人教版八年級上冊 分式 教材分析及講義無答案

1、第十五章 分式 教材分析一、本章的地位和作用分式是不同于整式的另一類有理式，是一種重要的代數(shù)式；相應的，分式方程是不同于整式的另一類有理方程，是一種重要的方程分式或分式方程作為某些類型問題的數(shù)學模型，具有整式或整式方程不可替代的特殊作用這一章所涉及的分式的基本概念,基本性質(zhì),基本運算,分式方程的基本解法等,都是學習數(shù)學的必須具備的基礎知識。在學習本章之前，學生已經(jīng)對分數(shù)有較多的了解在此基礎上，通過分式與分數(shù)的類比，從具體到抽象、從特殊到一般地認識分式；在討論分式的概念、基本性質(zhì)、約分與通分和四則運算時進行類比，可以溫故知新、深化知識教材通過利用現(xiàn)實情境中的數(shù)量關系引出數(shù)學模型分式的概念，然后通

2、過與分數(shù)類比的方法得出分式的基本性質(zhì)和四則運算法則.最后運用分式的有關知識解決可化為一元一次方程的分式方程的實際問題等，為今后進一步學習函數(shù)和一元二次方程等知識做好準備。 二、課程學習目標1、以描述實際問題中的數(shù)量關系為背景，抽象出分式的概念，了解分式的概念，認識分式是一類應用廣泛的重要代數(shù)式.2、類比分數(shù)的基本性質(zhì)，了解分式的基本性質(zhì)，能利用分式的基本性質(zhì)進行約分和通分，了解最簡分式的概念.3、類比分數(shù)的四則運算法則，探究分式的四則運算法則，能進行簡單的分式加、減、乘、除運算.4、結(jié)合分式的運算，將指數(shù)的范圍從正整數(shù)擴大到全體整數(shù)，了解整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)；能用科學記數(shù)法表示小于1的正數(shù).5

3、、掌握可化為一元一次方程的分式方程的解法，體會解分式方程中的化歸思想.6、結(jié)合利用分式方程解決實際問題的實例，進一步體會方程是刻畫實際問題數(shù)量關系的一種重要數(shù)學模型.三、本章主要內(nèi)容、重點、難點及數(shù)學思想1、基本知識：分式的概念、分式的基本性質(zhì)，分式的約分和通分法則、分式的四則運算、整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)、掌握可以化為一元一次方程的分式方程的解法.2、基本技能：熟練掌握分式的約分和通分、分式的四則運算、可以化為一元一次方程的分式方程的解法.3、基本的數(shù)學思想：化歸思想（化繁為簡）、類比思想（類比分數(shù)）、整體思想（化簡求值、分式方程）、數(shù)學建模思想（應用題）.4、基本活動經(jīng)驗： 積累分式運算的方法

4、，總結(jié)進行分式運算的解題經(jīng)驗，解決不同類問題時有不同的策略.5.重點、難點重點：本章學習的重點是分式的四則運算，它是整式四則運算的進一步發(fā)展，是代數(shù)式恒等變形的重要內(nèi)容之一（1）分式的基本性質(zhì)是本章學習的重點（2）分式的四則運算是本章的重點內(nèi)容（3）注意類比學習方法的掌握難點：(1)分式的四則混合運算(2)分式方程的增根問題(3)列分式方程解決實際問題 四、數(shù)學課程標準對本章的要求：了解分式及最簡分式的概念，能利用分式的基本性質(zhì)進行約分和通分；能進行簡單的分式加、減、乘、除運算；能解可以化為一元一次方程的分式方程.五、2019年中考說明中對分式的要求考試內(nèi)容考試要求層次ABC數(shù)與代數(shù)數(shù)與式分式

5、了解分式和最簡分式能利用分式的基本性質(zhì)進行約分和通分；能進行簡單的分式加、減、乘、除運算；能選用恰當?shù)姆椒ń鉀Q與分式有關的問題冪的運算了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質(zhì)能用整數(shù)指數(shù)的冪性質(zhì)進行簡單運算代數(shù)式的值了解代數(shù)式的值的概念會求代數(shù)式的值；能根據(jù)代數(shù)式的特征推斷代數(shù)式反映的規(guī)律運用恰當?shù)闹R和方法對代數(shù)式進行變形，解決有關問題方程與不等式分式方程了解分式方程的概念能解可化為一元一次方程的分式方程運用方程不等式的內(nèi)容解決有關問題六、本章知識結(jié)構(gòu)圖七、課時安排本章教學時間約需15課時，具體分配如下（僅供參考）：15.1 分式 3課時15.2 分式的運算 6課時15.3 分式方程 3課時數(shù)學活動

