動態(tài)復(fù)制期權(quán)及其交易成本初探

1、動態(tài)復(fù)制期權(quán)及其交易成本初探廣發(fā)期貨投資研究部: 楊威近一年來，我國期貨市場波動風險加大，作為市場的參與者，為了規(guī)避風險，更需要具有非對稱收益的期權(quán)產(chǎn)品，然而在我國還未推出期貨期權(quán)的情況下，投資者如何構(gòu)建自己的保險組合策略、“繞道購買”期權(quán)產(chǎn)品呢？本文將從經(jīng)典的B-S公式及其推導(dǎo)原理出發(fā)，運用MonteCarlo技術(shù)展示看漲與看跌期權(quán)的復(fù)制全過程，并探討了存在交易費用（成交金額的一定比例）下，期權(quán)復(fù)制中各項費用的分布情況，通過比較分析 ，得出復(fù)制深度實值看漲期權(quán)的成本相對較小而且穩(wěn)定性也較高的結(jié)論。一、相關(guān)研究簡述1973 年，F(xiàn)ischer Black 和Myron Scholes(1973

2、)發(fā)表了期權(quán)定價和公司財務(wù)一文，在一系列嚴格的假設(shè)條件下，通過嚴密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和論證，提出了后來被稱為“Black-Scholes 模型”(下稱B-S模型)的期權(quán)定價模型，成為期權(quán)定價理論研究中的開創(chuàng)性成果。Black 和Scholes假設(shè)標的股票價格服從幾何布朗運動，且其波動率是一個常數(shù)。在無套利的條件下，利用動態(tài)復(fù)制（Dynamic Replication）的方法，推導(dǎo)出基于不付紅利股票的歐式看漲期權(quán)價格必須滿足的微分方程。通過解此微分方程，得出歐式看漲期權(quán)價格的顯式解，稱為B-S 公式。該公式現(xiàn)已成了市場參與者所普遍使用的一個定價工具，推動了衍生產(chǎn)品市場的深入發(fā)展。但是在現(xiàn)實世界中，進行實

3、時動態(tài)復(fù)制是不現(xiàn)實的，因而許多學(xué)者分別從離散時間和交易費用方面來復(fù)制期權(quán)從而研究期權(quán)的定價。Boyle和 Emanuel(1980)對于不考慮交易成本的短時間段進行間斷性避險的誤差分布進行的檢驗表明，忽略泰勒展開式的某些高階項，避險誤差的期望值為零，且避險誤差分布服從自由度為1的卡方分布。Leland(1985)提出采用一種修正的波動率來解決交易成本帶來的避險誤差問題。Kamal和Derman(1999)對分布的方差的研究表明方差與期權(quán)的Vega成比例。Toft(1996 ) 繼Leland開創(chuàng)性地對B-S模型進行修正以運用于存在交易成本下的期權(quán)定價之后，計算了對沖誤差的期望值并給出了顯式解。

4、Kabanov和Safarian(1997)給出了存在比例交易成本的對沖誤差的范圍，并認為Leland的避險策略僅是一種推測。Yonggan Zhao和Ziemba(2003)指出，Leland論文中存在數(shù)學(xué)證明上的漏洞，并用模擬結(jié)果證明Leland模型存在問題，他們借鑒Leland的想法也對B-S模型的波動率進行修正，但使用的是內(nèi)生的使絕對平均誤差最小化的修正波動率來進行定價與避險。Davis和Zariphopoulou(1993、1995)，Hodges和Neuberger(1998)等更是利用隨機控制方法求效用最大化的方法對期權(quán)進行定價，但由于算法復(fù)雜等原因并不實用。二、市場無套利假設(shè)與

5、組合自融資（Self-Financing）過程經(jīng)典的金融經(jīng)濟學(xué)假設(shè)市場上是不存在套利機會的。我們熟悉的遠期（期貨）價格的定價公式也基于此，遠期（期貨）的定價公式可簡單表示為：這里，S為當前的現(xiàn)貨價格，R為無風險利率（為簡化起見，這里可不考慮持有現(xiàn)貨的收益，而且這里采取單利形式）?？梢园l(fā)現(xiàn)，在期貨的定價中，我們并沒有使用現(xiàn)貨價格的（歷史）期望收益率而是使用無風險利率，其原因就是市場的套利行為。假如該資產(chǎn)市場的遠期價格高于F，例如為Fu，那么市場參與者就可以在市場上賣空該遠期價格（期貨上做空），同時以R的利率借貸資本購入現(xiàn)貨，假設(shè)到期日現(xiàn)貨價格為St，那么在此期間，投資者的在遠期（期貨）上的盈利為

