(jì)算中，忽略了維度的空間概念，所以，我們用一維的直線（實(shí)數(shù)軸），來“攤直”所有的維度，形成一種只有數(shù)值大小含義的“數(shù)學(xué)維度”，也就是把所有的維度都用一根直線上有嚴(yán)格次序的尺度來表達(dá)了，一個數(shù)每擴(kuò)大10倍，就是增加了一個維度，

9、在數(shù)軸上的表示，就是代表該數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，增加了一個相應(yīng)的長度。有趣的是，數(shù)軸上表示數(shù)值的刻度是均勻的，線性分布的，但是表示維度的長度卻是非線性的，不均勻分布的。譬如，10 是數(shù)學(xué)維1維，100是數(shù)學(xué)維2維，1000是數(shù)學(xué)維3維。如果我們在數(shù)軸上用距離原點(diǎn)1cm的點(diǎn)表示10，那么，表示2維100的點(diǎn)，與原點(diǎn)的距離不是2cm，而是10cm；而表示3維1000的點(diǎn)，與原點(diǎn)的距離不是3cm,而是100cm顯然，在數(shù)軸上每擴(kuò)展一維，隨之而擴(kuò)展的長度不是線性增加的，而是不均勻的，非線性的。從這個角度看，實(shí)數(shù)軸上有無數(shù)的數(shù)學(xué)維度，同一個數(shù)字在不同的數(shù)學(xué)維度中，代表的數(shù)值是不同的，所以我們完全可以用數(shù)字

10、的組合加上該數(shù)的數(shù)學(xué)維度表達(dá)式，來表示一切數(shù)，“科學(xué)計(jì)數(shù)法”就是這樣的一種數(shù)值表達(dá)方法，也就是任何數(shù)都用不大于10 的小數(shù)再乘以10的指數(shù)的形式來表達(dá)，這種表達(dá)方式之所以被稱為“科學(xué)計(jì)數(shù)法“，因?yàn)樵诳茖W(xué)研究中，經(jīng)?？赡艹霈F(xiàn)位數(shù)很多的數(shù)，用科學(xué)計(jì)數(shù)法來書寫這些數(shù)，我們很容易一眼就看出兩個數(shù)的大小，以及它們相差多少數(shù)量級，而無需去數(shù)它們的位數(shù)。因此，在科學(xué)計(jì)數(shù)法中，小數(shù)后面所乘的那個10的指數(shù)，就是這個數(shù)在十進(jìn)制計(jì)數(shù)法中的數(shù)學(xué)維度數(shù)。這種計(jì)數(shù)法實(shí)際上就在告訴我們，任何數(shù)其實(shí)都只是不大于10 的小數(shù)的各類分形系統(tǒng)，它們的差異只是在于它們的“數(shù)學(xué)維度”差異（也就是后面乘以10的幾次方）而已。實(shí)際上我們

11、還可以用01之間的小數(shù)乘以10的指數(shù)來表達(dá)一切數(shù)，所以從這個角度講，數(shù)學(xué)運(yùn)算所涉及的全部數(shù)，其實(shí)就是01之間的小數(shù)在不同數(shù)學(xué)維度中的各類分形系統(tǒng)?，F(xiàn)在我們再來看看大家所熟悉的無限循環(huán)小數(shù)，這更是個極好的分形的例子，其中循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)，顯現(xiàn)了分形的自相似性和標(biāo)度不變性。也就是不管你把這個循環(huán)小數(shù)寫到多少位，這個循環(huán)節(jié)的數(shù)字和這些數(shù)字的排序都是不變的；不管這個循環(huán)節(jié)處在該數(shù)的什么位置，表征的數(shù)值是多小，循環(huán)節(jié)的精細(xì)結(jié)構(gòu)不變，只是處在不同位置的循環(huán)節(jié)代表了不同的數(shù)值、顯現(xiàn)了不同的“數(shù)學(xué)維度”。所以，我們計(jì)數(shù)用的進(jìn)制，實(shí)際上就是一種數(shù)學(xué)的指數(shù)運(yùn)算方式。第二個事實(shí)，就是數(shù)字被創(chuàng)建的同時，人類就學(xué)會了數(shù)

12、數(shù)，1-9的數(shù)字，其實(shí)就是我們給1的不同連加次數(shù)的和所取的“名字”，2就是1+1的和；3就是3個1連加的和；9就是9個1連加的和。所以數(shù)數(shù)就是最原始的加法運(yùn)算，1-9的數(shù)字，其實(shí)是9個不同的和的名稱，也就是1做不同次數(shù)連加后，得到的不同的和的名稱。只有二進(jìn)制，才是真正的只用到0和1兩個數(shù)字的。朋友：被你這么一說，仔細(xì)想想，還真的就是這么回事??！很奇怪，我們怎么就沒有想到這一點(diǎn)呢？商：哈哈哈哈，這就是思維模式的差異??！由于真實(shí)世界是辨證的，所以隨著加法運(yùn)算的出現(xiàn)，加法運(yùn)算的逆運(yùn)算減法很快應(yīng)運(yùn)而生了。如果減法只是嚴(yán)格對應(yīng)加法的逆運(yùn)算，是不會出現(xiàn)負(fù)數(shù)的。但是形式邏輯系統(tǒng)是線性系統(tǒng)，線性系統(tǒng)是按直線式