6、1課時小結(jié) 2課時八、教學建議（一）參考教參P246P250（二）具體教學建議：1. 加強學習方法的引導, 重視分數(shù)與分式的聯(lián)系 分數(shù)與分式的關系是具體與抽象、特殊與一般的關系，即相對于分式而言分數(shù)就是具體的、特殊的基礎對象.分式是把具體的分數(shù)一般化后的抽象代表，根據(jù)這種關系，分式的基本性質(zhì)、約分與通分、四則運算法則等應該與分數(shù)的基本性質(zhì)、約分與通分、四則運算法則等相對應，即兩者具有一致性，這也可以說是數(shù)式通性.本章教科書對分式的概念、基本性質(zhì)、約分與通分、四則運算法則等內(nèi)容的展開，充分地考慮了這樣的認識過程.因此，教學中應重視分數(shù)與分式的聯(lián)系，考慮到學生對分數(shù)已有一定認識的基礎，要發(fā)揮這樣的

7、認識基礎的作用，通過分式與分數(shù)的類比，從具體到抽象、從特殊到一般地認識分式，這將有助于理解和記憶所學的分式內(nèi)容.同時，這樣的學習過程對于培養(yǎng)良好的學習方法也會起到引導作用.2.關注基礎知識和基本技能，本章中分式的基本概念、基本性質(zhì)、基本運算、分式方程的概念、解法和應用等，都是進一步學習數(shù)學必備的基礎，應切實打好基礎運算技能的訓練是代數(shù)教學的基本任務，也是本章的重要教學目標，本章的運算技能涉及分式的基本性質(zhì)與運算、解分式方程等它們都是本章的重點內(nèi)容本章從哪些方面來培養(yǎng)學生的運算能力呢？ 調(diào)整好學生心態(tài)，注意知識間的內(nèi)在聯(lián)系 學生已經(jīng)掌握分數(shù)基本性質(zhì)，并能應用它進行分數(shù)計算，教師可以因勢利導，讓學

8、生明白不要畏懼困難，分數(shù)即具體數(shù)值，而分式即為能成立的字母，只不過數(shù)的范圍擴大而已，實質(zhì)相同，也是找到分母的“公分母”，沒有想象中的那么復雜，他們之間即為孿生兄弟，沒有不可逾越的鴻溝。 掌握基礎知識，深刻理解算理 切實掌握相關運算的定義、法則、公式、性質(zhì)、定理等基礎知識是進行正確運算的基礎，因為這些基礎知識能為運算指明思考方向，為學生選擇合理的運算方法提供理論依據(jù).從學生常見的運算錯誤中可以發(fā)現(xiàn)，大多是與基礎知識不扎實有關，如大多數(shù)學生習慣于機械運算，見積就用乘，見商就想除，就是因為對基礎知識不理解，不能合理運算造成的. 在下面這兩個典型的錯例中，錯誤的原因就是：學生對解分式方程與分式計算存在

9、解題策略的混淆；學生對增根、驗根、分式有意義的條件存在概念、意識和題型特征的混淆.建議：增強分式運算與解分式方程的對比練習，澄清有關的概念，把握題目特征，增強解題能力. 通過觀察分析，找到解題技巧平方差公式、完全平方公式和兩個數(shù)互為相反數(shù)，在異分母分式加減法中應用最廣，首先將分式中的分母因式分解，即化難為易，找到本質(zhì)，才能做到有的放矢。比如：通過觀察兩個分式的分母有公分母（y-x）,而（x-y）與（y-x）互為相反數(shù)，可把轉(zhuǎn)化為，這樣達到通分的目的. 分析觀察可以從包含以下幾個方面逐級深入：第一，全題包含了哪些運算；第二，各運算之間的先后順序如何? 第三，算式中有無應先整理的式子(如分數(shù)小數(shù)系