6、Fu-St，現(xiàn)貨上的盈利為St-S*（1+R），兩者合計盈利Fu-St+St-S*（1+R）=Fu-S*（1+R）0，獲得無風險的套利收益，而該套利行為（遠期，期貨上賣空）將使得期貨價格從Fu回歸合理價格F，使得套利機會消失，價格被低估時的情形類似，可見市場無套利的假定有其合理性，期權(quán)定價原理也是基于市場無套利假設(shè)的。組合的自融資過程可以理解為除了初始的投入以外，在整個投資過程中不再投入資金，而且也不從中轉(zhuǎn)移資金，直到投資期結(jié)束。上文中構(gòu)建的套利組合也就是一個自融資的組合過程（一個遠期或期貨空頭，一個債券（借款）空頭，一個現(xiàn)貨多頭），而且，市場的無套利假設(shè)也表明自融資過程組合的預(yù)期收益率等于無

7、風險收益率。這成為期權(quán)定價中微分方程建立的“雛形”。三、動態(tài)復(fù)制期權(quán)原理1、B-S公式介紹基于無風險套利套利的市場均衡以及組合的自融資過程（策略），期權(quán)與標的資產(chǎn)的無風險資產(chǎn)組合的收益率必定等于無風險收益率，Black & Scholes（1973）首次提出了一個基本的歐式期權(quán)定價公式。其邊界條件為：，K為看漲期權(quán)的敲定價，那么解上述微分方程可得： 對于看漲期權(quán)，動態(tài)復(fù)制的Delta值對于看跌期權(quán)，Delta為2、離散時間下動態(tài)復(fù)制的實現(xiàn)在現(xiàn)實的投資活動中，我們不可能連續(xù)的對復(fù)制期權(quán)的組合進行實時連續(xù)的調(diào)整套保，而只能夠根據(jù)需要以一定的頻率或價格觸及進行。按照標準的股票價格行為過程，以看漲期權(quán)

8、為例，套保率是標的資產(chǎn)的增函數(shù)，當股票價格上漲時，套保率也增加（暫不考慮時間因素），在具體的操作中就是價格高的時候買入股票，而價格低（跌）的時候賣出股票，那么，由于這些高買低賣產(chǎn)生的損失以及到期日的支付（max(s-k,0)）就近似于期權(quán)費，特別是當套保的頻率變高時，復(fù)制費與期權(quán)的理論價格越接近（不考慮交易成本）。將動態(tài)套保的整個時間段劃分為等長度的N個間隔，考慮到交易成本，總的復(fù)制成本為（看漲期權(quán)）：四、動態(tài)復(fù)制技術(shù)在現(xiàn)實中的不足我們知道，B-S公式是在理想的假設(shè)下推導(dǎo)出來的，但是在現(xiàn)實的市場中，這些條件并不能得到滿足，這些條件（至少）包括：（1） 常波動率（2） 交易成本（3） 市場價格連

9、續(xù)而以上的三項對復(fù)制期權(quán)的成本影響最大，（1）與（3）主要影響復(fù)制成本公式右邊的第一項，即理論的期權(quán)費部分，如果波動率保持常數(shù)，市場價格連續(xù)，該項將隨著N的增加逐步逼近期權(quán)的理論價值，而（2）交易成本將影響復(fù)制成本公式中的第二項，N越大，第二項費用越大。五、考慮交易成本的動態(tài)復(fù)制期權(quán)策略分析1、標的資產(chǎn)隨機路徑生成及分析假定為了對動態(tài)復(fù)制期權(quán)策略中成本費用的構(gòu)成及影響因素，我們通過MonteCarlo方法模擬出資產(chǎn)價格的1000個可能的路徑，并假定：（1） 時間1年=240天=240*4小時=240*4*60分鐘；（2） 股票初始價格S0=100，期望收益為0.03，波動率25% ；（3） 復(fù)

10、制期權(quán)的到期日距起始日1年；（4） 復(fù)制的交易費用為交易金額的1%；（5） 動態(tài)套保的頻率分別取3 分鐘，15分鐘，30分鐘，1小時，2小時，1天，3天，6天；（6） 敲定價分別設(shè)定為70，80，90，100，110，120，130；（7） 無風險利率5%。2、動態(tài)復(fù)制成本（不含交易費用，及成本第1項）分析上文中提到動態(tài)復(fù)制的第一項成本隨著時間間隔數(shù)N的增大逐步收斂于對應(yīng)期權(quán)的理論價格。根據(jù)分析的結(jié)果（見圖1、表1、2，圖2和圖3）我們可以得到：（1） 復(fù)制成本1基本呈對稱分布狀；（2） 頻率越高，復(fù)制成本1方差越??；（3） 頻率相同時，無論是看漲還是看跌，平值期權(quán)復(fù)制成本1的標準差最大，價內(nèi)