13、發(fā)展的，一旦一種運(yùn)算方式產(chǎn)生，這種運(yùn)算方式的應(yīng)用，就不局限在產(chǎn)生這種運(yùn)算方式的原始狀況（后面講到的除法也是如此），所以隨著減法這個運(yùn)算方式的出現(xiàn)，當(dāng)被減數(shù)小于減數(shù)時，出現(xiàn)負(fù)數(shù)是必然的。從數(shù)學(xué)的角度看，出現(xiàn)負(fù)數(shù)與減法這個運(yùn)算方式所遵循的形式邏輯不矛盾，只是這類減法運(yùn)算的結(jié)果超過了正數(shù)的范圍，于是數(shù)系就擴(kuò)大了范圍，承認(rèn)了負(fù)數(shù)存在的合理性和必要性，數(shù)軸就隨著負(fù)數(shù)的出現(xiàn)，出現(xiàn)了0左邊的一端。這個例子進(jìn)一步說明了數(shù)系與數(shù)學(xué)運(yùn)算方式是同步發(fā)展的。朋友：你在上一本書中說過，減法和負(fù)數(shù)的出現(xiàn)，使得數(shù)系中的數(shù)開始出現(xiàn)辯證特征，因?yàn)榧由弦粋€負(fù)數(shù)，等于減去一個正數(shù)，而減去一個負(fù)數(shù)，等于加上一個正數(shù)，也就是負(fù)負(fù)得正（

14、否定之否定）。商：是的，你說的不錯，減法雖然是作為加法的逆運(yùn)算而出現(xiàn)的，但是減法這個運(yùn)算方法被確認(rèn)以后，沒有規(guī)定減法只能用在加法的逆運(yùn)算上，所以，當(dāng)人們用一個小的數(shù)去減掉一個大的數(shù)的時候，就發(fā)現(xiàn)只有在數(shù)系中增加負(fù)數(shù)，減法運(yùn)算才能在任何情況下都可以使用。從哲學(xué)角度看，這是因?yàn)榧臃ê蜏p法的關(guān)系是互為逆運(yùn)算的關(guān)系，正與逆是辨證的統(tǒng)一，具有辯證邏輯的特征，所以減法產(chǎn)生負(fù)數(shù)和出現(xiàn)辯證特征是很正常的。我們再來看看乘法運(yùn)算出現(xiàn)的意義。乘法是作為加法中的一種特殊情況的簡便算法而出現(xiàn)的，也就是當(dāng)幾個加數(shù)都相同的情況下，可以用乘法運(yùn)算代替加法運(yùn)算。朋友：你說的不錯，不過實(shí)際上這種簡便運(yùn)算只是形式上的簡便，九九乘法

15、表是要靠每一個人去硬背的，如果背不出來，就只能一個一個的去加。商：你說的不錯，但是我們只要把乘法表背熟以后，再利用乘法的運(yùn)算法則，在做多位數(shù)相乘時，就簡便了許多。否則要你做一道123X123的題目，不把你累死？朋友：哈哈哈，你說的也是啊！商：實(shí)際上乘法運(yùn)算被發(fā)明的意義還不僅在于此，我在上一本書中已經(jīng)提到：乘法運(yùn)算本身就帶有了辨證的特征，其一是“負(fù)負(fù)得正”“否定之否定”規(guī)律；其二是兩個數(shù)字量（標(biāo)量）相乘時，可以被分別定義為兩個正交坐標(biāo)軸上的矢量（長與寬），這就使得乘法運(yùn)算在進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的同時，增加了維度，也蘊(yùn)含了辨證矛盾；其三是“0的雙重身份”，0在與其他數(shù)字一起出現(xiàn)時，是個數(shù)值等于0 的數(shù)；但

16、是0在單獨(dú)出現(xiàn)時，邏輯含義就是絕對的“無”，任何數(shù)乘以0都等于0，這種至高無上的絕對性，使得0 的乘法的逆運(yùn)算結(jié)果失去了唯一性和精確性，變得沒有意義（0除任何數(shù)都為0，任何數(shù)都不能除0）。除此之外，乘法運(yùn)算在邏輯上還有“與”的意思朋友：且慢！我們不太了解與邏輯運(yùn)算有關(guān)的知識，你能不能先介紹一下？商：好的。邏輯運(yùn)算又被稱為布爾運(yùn)算，是用英國數(shù)學(xué)家布爾的名字命名的一門學(xué)科。布爾是世界上第一個用數(shù)學(xué)方法研究邏輯問題的數(shù)學(xué)家，并成功地將這個辦法發(fā)展成一門全新的數(shù)學(xué)學(xué)科。布爾用符號表示邏輯關(guān)系，就像用數(shù)字表示數(shù)值一樣；用等式表示判斷，把邏輯推理和判斷的結(jié)果，變成符號的運(yùn)算過程或等式的變換。這種判斷（運(yùn)算

17、）和變換的有效性不依賴人們對符號的解釋，只依賴于符號的組合規(guī)律和運(yùn)算法則，并形成了與其他數(shù)學(xué)相容的體系，這個體系就被稱為布爾代數(shù)。20世紀(jì)30年代，邏輯代數(shù)首先在電路系統(tǒng)的設(shè)計(jì)上發(fā)揮了很大的作用，極大的簡化和減輕了電路設(shè)計(jì)者的工作，提高了準(zhǔn)確性，隨著電子技術(shù)與計(jì)算機(jī)技術(shù)的告訴發(fā)展，盡管電路的設(shè)計(jì)逐漸發(fā)展成各種極其復(fù)雜的大系統(tǒng)，但是這些電路中對邏輯的判斷和推理，卻始終遵守布爾所揭示的規(guī)律。1935年，發(fā)現(xiàn)布爾代數(shù)與集合中的環(huán)之間有明確的聯(lián)系，任意一個布爾代數(shù)一定同構(gòu)于某個集上的一個集域；任意一個布爾代數(shù)也一定同構(gòu)于某個拓?fù)淇臻g的閉開代數(shù)等，這使得布爾代數(shù)在理論上和應(yīng)用上都有了很大的發(fā)展，使得布爾