10、數(shù)、多項式排列混亂、需要先因式分解等)；第四，是否有簡便方法；第五，哪些地方容易忽視和出錯 突出比較分析，選擇合理方法選擇合理的方法是在挖掘題目中特殊的信息基礎上，對題目進行剖析，多法擇優(yōu)。在具體的課堂教學中，可以要求學生在對某一問題得到一種算法后，不要滿足于已得的解法，要有意識地分析比較這種方法的優(yōu)缺點，積極探求可加以改進和其他更簡便的運算方法，并總結(jié)解決過程中是如何對運算進行合理設計的，促進學生形成追求最合理、最明確、最簡單的運算方法的思維品質(zhì)。 注重對典型運算錯誤的剖析 發(fā)現(xiàn)一個問題，比解決一個問題更重要。從實際的教學現(xiàn)狀來看，學生在運算過程中，經(jīng)常會出現(xiàn)這樣的錯誤，如從整體上看，運用的

11、運算方法正確，但在運算的過程中，抄寫運算符號、數(shù)值、去括號、去分母、約分等方面出現(xiàn)問題，而影響了整個運算結(jié)果的準確性，并且這樣的屢屢出錯會挫傷學生學好數(shù)學的信心，從而阻礙了數(shù)學思維的進一步發(fā)展。為此，對于學生運算中經(jīng)常出現(xiàn)的典型錯誤，一定要注意收集總結(jié)、歸類整理，以此為例題，引導學生自主、合作地進行剖析，師生共同探究這些錯誤產(chǎn)生的根本原因，找出運算出錯的根源，從而加以解決，這也是提高學生運算能力的有效途徑之一。 3. 關注方程與實際問題的聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)學建模思想 列方程解應用題一直是學生的難點，講解的過程中注意滲透思考分析問題的思路. 列分式方程解應用題與列一元一次方程解應用題的基本思路和方法是

12、一致的.不同的是，因為學習了分式后，表示量與量的關系的代數(shù)式就可以不受整式限制，也可以用分式表示.對于應用題要講清以下步驟： （1）審清題意：弄清題中涉及哪些量？已知數(shù)和未知量各幾個？量與量之間的基本關系是什么？ （2）設未知數(shù)，找出盡可能多的等量關系，用含未知數(shù)的代數(shù)式表示其它未知量，注意所設未知量的單位要明確. （3）列方程，抓住題中含有等量關系的語句，將此語句抽象為含有未知數(shù)的等式，這就是方程. （4）解方程，并驗根，驗根時應注意： 檢驗解得的根是否是原分式方程的根； 檢驗這個根是否符合實際.（5）寫出答案. 設未知數(shù)、列方程是建立方程模型解決實際問題的關鍵步驟，而正確地理解問題情境，分

13、析其中的等量關系是設未知數(shù)、列方程的基礎列方程歷來是教學中的難點，教學中，可以從多角度幫助學生進行思考，例如借助表格、圖形、等進行分析，尋找等量關系，檢驗方程的合理性教師還可以結(jié)合實際情況選擇更貼近學生生活的各種問題，引導學生用分式方程分析、解決它們總之，教師需要精心設計教學活動，幫助學生克服難點，使學生逐步領會數(shù)學建模思想，體會方程的作用，掌握運用方程解決問題的方法我校備課組在分式方程教學中采用列表分析法進行教學，中上層學生們較易接受和掌握，效果不錯。用列表在實際教學中，我發(fā)現(xiàn)在應用題的題目本身結(jié)構(gòu)中一般會有兩個共同之處：三個量；兩種情況。所謂三個量：不管什么類型的題目都是三個量之間的關系。

14、例如：行程問題中是速度、路程、時間；工程問題中是工作時間，工作效率、工作總量，銷售問題中是單價，數(shù)量、總價；等等，所謂兩種情況：不管什么題目都會有甲、乙兩人，或兩個工程隊，或今年、明（去）年，或計劃、實際等。所以，在解應用題時可以先列個表格，具體方法如下：例題：學校組織學生去距離學校15千米的郊區(qū)，一部分同學騎自行車，另一部分同學在40分鐘后乘汽車沿相同的路線行進，結(jié)果騎自行車與乘汽車的同學同時到達目的地。已知汽車的速度是自行車速度的3倍，求自行車和汽車的速度。 （1）三個量：路程、速度、時間 （2）兩種情況：騎自行車、豳自行車； （3）列表：如下表1：表1路程速度時間自行車汽車（4）設未知數(shù)