11、與價外期權(quán)的復(fù)制成本1的標準差逐步減小；（4） 頻率相同時，看漲期權(quán)復(fù)制成本1的標準差與均值得比值隨著敲定價的調(diào)高而變大，對于看跌期權(quán)，則隨著敲定價的調(diào)高而減小。由以上分析可知在頻率一定（控制一定的復(fù)制標準差下）時，無論是復(fù)制看漲還是看跌期權(quán)，實值期權(quán)復(fù)制的成本相對較低。圖1：不同頻率下動態(tài)復(fù)制成本（第一項）分布表1：動態(tài)復(fù)制看漲期權(quán)成本1的均值與方差情況敲定價708090100110120130B-S期權(quán)費33.86 25.41 18.14 12.34 8.03 5.03 3.05 15mins均值33.86 25.41 18.15 12.34 8.04 5.03 3.05 方差0.05 0

12、.08 0.11 0.14 0.15 0.14 0.14 30mins均值33.85 25.41 18.14 12.34 8.04 5.03 3.05 方差0.07 0.12 0.16 0.19 0.21 0.20 0.19 1hours均值33.85 25.41 18.14 12.34 8.03 5.04 3.05 方差0.10 0.16 0.22 0.27 0.29 0.29 0.27 2hours均值33.85 25.41 18.13 12.32 8.01 5.02 3.04 方差0.14 0.23 0.30 0.40 0.42 0.41 0.38 1day均值33.85 25.41 1

13、8.13 12.32 8.03 5.05 3.06 方差0.22 0.33 0.42 0.54 0.59 0.56 0.53 3days均值33.84 25.39 18.12 12.31 8.03 5.06 3.06 方差0.38 0.57 0.75 0.89 1.00 0.95 0.93 6days均值33.85 25.37 18.11 12.33 8.04 5.09 3.10 方差0.49 0.77 1.03 1.26 1.41 1.37 1.25 表2：動態(tài)復(fù)制看跌期權(quán)成本1的均值與方差情況敲定價708090100110120130B-S期權(quán)費0.441.513.757.4612.661

14、9.1726.7115mins均值0.441.513.767.4712.6719.1826.71方差0.050.080.110.140.150.140.1430mins均值0.441.513.757.4612.6719.1826.71方差0.070.120.160.190.210.200.191hours均值0.441.513.757.4612.6719.1826.71方差0.100.160.220.270.290.290.272hours均值0.441.513.747.4412.6519.1726.70方差0.140.230.300.400.420.410.381day均值0.441.503

15、.747.4512.6619.2026.72方差0.220.330.420.540.590.560.533days均值0.431.493.737.4312.6619.2026.72方差0.380.570.750.891.000.950.936days均值0.431.473.727.4512.6719.2426.76方差0.490.771.031.261.411.371.25圖2：期權(quán)復(fù)制成本的標準差圖3：期權(quán)復(fù)制成本的標準差與相應(yīng)均值的比值3、動態(tài)復(fù)制交易費用（成本2）分析在實際的動態(tài)復(fù)制期權(quán)中，人們更關(guān)心的可能是復(fù)制成本的第二項，即交易成本，由于動態(tài)復(fù)制中要不停的（按一定頻率）進行相應(yīng)資產(chǎn)的

16、買賣，從而保證與期權(quán)相對應(yīng)的風險頭寸，這時就不得不考慮交易成本。首先，對于交易成本直觀的看法是頻率越高交易成本越高，將相應(yīng)的成本2數(shù)據(jù)進行分析，我們可以發(fā)現(xiàn)其分布情況與頻率以及敲定價之間的關(guān)系（見圖4、圖5）。圖6向我們展示了在不同復(fù)制頻率與敲定價格下成本2的均值變化情況，綜合以上的分析，我們總結(jié)出以下幾點：（1） 復(fù)制成本2的分布程非對稱狀；（2） 無論復(fù)制看漲還是看跌期權(quán)，敲定價越高，成本2的方差越大；（3） 成本2的均值在復(fù)制平價期權(quán)時最高，而其他情況逐步減小；（4） 綜合（2）與（3），復(fù)制低敲定價的看漲與看跌期權(quán)，其成本2都相對較小，而且具有更小的穩(wěn)定性（方差）。圖4：不同頻率與敲定

17、價下復(fù)制看漲成本2分布情況圖5：不同頻率與敲定價下復(fù)制看跌成本2分布情況圖6：不同頻率與敲定價下復(fù)制成本2均值與B-S期權(quán)費的比率4、動態(tài)復(fù)制兩項費用總體分析由以上對兩項費用的綜合分析，可以得到以下幾點結(jié)論：（1） N值越大（頻率越高），第一項費用的穩(wěn)定性越好（方差越小），第二項費用的成本越大，穩(wěn)定性也差；（2） N值一定的情況下，對于看漲和看跌期權(quán)，平值期權(quán)復(fù)制的第一項費用穩(wěn)定性較差，第二項費用的均值也較大；第二項費用的穩(wěn)定性隨著敲定價的增高而變差；（3） N不變，考慮到期權(quán)的理論價格（B-S價格），深度實值看漲期權(quán)的單位期權(quán)費對應(yīng)的方差較小，第二項費用的均值較小，穩(wěn)定性也較高；但對于深度實值的看跌期權(quán)，第二項費用的穩(wěn)定性卻較差；對于深度虛值