18、代數(shù)在代數(shù)學(xué)（代數(shù)結(jié)構(gòu)）、邏輯演算、集合論、拓?fù)淇臻g理論、測度論、概率論、泛函分析等數(shù)學(xué)分支中均開始有了應(yīng)用。與數(shù)學(xué)一樣，布爾代數(shù)也是嚴(yán)格遵循形式邏輯的系統(tǒng)，也是離散結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。布爾代數(shù)研究的不是數(shù)值的運(yùn)算，而是邏輯的運(yùn)算。在布爾代數(shù)中，只有兩個數(shù)字0與1，它們不代表數(shù)值，而是代表邏輯的值，邏輯只能取兩個值，取0代表假，取1代表真。布爾代數(shù)中的基本邏輯關(guān)系只有三個或、與、非?！胺恰钡倪壿嫼x比較容易理解，就是“反相”、倒過來的意思，譬如，A=1，非A就等于0，同樣，A=0，則非A等于1?！盎颉庇脭?shù)學(xué)符號“+”來表示；“與”用數(shù)學(xué)符號“x”來表示?！盎颉焙汀芭c”的邏輯含義我用下面的圖來說明：上圖中

19、，A、B、C是三個開關(guān)，D是一個燈泡，我們把開關(guān)接通設(shè)定為1，開關(guān)不通設(shè)定為0；把電路接通燈泡點(diǎn)亮的結(jié)果，設(shè)定為D等于1；把電路不通燈泡不亮，設(shè)定為D等于0。于是，根據(jù)上面這個圖所示的電路，我們列出以下的等式：D=A+B+C也就是說，ABC中只要有一個開關(guān)接通（等于1），燈泡就被點(diǎn)亮（D=1）；只有當(dāng)ABC三個開關(guān)都沒有被接通（都等于0），燈泡才不能被點(diǎn)亮（D=0）。對上式進(jìn)行布爾代數(shù)運(yùn)算，也清晰的表達(dá)了這個判斷，也就是ABC中只要有任何一個為1，那么三者相加的結(jié)果一定是1；只有ABC三者都為0，三者相加的結(jié)果才會等于0。朋友：等一下！如果ABC都為1，三者相加不是等于3么？商：啊，抱歉，我忘

20、了說明一下，在布爾代數(shù)中，1+1=1,1+0=1，0+0=0；1x1=1,1x0=0,0x0=0因?yàn)椴紶柎鷶?shù)研究的不是數(shù)值，而是邏輯關(guān)系。朋友：很奇怪啊，有點(diǎn)不適應(yīng)！商：不要著急，我們慢慢來。下面再看電路的另一種連接方法：根據(jù)上圖所示的電路，我們列出以下等式：D=AxBxC也就是說，只有當(dāng)ABC三個開關(guān)都被接通，也就是ABC三者都為1的情況下，燈泡才會被點(diǎn)亮，D=1；只要有一個開關(guān)沒有接通，ABC中就有一個等于0，三個量相乘的結(jié)果就等于0，也就是D等于0，燈泡就不會被點(diǎn)亮。只有ABC三者都為1，三者相乘的結(jié)果才會等于1?，F(xiàn)在我們來小結(jié)一下：“或”的含義就是“或者”的意思，幾個互相處于“或”的邏

21、輯關(guān)系的項(xiàng)中，只要有一個為“真”，結(jié)果就為“真”?！芭c”的含義就是“必須”的意思，幾個互相處于“與”的邏輯關(guān)系的項(xiàng)中，必須全部為“真”，結(jié)果才會為“真”。朋友：第一次接觸布爾代數(shù)，覺得有點(diǎn)別扭，但是已經(jīng)基本理解了你說的意思。不過我們不太明白布爾代數(shù)有什么用呢？商：不要著急。我們先來看看這兩種不同連接方式的電路各自適用在什么場合。你能說說嗎？朋友：可以啊，前面的那個電路我們叫做并聯(lián)電路，現(xiàn)在家里的家用電器用的都是這種連接方法；在一些公共通道，為了省電，現(xiàn)在都會用一種聲控開關(guān)，在有人通過時再接通照明燈，如果這個公共通道有幾個出入口，安裝在這幾個出入口的聲控開關(guān)就是并聯(lián)的，任何一個出入口有人走動，燈

22、就會被點(diǎn)亮。后面那個電路我們叫做串聯(lián)電路，這種電路一般用在控制系統(tǒng)中，譬如，需要幾個獨(dú)立的具有控制權(quán)的人同時做出確認(rèn)的決定，電路才有效啟動的系統(tǒng)。比較容易理解的例子就是“火箭”的發(fā)射，因?yàn)榛鸺芊裾０l(fā)射取決于很多準(zhǔn)備工作能否正常完成，這些準(zhǔn)備工作本身很可能都是獨(dú)立的，分別由不同的部門負(fù)責(zé)操作和監(jiān)視，只有當(dāng)這些部門都對自己的準(zhǔn)備工作確認(rèn)（按下接通的開關(guān)），發(fā)射總負(fù)責(zé)的按鈕按下去才有效，只要有一個部門覺得自己負(fù)責(zé)的部分有點(diǎn)問題，不敢確認(rèn)，整個啟動電路是無法接通的。所以并聯(lián)電路具有“一票肯定就有效、所有的票否定才能否定”的意思；而串聯(lián)電路具有“一票就能否決、所有的票都肯定才能肯定”的意思。商：你說

23、的很好啊！我們不妨再進(jìn)一步分析一下，在并聯(lián)電路中，就電路的接通來講，這些開關(guān)之間相對都是獨(dú)立的，不管其他開關(guān)處在什么狀態(tài)，任何一個開關(guān)的接通都能保證電路的接通。但是就電路的關(guān)斷來講，這些開關(guān)之間又是互相緊密聯(lián)系的，只有所有開關(guān)都不通，才能保證電路不通。而串聯(lián)電路恰恰相反，就電路的接通來講，這些開關(guān)之間是緊密聯(lián)系的，必須大家都接通，電路才能接通，有一個人否定，電路就不通。就電路的不通來講，這些開關(guān)之間都是互相獨(dú)立的，不管別的開關(guān)處在什么狀態(tài)，任何一個開關(guān)不通，電路就不通了。所以在布爾代數(shù)中，相互之間處于“或”的邏輯關(guān)系的項(xiàng)，在確定系統(tǒng)為“真（相當(dāng)于電路接通、系統(tǒng)的邏輯值等于1）”的時候，這些項(xiàng)相