15、：騎自行車的速度為xkm/h，（5）用已知條件及含有未知數(shù)的代數(shù)式表示各數(shù)量關系，如表2。表2路程速度時間自行車15kmx km/h15/x h汽車15km3x km/h15/3x h（6）找出計劃、實際兩種情況下某一量之間的關系的語句：結(jié)果同時到達（自行車比汽車多走了min；（7）依據(jù)表格列方程：在填表格時，先填已知數(shù)據(jù)，其次填設出的未知數(shù)，再根據(jù)三個量之間的關系表示出第三個量來，最后找出關鍵語句列出方程進持解答。九、具體內(nèi)容 15.1 分式（一）對分式概念的理解一般地，如果A、B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.注意：（1）與是同一運算關系的兩種不同表示方法.既可以表示這個

16、運算，又可以表示這個運算的結(jié)果.（2）分式的分母中必須含有字母，分子可以含有字母，也可以不含有字母，這是區(qū)別于整式的重要依據(jù).（3）當時，分式有意義.（4）分式是兩個整式相除的商，分母（含有字母）是除式，分子是被除式，分數(shù)線可以理解為除號，還有括號作用.例如：表示 (x3)÷(x5)這里的括號作用對今后學習分式方程起著重要作用，務必使學生理解.（5）分式是用形式定義的，因此判斷一個式子是不是分式，取決于其形式，而不是化簡后的結(jié)果.例如： 是分式,而不能先約分后再判斷（6）分式的值為0的條件是：分子的值為0且分母的值不為0.（先寫限制條件，養(yǎng)成先列條件再計算的習慣）（7）有理式的概念：

17、 （二）相關習題1、分式的概念,辨析分式與整式.例1. 在 ，-0.5xy+y, , , 中，是分式的有 ；整式有 . 2、分式值為零、分式有意義的條件.例2. 指出使下列分式有意義的字母取值范圍.（1） 當m 時，分式 有意義；（2）當m 時，分式 有意義；（3）當m 時，分式 有意義；（4）當x、y 滿足關系 時，分式 有意義.例3當 x為何值時，下列分式的值為零 . （1） (2) (3) (4) （5）3、分式值為正、負的條件.例4 （1）當x 時，分式的值為正； （2）當x 時，分式的值為負. (3) 若分式的值為正數(shù)，則x范圍是 . (4) 若分式的值為負， 則x范圍是 . (5)

18、 若分式的值為正，則x范圍是 .4、分式的基本性質(zhì) 分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變.即： （）其中、是整式.（1） 基本性質(zhì)的引入，由回憶分數(shù)的通分與約分引入分式的基本性質(zhì)；（2） 基本性質(zhì)的重要性分式恒等變形的基礎，是學習好分式的關鍵；（3） 對基本性質(zhì)中的A、B、C的認識,注意強調(diào) C0的條件.（4） 在理解分式的基本性質(zhì)的基礎上，掌握分式的符號變號法則：分式本身及其分子、分母這三處的正負號中，同時改變兩處，分式的值不改變.即： 注意：因為分數(shù)線在分式中具有括號的作用，當分子或分母為多項式，要把它看作一個整體，變號時，將多項式的各項都改變符號.例5. 根據(jù)分

19、式基本性質(zhì)填空.(1) = （2) = (3) = ( ) (4) = （5） （6）例6不改變分式的值，把下列各式的分子與分母中各項的系數(shù)都化為整數(shù)：（1） （2） （3） 例7不改變分式的值,使下列分式的分子與分母的最高次項的系數(shù)都是正數(shù).(1) (2) 例8.下列等式: (1) (2) (3) （4）其中錯誤的有 ，正確的有 . 5、約分： 根據(jù)分式的基本性質(zhì)，不改變分式的值，約去分式的分子和分母的公因式，這樣的分式變形叫做分式的約分. 分子、分母沒有公因式的分式，叫做最簡分式.（1）約分的結(jié)果使學生明確最簡分式的要求（2）分式的分子、分母是單項式時，公因式是它們系數(shù)的最大公約數(shù)與公有字

20、母的最低次冪的積（3）分式的分子、分母是多項式時，先進行因式分解，然后再約分例9.約分：6、通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，不改變分式的值，使分子和分母同乘適當?shù)恼剑褞讉€分式化成分母相同的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分.通分要先確定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次冪的積作為公分母，它叫做最簡公分母.求最簡公分母的步驟：各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；凡出現(xiàn)的字母為底的冪的因式；相同字母的冪的因式取指數(shù)最大的.按上述條件取出的因式寫成積的形式例10. (1)分式，的最簡公分母是 .(2) 分式 , 的最簡公分母是 .例11將下列各組中的分式通分（1）和 （2）和 （3） 和15.2 分式

