九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用學(xué)生版知識(shí)點(diǎn)典型例題

1、 相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、探索相似三角形的性質(zhì)，能運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；2、通過(guò)典型實(shí)例認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中物體的相似，能運(yùn)用圖形相似的知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題（如何把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題）.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、相似三角形的性質(zhì)1相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.2. 相似三角形中的重要線段的比等于相似比. 相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.3. 相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比 ，則由比例性質(zhì)可得： 4. 相似三角形面積的比等于相似比的平方，則分別作出與的高和，則要點(diǎn)詮釋：相似三角形的性質(zhì)是通過(guò)比例線段的性質(zhì)推證出來(lái)的.要點(diǎn)二、相似三角形的應(yīng)用1.測(cè)量

2、高度測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常使用“在同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比例相等”的原理解決.要點(diǎn)詮釋：測(cè)量旗桿的高度的幾種方法： 平面鏡測(cè)量法 影子測(cè)量法 手臂測(cè)量法 標(biāo)桿測(cè)量法2.測(cè)量距離測(cè)量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常構(gòu)造如下兩種相似三角形求解。 1如甲圖所示，通?？上葴y(cè)量圖中的線段DC、BD、CE的距離（長(zhǎng)度），根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出AB的長(zhǎng). 2如乙圖所示，可先測(cè)AC、DC及DE的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算AB的長(zhǎng). 要點(diǎn)詮釋：1比例尺：表示圖上距離比實(shí)地距離縮小的程度，比例尺= 圖上距離/ 實(shí)際距離;2太陽(yáng)離我們非常遙遠(yuǎn)，因此可以把太陽(yáng)光近似看成平行光線在同一時(shí)刻，兩物體影子之

3、比等于其對(duì)應(yīng)高的比;3視點(diǎn)：觀察事物的著眼點(diǎn)（一般指觀察者眼睛的位置）;4. 仰（俯）角：觀察者向上（下）看時(shí)，視線與水平方向的夾角【典型例題】類型一、相似三角形的性質(zhì)1. ABCDEF，若ABC的邊長(zhǎng)分別為5cm、6cm、7cm，而4cm是DEF中一邊的長(zhǎng)度，你能求出DEF的另外兩邊的長(zhǎng)度嗎？試說(shuō)明理由.2.如圖所示，已知ABC中，AD是高，矩形EFGH內(nèi)接于ABC中，且長(zhǎng)邊FG在BC上，矩形相鄰兩邊的比為1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面積.舉一反三1、 如圖，在和中，的周長(zhǎng)是24，面積是48，求的周長(zhǎng)和面積.2、 有同一三角形地塊的甲、乙兩地圖，比例尺分別為12

4、00和1500，求：甲地圖與乙地圖的相似比和面積比.3、如圖，直角三角形紙片的兩直角邊長(zhǎng)分別為6、8，按如圖那樣折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為DE，則SBCE：SBDE等于（ ）A. 2：5 B14:25 C16:25 D. 4:21 4、在銳角ABC中，AD,CE分別為BC,AB邊上的高，ABC和BDE的面積分別等于18和2，DE=2,求AC邊上的高.5、已知：如圖，在ABC與CAD中，DABC，CD與AB相交于E點(diǎn)，且AEEB=12，EFBC交AC于F點(diǎn)，ADE的面積為1，求BCE和AEF的面積6、 如圖，已知中，點(diǎn)在上(與點(diǎn)不重合)，點(diǎn)在上.(1)當(dāng)?shù)拿娣e與四邊形的面積相等時(shí)，求的長(zhǎng).(

5、2)當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)與四邊形的周長(zhǎng)相等時(shí)，求的長(zhǎng). 類型二、相似三角形的應(yīng)用3. 如圖，我們想要測(cè)量河兩岸相對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)A、B之間的距離(即河寬) ，你有什么方法？ 4. 如圖：小明欲測(cè)量一座古塔的高度，他站在該塔的影子上前后移動(dòng)，直到他本身影子的頂端正好與塔的影子的頂端重疊，此時(shí)他距離該塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影長(zhǎng)是2 m(1)圖中ABC與ADE是否相似?為什么? (2)求古塔的高度舉一反三1、小明把一個(gè)排球打在離他2米遠(yuǎn)的地上，排球反彈后碰到墻上，如果他跳起來(lái)?yè)襞徘驎r(shí)的高度是1.8米，排球落地點(diǎn)離墻的距離是7米，假設(shè)排球一直沿直線運(yùn)動(dòng)，那么排球能碰到墻上離地多高的地方？2、在斜坡的