24、互之間是獨(dú)立的關(guān)系，任何一個項(xiàng)都有獨(dú)立的、不受干擾的有效確定權(quán)；在確定系統(tǒng)為“假（相當(dāng)于電路不通、系統(tǒng)的邏輯值等于0）的時候，這些項(xiàng)相互之間有緊密的聯(lián)系，必須所有的項(xiàng)都取0，系統(tǒng)才會為“假”。與此相反，在布爾代數(shù)中，相互之間處于“與”的邏輯關(guān)系的項(xiàng)，在確定系統(tǒng)為“真（相當(dāng)于電路接通、系統(tǒng)的邏輯值等于1）”的時候，這些項(xiàng)相互之間是緊密聯(lián)系的關(guān)系，只有所有的項(xiàng)都取1，系統(tǒng)才為“真”；而在確定系統(tǒng)為“假（相當(dāng)于電路不通、系統(tǒng)的邏輯值等于0）的時候，這些項(xiàng)相互之間是獨(dú)立的，任何一個項(xiàng)取0，系統(tǒng)必為“假”。朋友：你說的這些內(nèi)容還真有點(diǎn)“搞腦筋”?。〉?，確實(shí)讓我們看到了這兩種邏輯關(guān)系之間的區(qū)別和聯(lián)系，“

25、或”和“與”的含義，在肯定與否定的判斷上，是一種相反的對稱的關(guān)系。對肯定而言，“或”有一票決定權(quán)；對否定而言，“與”有一票否定權(quán)。商：你說得不錯?，F(xiàn)在我問你一個有趣的問題，我們今天在這里討論的話題是數(shù)學(xué)的算法問題，既然“或”用的是“+”號，“與”用的是“x”號，那么這種邏輯關(guān)系在加法和乘法上是否也有所體現(xiàn)呢？朋友：哈哈哈哈，這個問題我們從來沒有想過，但是確實(shí)很有趣??！讓我考慮一下看來，加法也確實(shí)有“或”的意思！譬如，在一個連加的式子中，只要有一個項(xiàng)不為0，和就不為0商：打斷了他老兄這個說法有漏洞??！因?yàn)閿?shù)學(xué)是研究數(shù)量變化的學(xué)科，數(shù)學(xué)運(yùn)算不是邏輯運(yùn)算，所以在加法中如果有兩個項(xiàng)，它們都不為0，但是

26、兩者的絕對值相等，一正一負(fù)，兩者的和就為0 啊！朋友：啊、啊你說的對！我修正一下自己的說法，在加法運(yùn)算中，只要有一個項(xiàng)不為0，這個項(xiàng)就能有效的參與運(yùn)算。這樣修正以后就沒有問題了吧？商：哈哈哈哈，看來修正主義并不應(yīng)該被絕對否定?。⌒拚e誤就是否定之否定朋友：老兄真是對辯證唯物主義情有獨(dú)鐘?。∫挥袡C(jī)會就用辯證唯物主義觀點(diǎn)來說明問題！商：我早說了，辨證唯物主義有局限性，不等于它不好用，就像歐氏幾何一樣，雖然有局限性，但是在日常生活和工作中，我們用得最多的還是它??！朋友：明白了。我們還是繼續(xù)討論數(shù)學(xué)運(yùn)算中的加法和乘法的邏輯含義。用這樣的觀點(diǎn)來看乘法，我們就可以說，在幾個用乘法連接的項(xiàng)中，任何一個項(xiàng)對這

27、個乘法的結(jié)果都有“一票否定權(quán)”只要該項(xiàng)為0，其他項(xiàng)不管是個多大的數(shù)，結(jié)果也一定是0。所以，用乘法連接的項(xiàng)要能有效的參與運(yùn)算，前提就是所有這些項(xiàng)都不為0！商：是的，你的這個說法很對。明白這個道理，對于小孩用數(shù)學(xué)作為工具去理解和證明其他學(xué)科的理論，是非常有意義的。朋友：是??！你今天這么一分析，解決了我的一個疑問！上次我在陪孫子復(fù)習(xí)迎考的時候，他突然問了我一個問題：我們在數(shù)學(xué)上用乘法計(jì)算4x3的時候，乘法的意義是求4連加3次的和；在幾何上求一個長為4寬為3的矩形面積時，也要計(jì)算4x3，由于這個矩形中的一個單位面積就是1x1的小正方形，所以計(jì)算矩形的面積就是計(jì)算每排4個單位小正方形，共計(jì)三排這樣的小正

28、方形的總的個數(shù)，也是4連加3次的和；在物理學(xué)上知道速度和時間，求以4米/秒的速度做勻速直線運(yùn)動的物體在3秒鐘內(nèi)移動的距離，也要計(jì)算4x3，也就是每秒鐘物體的位移是4米，求3個4米連加的和是多少。問題是：在物理學(xué)上求物體的勢能時，在E（勢能）=mgh 的公式中，m、g、h之間沒有什么關(guān)系，乘法在這里的意義是什么呢？這三個量之間為什么是相乘的關(guān)系呢？還有，點(diǎn)電荷在電場中受到的力f=eq。這里的乘法又是什么意思呢？總不見得說成f是q個e的連加吧？我當(dāng)時也覺得很難向他解釋這個問題，現(xiàn)在我覺得第一個問題好解釋了，乘法在邏輯上有“與”的意義，也就是勢能E的概念，是mgh三個因素整合而產(chǎn)生的，三者缺一不可。

29、但是第二個問題如何解釋呢？商：不要急，第二個問題等我們說到除法運(yùn)算的意義時再解釋。還是先講乘法的邏輯意義。你對第一個問題的理解很對，物理概念的創(chuàng)建，源于我們認(rèn)知世界的需要，這個概念是人造的；而數(shù)學(xué)，是物理學(xué)最重要的工具，但是很多人只看到數(shù)學(xué)在“數(shù)值計(jì)算”上的功能，沒有看到數(shù)學(xué)在邏輯運(yùn)用上的功能。你說的這個例子就是一個典型的例子，當(dāng)我們在物理學(xué)上設(shè)定了勢能這個概念后，根據(jù)我們對勢能的定義，這三個相關(guān)的量之間是“與”的邏輯關(guān)系，所以不能用加號把它們連接起來，要用乘號把它們連接起來勢能公式就是這樣產(chǎn)生的。我后面會用更多的例子來說明這個道理?，F(xiàn)在我們來分析除法運(yùn)算。除法是乘法的逆運(yùn)算，除法被創(chuàng)建的時候