21、的運算類比分數(shù)的運算學習分式的運算，分式的乘除法與分數(shù)的乘除法類似，即將乘除法統(tǒng)一成乘法，分式乘除法的實質(zhì)是分式的約分，而分式約分的依據(jù)是分式的基本性質(zhì)：（C是整式且）.1、分式的乘除（1）分子、分母是多項式時，先進行因式分解，然后計算（2）運算結(jié)果要求為最簡分式（3）整式與分式乘除時，應把整式看成分母為1的代數(shù)式與分式乘除（4）乘除混合運算時，要注意運算順序，要先統(tǒng)一為乘法運算.2、分式的乘方（商的乘方）：分式的乘方要把分子、分母分別乘方.即：（是正整數(shù)）例1. 計算（分子、分母是單項式） （1） （2） （3）例2計算（分子、分母是多項式）（1） （2）(3) （4） 例3分式乘除的混合運

22、算 (1) (2)（3） （4）例4分式乘方運算：例5分式的乘方混合運算： （1） （2） （3） （4） （5）例6 計算：（3） （4） (7) (8) (9) 3、分式的加減法： 同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減；異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑偌訙p.即： 分式加減法學習初期，注意規(guī)范學生的解題步驟，明確每一步的解題依據(jù)，不跳步。 通分 注意：分子是多項式時要加括號計算分子 約分 例7. 計算：（4） （5） 計算: （1） . （2） . （3） 4、混合運算 混合運算中注意的問題： （1）正確使用運算法則；（2）注意運算順序；（3）靈活使用運算律；（4）結(jié)果必須

23、為最簡分式. 例8.計算:(1) （4） （5）5、負整數(shù)指數(shù)冪的運算法則： 一般地，當是正整數(shù)時， （）注意：（1）此公式可以進一步變形： （） （2）當為整式時，使用公式；當為分式時，使用公式. （3）指數(shù)概念擴大到全體整數(shù)后，冪的運算仍然成立，引導學生理解成立的合理性，并理解整指數(shù)冪的運算要綜合冪的運算才能使復雜的運算得到簡化.（4）負指數(shù)的科學記數(shù)法，負指數(shù)引入，可形成對科學記數(shù)法的完整認識.（5）分式與負指數(shù)間形式的互化，也為學習反比例函數(shù)奠定基礎. (6)經(jīng)歷負指數(shù)冪的不同的運算過程，培養(yǎng)學生選擇合理運算方法的意識。例9. 計算:（4） （5） (6) 例10.用科學記數(shù)法表示下列

24、各數(shù)：（1）0.001 (2) -0.000001 （3）0.001357 （4）-0.00000003415.3分式方程1、分式方程概念： 分母中含未知數(shù)的方程叫做分式方程.2、分式方程的解法：轉(zhuǎn)化為整式方程具體步驟：（1）去分母：方程兩邊同乘各分母的最簡公分母，化為整式方程；（2）解整式方程；（3）驗根：將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解.注意：產(chǎn)生增根的原因：造成增根的原因就是解分式方程的第一步中去分母造成的.根據(jù)等式性質(zhì)，方程兩邊同乘以（或除以）同一個非零數(shù)，所得結(jié)果仍是等式.這就是說，方程兩邊不能乘（

25、除）以零，解方程的過程中，如果在方程的兩邊同時乘以值為零的整式，就會產(chǎn)生增根。3、有關增根問題 解得是增根【例題分析】例1. 解下列分式方程:例2.解答題:（1）x為何值時，代數(shù)式的值等于2？（2）若方程有解，則a的值為多少？ .4、字母系數(shù)分式運算例3（1）若關于的分式方程的解為正數(shù)，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 且（2）a為何值時，關于x的方程的解是0？（3）關于的分式方程有增根，則的值是（ ）A. 2 B. 2 C. 1 D. 1（4）當m為何值時 , 關于x的方程無解.（5）解關于x的方程: (a¹0, b¹0且a¹b)5、分式方程的應用（1）列分式方程解應用題的一般步驟：一、審題：已知、未知； 二、分析如何設未知數(shù)、找相等關系；三、設、列、解、驗（兩步檢驗）、答（2）列分式方程解應用題的雙重檢驗： 驗增根；驗符合實際. (3)幾個常見的等量關系：【例題分析】例4.某項工程限期完成，甲隊獨做正好按期完成，乙隊獨做則要誤期3天，現(xiàn)兩隊合作2天后，留下的工程再由乙隊獨做，也正好在限期內(nèi)完成，問該工程期限是多少天？例5.京