6、頂部有一鐵塔AB，B是CD的中點(diǎn)，CD是水平的，在陽(yáng)光的照射下，塔影DE留在坡面上。已知鐵塔底座寬CD=12m，塔影長(zhǎng)DE=18m，小明和小華的身高都是1.6m，同一時(shí)刻，小明站在點(diǎn)E處，影子在坡面上，小華站在平地上，影子也在平地上，兩人的影長(zhǎng)分別為2m和1m，那么塔高AB為（ ）A.24m B.22m C.20m D.18m 3、已知：如圖，陽(yáng)光通過(guò)窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下1.5m寬的亮區(qū)DE.亮區(qū)一邊到窗下的墻腳距離CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底邊離地面的高度BC. 【鞏固練習(xí)一】一、選擇題1如圖1所示，ABC中DEBC，若ADDB12，則下列結(jié)論中正確的是( )A B

7、CD （圖1） （圖2）2. 如圖2, 在ABC中, D、E兩點(diǎn)分別在AB、AC邊上, DEBC. 若AD:DB = 2:1, 則SADE : SABC為 ( )A. 9:4 B. 4:9 C. 1:4 D. 3:2 3某校有兩塊相似的多邊形草坪，其面積比為94，其中一塊草坪的周長(zhǎng)是36米，則另一塊草坪的周長(zhǎng)是（ ）A24米 B54米 C24米或54米 D36米或54米4. 圖為ABC與DEC重疊的情形，其中E在BC上，AC交DE于F點(diǎn)，且AB/ DE.若ABC與DEC的面積相等，且EF=9，AB=12，則DF=( ) A3 B7 C12 D15 5如圖

8、是小明設(shè)計(jì)用手電來(lái)測(cè)量某古城墻高度的示意圖，點(diǎn)P處放一水平的平面鏡，光線從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知ABBD，CDBD，且測(cè)得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米， 那么該古城墻的高度是（ ） A6米 B8米 C18米 D24米6. 要把一個(gè)三角形的面積擴(kuò)大到原來(lái)面積的8倍，而它的形狀不變，那么它的邊長(zhǎng)要增大到原來(lái)的（）倍. A.2 B.4 C.2 D.64 二、填空題7. 如圖所示，為了測(cè)量一棵樹AB的高度，測(cè)量者在D點(diǎn)立一高CD2m的標(biāo)桿，現(xiàn)測(cè)量者從E處可以看到桿頂C與樹頂A在同一條直線上，如果測(cè)得BD20m，F(xiàn)D4m，EF1.8m，則樹AB的高度為_

9、m 8. 已知兩個(gè)相似三角形的相似比為，面積之差為25，則較大三角形的面積為_. 9如圖，小明為了測(cè)量一座樓MN的高，在離點(diǎn)N為20m的A處放了一個(gè)平面鏡，小明沿NA后退到點(diǎn)C，正好從鏡中看到樓頂M，若AC1.5m，小明的眼睛離地面的高度為1.6m，請(qǐng)你幫助小明計(jì)算一下樓房的高度是_.（精確到0.1m） 10. 梯形ABCD中，ADBC,AC，BD交于點(diǎn),若=4， =9，=_.11.如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為CD上一點(diǎn)，DE:CE=2:3，連接AE,BE,BD,且AE,BD交于點(diǎn)F，則_.12.把一個(gè)三角形改做成和它相似的三角形，如果面積縮小到原來(lái)的倍，那么邊長(zhǎng)應(yīng)縮小到原來(lái)

10、的_倍.三、解答題13. 一位同學(xué)想利用樹影測(cè)量樹高，他在某一時(shí)刻測(cè)得長(zhǎng)為1m的竹竿影長(zhǎng)0.9m，但當(dāng)他馬上測(cè)量樹影時(shí)，因樹靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墻上，如圖，他先測(cè)得留在墻上的影高1.2m，又測(cè)得地面部分的影長(zhǎng)2.7m，他求得樹高是多少？ 14. 如圖所示，一段街道的兩邊沿所在直線分別為AB，PQ，并且ABPQ，建筑物的一端DE所在的直線MNAB于點(diǎn)M，交PQ于點(diǎn)N，小亮從勝利街的A處，沿著AB方向前進(jìn)，小明一直站在點(diǎn)P的位置等待小亮（1）請(qǐng)你畫出小亮恰好能看見小明的視線，以及此時(shí)小亮所在的位置（用點(diǎn)C標(biāo)出）（2）已知：MN=30m，MD=12m，PN=36m求（1