30、，就是用來對乘法產(chǎn)生的積進(jìn)行逆運(yùn)算，以求出因數(shù)的。與減法一樣，除法運(yùn)算一旦確立，這種運(yùn)算方式的應(yīng)用，就不局限在產(chǎn)生這種運(yùn)算方式的原始狀況，所以，不是只有乘法產(chǎn)生的積才可以去除因數(shù)，也可以用一個因數(shù)除另外一個因數(shù)，于是，除法運(yùn)算就產(chǎn)生了另外一個極其重要的功能求比例朋友：我明白了。譬如，矩形的長乘以寬等于面積，面積除以長等于寬，面積除以寬等于長；而長除以寬就是求長與寬的比例商：是的，比例這個參數(shù)是非常有用的，如果兩個矩形的長與寬的比例相同，那么它們就是相似形；同樣道理，如果兩個三角形三條邊對邊的比例相同，它們就是相似三角形朋友：是啊，在物理學(xué)上，壓強(qiáng)就是壓力與面積的比例、加速度就是力與質(zhì)量的比例、

31、而前面提到的電場強(qiáng)度，就是電場力與電荷的比例，所以 ，因此實(shí)際上就是除法運(yùn)算的逆運(yùn)算，也是知道兩個因素的比例和其中一個因素，求另一個因素的通用辦法。商：是的，如果教師在教學(xué)生學(xué)習(xí)物理知識時，告訴他們所用公式的內(nèi)在含義，對于他們理解物理概念的內(nèi)涵和不同物理概念之間的內(nèi)在關(guān)系，是非常有用的。下面我們繼續(xù)討論除法運(yùn)算的求兩者之間比例關(guān)系的概念比例這個概念出現(xiàn)后，還發(fā)展出很多相關(guān)的其他概念和應(yīng)用。譬如，對靜態(tài)比例的描述，就發(fā)展出了比例中項(xiàng)、倒數(shù)；而動態(tài)的比例概念的發(fā)展，就產(chǎn)生了各種各樣的變化率朋友：我明白了，數(shù)學(xué)的發(fā)展來源于實(shí)際的需求，數(shù)學(xué)發(fā)展的結(jié)果又推動了其他學(xué)科的發(fā)展。商：是的。數(shù)學(xué)本身是高度抽象

32、的，但是數(shù)學(xué)原理和數(shù)學(xué)成果，與現(xiàn)實(shí)生活卻有密不可分的聯(lián)系，這就像哲學(xué)一樣。朋友：你能用我們正在討論的“比例”來舉個例子具體說明你的觀點(diǎn)嗎？商：好的。就以剛才說到的比例中項(xiàng)為例，你知道什么是比例中項(xiàng)嗎？朋友：知道啊。如果 a:b=b:c，我們就把b稱為a與c的比例中項(xiàng)。商：你能說說比例中項(xiàng)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系嗎？朋友：我要想一下，雖然我肯定它們有聯(lián)系，但是好像這種聯(lián)系不太多商：哈哈哈哈，如果我問你，黃金分割與生活的聯(lián)系多不多呢？朋友：黃金分割與生活的聯(lián)系當(dāng)然多了商：比例中項(xiàng)就是黃金分割?。‘?dāng)我們把a(bǔ)看做單位長度的時候，b就等于0.618。黃金分割、裴波那契數(shù)列、等角螺旋（對數(shù)螺旋）、自然數(shù)e在數(shù)學(xué)上

33、都是有緊密的內(nèi)在聯(lián)系的，更與自然界和我們生活中的許許多多現(xiàn)象有不解之緣。朋友：我對你說的這些數(shù)和數(shù)列知道一些，黃金分割是我們最熟悉的，按黃金分割的比例存在的形，往往具有一種美感；裴波那契數(shù)列好像與動物的繁殖、植物葉子和花的排列等都有關(guān)；螺旋線是很多貝殼外殼的生長規(guī)律，也是蜘蛛的結(jié)網(wǎng)規(guī)律，好像旋風(fēng)和一些星系的外形也是等角螺旋形的；自然數(shù)e與生活的聯(lián)系更密切了，你在上一本書的附錄中的那篇文章寫得很詳細(xì)你能不能說說它們之間內(nèi)在的聯(lián)系呢？商：好的。斐波那契數(shù)列是意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契在研究兔子的繁殖問題時發(fā)現(xiàn)的，所以有時候也被稱為“兔子數(shù)列”。他研究的問題是這樣的：兔子一般在出生兩個

34、月后，就有繁殖能力。一對兔子每個月能生出一對小兔子來，假定所有的兔都正常成活，那么一年以后，一對兔子共可以繁殖出多少對兔子？我們很容易列表來解決這個問題：第一個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對兔子；兩個月后，生下一對小兔，這時，共有兩對兔子；三個月以后，老兔子又生下一對，因?yàn)槟菚r小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是三對兔子；依次類推，在經(jīng)過12個月后，可以列出下表：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144裴波那契數(shù)列是這樣的一個由自然數(shù)組成的數(shù)列，我們很容易發(fā)現(xiàn)它的規(guī)律，也就是這個數(shù)列從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和。下面是表示裴波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式：非常奇怪，裴波那契數(shù)

35、列完全是一個自然數(shù)的數(shù)列，它的通項(xiàng)公式卻是用無理數(shù)來表達(dá)的。更奇怪的是，隨著數(shù)列項(xiàng)數(shù)的不斷增加，數(shù)列中前一項(xiàng)與后一項(xiàng)之比，越來越逼近黃金分割的數(shù)值0.6180339887這就是裴波那契數(shù)列與黃金分割的關(guān)系。我們再看下圖：（圖片來自百度圖片） 從圖中，我們很容易看出等角螺旋線與黃金分割的關(guān)系，圖中的幾個矩形，都是黃金矩形。我們先畫一個黃金矩形ABCD，如果拿掉這個矩形中面積最大的正方形ABEF，剩下的就是一個新的小黃金矩形FECD（證明略），我們從這個黃金矩形FECD中再拿掉最大的正方形FGHD，并繼續(xù)這個過程，就會產(chǎn)生一個個不斷縮小的黃金矩形的無窮集合。用圓弧連接其中的B、F、H、I、J、K、

36、L等點(diǎn)，我們就可以(粗略地)得到一條等角螺線。等角螺旋線上任意一點(diǎn)和中心的連線與曲線上這點(diǎn)的切線所形成的角是一個定角。在工業(yè)生產(chǎn)中，工程師們發(fā)現(xiàn)，把抽水機(jī)的渦輪葉片的曲面作成對數(shù)螺線的形狀，抽水量就均勻；在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，把軋刀的刀口彎曲成對數(shù)螺線的形狀，它就會按特定的角度來切割草料，效果最好。等角螺旋也叫對數(shù)螺旋，數(shù)學(xué)表達(dá)式是：e（）。著名數(shù)學(xué)家笛卡爾首先描述了對數(shù)螺旋線，并列出了螺旋線的解析式。這種螺旋線有很多特點(diǎn)，對數(shù)螺線的漸屈線和垂足線都是對數(shù)螺線，對數(shù)螺旋最突出的一點(diǎn)則是它的形狀的自相似性，也就是無論標(biāo)度如何變化，無論你把它放大或縮小都不會改變。就像我們不能把角放大或縮小一樣。從對數(shù)螺旋

37、的表達(dá)式中，我們不難看到它與e的關(guān)系根據(jù)你前面說到你孫子問你的問題，我斷定你的孫子不僅聰明，也很善于動腦筋，建議你回去向你孫子請教一下，我相信他只要查閱一些資料，就一定能告訴你更多的關(guān)于黃金分割、裴波那契數(shù)列、等角螺旋、和e之間的關(guān)系。朋友：你能不能從哲學(xué)的角度，簡單的給出一個概括？商：好的。我認(rèn)為黃金分割描述的是一種靜態(tài)的比例關(guān)系、螺旋線（裴波那契數(shù)列）描述的是一種動靜結(jié)合的比例關(guān)系、e描述的是一種動態(tài)的比例關(guān)系，也就是按動態(tài)的比例和動態(tài)的維度連續(xù)變化的比例關(guān)系我們再來分析一下乘方和開方運(yùn)算：乘方是乘法的一個特例，就是乘數(shù)都相同；開方是乘方的逆運(yùn)算。與減法和除法一樣，開方運(yùn)算被確認(rèn)后，就沒有

38、人規(guī)定開方只能用在乘方的逆運(yùn)算中，我們可以對任何數(shù)進(jìn)行開方運(yùn)算，如果對負(fù)數(shù)進(jìn)行開方，就是做虛數(shù)的運(yùn)算了。從哲學(xué)角度看，開方是一種降低維度的運(yùn)算，但是開方降低的是整數(shù)維度。正是由于開方這個降低整數(shù)維度的功能，使我們發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)。我建議你讓你的孫子幫你分析一下乘方和開方這兩種數(shù)學(xué)運(yùn)算的哲學(xué)意義，我相信他一定會發(fā)現(xiàn)物理學(xué)、幾何學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中廣泛用到這兩種運(yùn)算的意義和內(nèi)在的聯(lián)系下面我要用比較多的時間來分析對數(shù)運(yùn)算，因?yàn)檫@種運(yùn)算實(shí)際上蘊(yùn)含了一個極其重要的哲學(xué)原理，我相信沒有人做過這樣的分析。朋友：是嗎？我對對數(shù)還是比較熟悉的，我喜歡聽音樂，所以對音響設(shè)備還是有一點(diǎn)研究的。我們?nèi)硕鷮β曇繇懚鹊?/p>

39、度量，就是用對數(shù)來分級的，對于1000Hz的聲音信號，人耳能感覺到的最低聲壓為 Pa，我們把這一聲壓級定為0dB，當(dāng)聲壓超過130dB時人耳將無法忍受，故人耳聽覺的動態(tài)范圍為0130dB。音的響度單位用對數(shù)原因，在于我們?nèi)硕穆犛X是非線性的，在聲音比較微小時，只要響度稍有增加，我們就能感覺到了，但是當(dāng)聲音的響度達(dá)到一定程度后，即使響度再有較大的增加，我們的感覺卻不明顯了。人耳對聲音響度的這種聽覺特性，具有“對數(shù)函數(shù)”的特性，和真數(shù)與對數(shù)的關(guān)系非常接近。上個世紀(jì)70年代，我在造船廠當(dāng)工程師，那個年代，我們既沒有計(jì)算器，更沒有計(jì)算機(jī)，搞工程設(shè)計(jì)需要做繁復(fù)的計(jì)算，靠的就是一把對數(shù)計(jì)算尺，如果沒有這把

40、計(jì)算尺，我們根本無法工作。對數(shù)計(jì)算尺就是因?yàn)閷?shù)運(yùn)算的發(fā)明，把乘除法變成了加減法，把乘方和開方運(yùn)算變成了乘法和除法運(yùn)算，使得大量的乘除運(yùn)算簡化成加減運(yùn)算，并依據(jù)這個原理，設(shè)計(jì)了對數(shù)計(jì)算尺，極大的提高了計(jì)算效率。此外，利用這把尺上不同的刻度，還可以很方便的直接讀出倒數(shù)、三角函數(shù)以及進(jìn)行這些數(shù)之間的運(yùn)算。當(dāng)然，用計(jì)算尺的計(jì)算精度很低，所以在進(jìn)行高精度計(jì)算時，我們靠的是查閱對數(shù)表，然后用手工的加減法解決復(fù)雜的乘除法計(jì)算。（以上圖片來自百度圖片） 商：很好??！既然你對對數(shù)很熟悉，我就不在這里具體介紹對數(shù)了，這本書的附錄中有兩篇文章，是介紹對數(shù)和對數(shù)計(jì)算尺的，供有需要的讀者參考。現(xiàn)在我問你一個問題，你有