11、）中的點(diǎn)C到勝利街口的距離 15. 在正方形中，是上一動(dòng)點(diǎn)，(與不重合)，使為直角，交正方形一邊所在直線于點(diǎn).(1)找出與相似的三角形.(2)當(dāng)位于的中點(diǎn)時(shí)，與相似的三角形周長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)為多少？ 【鞏固練習(xí)二】一、選擇題1如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別是6和8，另一個(gè)與它相似的直角三角形邊長(zhǎng)分別是3和4及x，那么x的值（ ）A只有1個(gè) B可以有2個(gè) C有2個(gè)以上，但有限 D有無(wú)數(shù)個(gè)2. 若平行四邊形ABCD中，AB10，AD6，E是AD的中點(diǎn)，在AB上取一點(diǎn)F，使CBFCDE，則BF的長(zhǎng)為（ ）A1.8 B5 C6或4 D8或23. 如圖，已知D、E分別是的AB、 AC邊上的點(diǎn)，且

12、0;那么等于（ ）A1：9 B1：3 C1：8 D1：24如圖G是ABC的重心，直線過(guò)A點(diǎn)與BC平行.若直線CG分別與AB、交于D、E兩點(diǎn)，直線BG與AC交于 F點(diǎn)，則AED的面積 ：四邊形ADGF的面積=( ) A1：2 B2：1 C2：3 D3：25. 如圖，將ABC的高AD四等分，過(guò)每一個(gè)分點(diǎn)作底邊的平行線，把三角形的面積分成四部分S1、S2、S3、S4，則S1S2S3S4等于（） A.1234 B.2345 C.1357 D.35796.如圖，在ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，DE：CE=2：3，連結(jié)AE、BE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，則SDEF：SEBF：SABF等于( )

13、 A.4：10：25 B.4：9：25 C.2：3：5 D.2：5：25二、填空題7.如圖，梯形ABCD中，ABCD,AC、BD相交于點(diǎn)E，=_.8.如圖，ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，滿足ADC=ACB,若AC=2，AD=1，則DB=_.9.如圖，在PAB中，M、N是AB上兩點(diǎn)，且PMN是等邊三角形，BPMPAN，則APB的度數(shù)是_.10.如圖，ABC中，DEBC,BE,CD交于點(diǎn)F，且=3，則：=_.11. 如圖，丁軒同學(xué)在晚上由路燈AC走向路燈BD，當(dāng)他走到點(diǎn)P時(shí)，發(fā)現(xiàn)身后他影子的頂部剛好接觸到路燈AC的底部，當(dāng)他向前再步行20m到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)身前他影子的頂部剛好接觸到路燈BD的底部，已知

14、丁軒同學(xué)的身高是1.5m，兩個(gè)路燈的高度都是9m，則兩路燈之間的距離是_12.如圖，銳角ABC中，AD,CE分別為BC,AB邊上的高，ABC和BDE的面積分別等于18和2，DE=2，則AC邊上的高為_.三、解答題13. 為了測(cè)量圖（1）和圖（2）中的樹高，在同一時(shí)刻某人進(jìn)行了如下操作：圖（1）：測(cè)得竹竿CD的長(zhǎng)為0.8米，其影CE長(zhǎng)1米，樹影AE長(zhǎng)2.4米圖（2）：測(cè)得落在地面的樹影長(zhǎng)2.8米，落在墻上的樹影高1.2米，請(qǐng)問(wèn)圖（1）和圖（2）中的樹高各是多少？14. （1）閱讀下列材料，補(bǔ)全證明過(guò)程：已知：如圖，矩形ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，OEBC于E，連結(jié)DE交OC于點(diǎn)F，作FGBC于G求證：點(diǎn)G是線段BC的一個(gè)三等分點(diǎn)證明：在矩形ABCD中，OEBC，DCBC，OEDC，（2）請(qǐng)你仿照（1）的畫法，在原圖上畫出BC的一個(gè)