41、沒有發(fā)現(xiàn)對數(shù)運(yùn)算與數(shù)學(xué)中的其他運(yùn)算都不同，有一個極其特殊的非運(yùn)算功能呢？朋友：沒有啊商：啊，很遺憾啊，你對對數(shù)和對數(shù)計(jì)算尺這么熟悉，居然沒有發(fā)現(xiàn)這個特征！我認(rèn)為對數(shù)實(shí)際上是一種特殊的計(jì)數(shù)方式一種連續(xù)結(jié)構(gòu)的計(jì)數(shù)方式。朋友：對不起，我聽不懂。請你解釋一下。商：好。我們先回到前面討論過的一個話題，就是我們用0-9這10個數(shù)字、用10進(jìn)制的辦法，來表達(dá)一切數(shù)，實(shí)際上是在用一種指數(shù)運(yùn)算的方式來表達(dá)數(shù)。對數(shù)運(yùn)算是指數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算，我們用指數(shù)運(yùn)算（10進(jìn)制）的辦法可以表達(dá)一切數(shù)，那么顯然，我們也可以用對數(shù)運(yùn)算方法來表達(dá)一切數(shù)，因?yàn)閺膶?shù)函數(shù)的圖形中我們知道，對數(shù)函數(shù)的定義域是大于0的所有實(shí)數(shù)，值域是一切實(shí)數(shù)

42、；對數(shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)。我們不妨來研究一下，用對數(shù)運(yùn)算的方式來表示我們的實(shí)數(shù)系，會是怎樣的一種情況呢？我們用對數(shù)函數(shù)的值域來表示一切實(shí)數(shù)；底數(shù)可以隨意選一個0不等于1的數(shù)，譬如2，于是我們發(fā)現(xiàn)，任何一個實(shí)數(shù)都嚴(yán)格對應(yīng)一個2的指數(shù)，也就是說，我們只要用2這個不變的數(shù)字，用改變2的指數(shù)的辦法，就可以創(chuàng)建一種新的數(shù)系，來表達(dá)一切實(shí)數(shù)。前面我們已經(jīng)分析過了，由于在數(shù)值計(jì)算中，我們不考慮維度的空間意義，所以，在這種計(jì)數(shù)系統(tǒng)中，這個固定數(shù)字2的不斷變動的指數(shù)，實(shí)際上就是“數(shù)學(xué)維度”，也就是我們所熟悉的進(jìn)制。換句話說，我們?nèi)绻胗靡粋€固定的數(shù)字來表達(dá)一切實(shí)數(shù)是可以做到的，條件就是不斷的改變這個數(shù)的“進(jìn)制”，也

43、就是改變它的指數(shù)。朋友：我明白了！原來的計(jì)數(shù)方式是用0-9十個數(shù)字的不同組合，加上以10為1維的維度變化，來表示一切數(shù)的。在原來這個計(jì)數(shù)辦法中，每一個維度都是10的倍數(shù)，也就是逢10進(jìn)1維，所以維度（進(jìn)制）本身是固定不變的，改變的只是維度的個數(shù)。你現(xiàn)在說的辦法，就是“進(jìn)制”是變化的，而數(shù)字卻只用1個，是不變的。商：是啊，你理解得很對。由于對數(shù)函數(shù)是連續(xù)的，單調(diào)的，它的定義域是一切大于0 的實(shí)數(shù)，所以我們發(fā)現(xiàn)，用這種計(jì)數(shù)方式，進(jìn)制（維度）的變化是連續(xù)的。因此，這種新的數(shù)系（計(jì)數(shù)方式）是一個連續(xù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，而不是離散結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。朋友：老兄等一下，我聽了有點(diǎn)糊涂，讓我理一下思路：你的意思是說，利用對數(shù)函

44、數(shù)的性質(zhì)，我們可以創(chuàng)造一種新的數(shù)系（計(jì)數(shù)系統(tǒng)），用于計(jì)數(shù)的底數(shù)可以隨意選一個0不等于1的實(shí)數(shù)，然后用連續(xù)改變指數(shù)（也就是維度、進(jìn)制）的辦法，來表達(dá)一切實(shí)數(shù)，是這個意思嗎？商：是啊，你理解的很對??！而且由于底數(shù)是我們可以隨意選取的，只要0不等于1就可以，所以，這樣的數(shù)系不是唯一的，而是無數(shù)個，它們都是分形系統(tǒng)，互相可以轉(zhuǎn)換，也可以與現(xiàn)在用的實(shí)數(shù)系精確轉(zhuǎn)換，很像“非歐幾何”和“歐氏幾何”的關(guān)系。至于選取什么數(shù)字作為底數(shù)，完全看我們所面臨的實(shí)際問題的需求，譬如，選擇e或者，甚至某個確定性的函數(shù)。朋友：我明白了，現(xiàn)在我們在用的數(shù)系其實(shí)也是“兩點(diǎn)之間一直線”，而你說的新數(shù)系就是“兩點(diǎn)之間有無數(shù)的曲線”真

45、是一個離奇的想法?。∩蹋河斜匾谶@里再強(qiáng)調(diào)一下，我們現(xiàn)在說的是一種建立非線性數(shù)系的辦法，但是實(shí)際上建立非線性數(shù)系可以有很多其他辦法，譬如我在上一本書的“數(shù)系”的非線性哲學(xué)解讀一文中說過：事實(shí)上現(xiàn)代抽象的數(shù)學(xué)已經(jīng)不在意所研究的點(diǎn)在數(shù)系中的位置，而是根據(jù)某些特征，將分布在數(shù)系中具有這類共同特征的點(diǎn)抽象出來組成新的集合，這種集合已經(jīng)完全脫離了平面數(shù)系，存在于一個抽象的空間中，形成一個新的連續(xù)的域，來解決數(shù)學(xué)發(fā)展面臨的離散與連續(xù)的矛盾，使得數(shù)學(xué)得以正常發(fā)展。而這些新的連續(xù)的域，實(shí)際上就是我前面所說的，各類連續(xù)結(jié)構(gòu)的非線性數(shù)系中的某個域。朋友：是的，我還記得你說的那段話，但是此刻我想問一下老兄，你用對數(shù)

46、來表達(dá)數(shù)的種做法，有什么實(shí)際意義嗎？商：哈哈哈哈，老弟真是得了好處就忘記恩人??！朋友：（丈二和尚摸不著頭腦）什么呀？！商：老弟不要急，聽我繼續(xù)分析。我在前面已經(jīng)說了，我們用實(shí)數(shù)軸來表示所有實(shí)數(shù)時，實(shí)數(shù)軸上的維度（進(jìn)制）是離散結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，因?yàn)樵?0進(jìn)制的計(jì)數(shù)方法中，維度只能按整數(shù)維增加，不可能增加任何小數(shù)維但是在我現(xiàn)在說的這個計(jì)數(shù)系統(tǒng)中，維度卻是連續(xù)改變的，因?yàn)檫@里的維度就是對數(shù)函數(shù)的定義域，是一切大于0的實(shí)數(shù)。我在上一本書中說過，任何形都是模擬量，模擬量都是連續(xù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，它們一般都是連續(xù)維度系統(tǒng)；數(shù)字量都是離散結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，數(shù)字量的維度都是整數(shù)維度的。我們用直線形的數(shù)軸來表達(dá)數(shù)，就是用模擬量來表征數(shù)

47、，也就是在做模數(shù)轉(zhuǎn)換?，F(xiàn)在用的實(shí)數(shù)軸，由于維度是整數(shù)維的（每一個維度相差10），所以是離散結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。但是在我說的這個新建的數(shù)系中，由于維度（進(jìn)制）是連續(xù)變化的連續(xù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，所以我們不但可以用形（模擬量）來表達(dá)數(shù)，還可以用對模擬量的計(jì)算，來進(jìn)行對數(shù)的計(jì)算，你在70年代工作中不可或缺的計(jì)算尺，其實(shí)就是這樣的一臺模擬計(jì)算器。你應(yīng)該知道，還有一種類似的計(jì)算尺，是圓形的，原理是一樣的，只不過是用圓（模擬量）來替代直線。朋友：你這么一說，還真的是這樣！因?yàn)樵趯?shù)計(jì)算尺上的刻度都是非線性的，我們在計(jì)算的時候確實(shí)只是在做尺的長度（模擬量）的加減，但是卻完成了數(shù)的乘除的運(yùn)算。我們那時只知道如何用計(jì)算尺，也知道這

48、種計(jì)算方法是利用了對數(shù)函數(shù)的特征，確實(shí)沒有從模數(shù)轉(zhuǎn)換和模擬計(jì)算機(jī)的角度去考慮過問題。不過我有點(diǎn)好奇，難道老兄研究這些，是想恢復(fù)對數(shù)計(jì)算尺的應(yīng)用嗎？商：哈哈哈，我可沒有那么傻！現(xiàn)在的計(jì)算器和計(jì)算機(jī)的功能、計(jì)算精度、計(jì)算速度早就不是計(jì)算尺可以同日而語的了。我考慮這個問題，是從2006年開始的。那一年的某一天（具體日期我記不住了），我們黨派的幾個朋友一起宴請幾個來自臺灣的客人，他們都是一些專家和學(xué)者。坐在我旁邊的是一位50多歲的女性，畢生從事數(shù)學(xué)研究。我與她談到了現(xiàn)代計(jì)算機(jī)發(fā)展的極限問題，為了方便敘述，下面用我們對話的形式表達(dá)：商：我在考察臺灣標(biāo)桿學(xué)院時，與一些計(jì)算機(jī)專家討論過計(jì)算機(jī)發(fā)展的極限問題。

49、我們對計(jì)算機(jī)的硬件極限幾乎沒有什么爭議，都認(rèn)為量子計(jì)算機(jī)是計(jì)算機(jī)的極限了，因?yàn)榻迨陙?數(shù)字計(jì)算機(jī)的計(jì)算速度平均約每兩年翻一翻,相應(yīng)元件尺寸則每兩年縮小一倍，系統(tǒng)的控制技術(shù)和運(yùn)算模數(shù)也很先進(jìn)，芯片中導(dǎo)線與晶體管的寬度已經(jīng)小到人的頭發(fā)絲的百分之一，芯片的運(yùn)算速度和儲藏容量比早期的計(jì)算機(jī)提高了數(shù)百萬倍,但是集成電路技術(shù)已經(jīng)接近它的極限。如果芯片中單位電路的幾何尺寸再小一些，硅原子粒子之間的強(qiáng)作用力（甚至弱作用力）都不可忽略了，它們可能會造成電路的不穩(wěn)定和隨機(jī)出錯，這是把確定性（準(zhǔn)確性）作為生命的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)不能容忍的，所以，計(jì)算機(jī)硬件的極限，受到基本單位電路幾何尺度的局限。量子計(jì)算機(jī)不僅把計(jì)算機(jī)電路的基本單元縮小到原子，還有一個目前數(shù)字計(jì)算機(jī)不具備的信息位，就是半0半1位，是半0半1位各占50%幾率的迭加態(tài)，稱半翻轉(zhuǎn)的量子位，利用它可以進(jìn)行真正的隨機(jī)運(yùn)算，再加上相應(yīng)的算法技術(shù)，數(shù)字計(jì)算機(jī)的功能、速度、儲藏量還可以有極大的提高，但是這無疑就是數(shù)字計(jì)