利率的期限結(jié)構(gòu)模型

1、利率的期限結(jié)構(gòu)模型摘要：本文試圖用最簡練和容易理解的表述，介紹關(guān)于期權(quán)定價的鞅方法的一些主要思想以及基本結(jié)論。稍微涉及到了一些偏微分方程的知識，但大都比較容易理解。主要是針對那些并不是專業(yè)的研究者，但是仍然對此感興趣并想了解期權(quán)定價理論的讀者。關(guān)鍵詞：期權(quán)定價 鞅測度 到期（交割） 套期保值 未定權(quán)益Black-Scholes模型把利率假定為一個常量或者確定的函數(shù)，對于短期的類股票（stock-like）資產(chǎn)，它是一種可以接受的近似。但是，對于利率的衍生物，它卻并不是合理的假設(shè)，因此我們必須解決這個隨機利率的問題。建立利率的期限結(jié)構(gòu)模型有幾種不同的方法，它們可以分為兩種：短期利率模型和遠(yuǎn)期利率

2、模型。這兩種方法分別由Vasicek（1977）和Heath-Jarrow-Morton(1987,1992)最早提出。Flesaker和Hughston在1996年引入了一種新的方法建立利率的期限結(jié)構(gòu)模型，我們將介紹這三種方法，其中包括一些著名的模型，而且會對一些利率衍生物的定價問題進(jìn)行簡要討論。我們省略關(guān)于保值的討論，讀者可參閱Duffie(1996)，p140-141。Rogers在1997年提出了關(guān)于利率的期限結(jié)構(gòu)和外匯利率的“潛在方法（potential approach）”，我們不介紹這個綜合性方法，因為它在某種程度上超出了我們的范圍。1.債券市場我們建立一個貫穿始終的坐標(biāo)橫軸，考

3、慮在一個完備概率空間上的二維布朗運動，用表示的自然域流（natural filtration）。我們考慮一個金融市場，稱為債券市場，它包括銀行的存款和所有可能到期的貼現(xiàn)債券(或零息債券)。我們稱不支付任何股息，以低于交割期面值的價格售出的金融債券為貼現(xiàn)債券。以下我們稱在時刻s到期的貼現(xiàn)債券為s-債券，它在時刻的價格記為，假定等于（也就是一單位的銀行存款）。當(dāng)時間時，一個-債券的到期收益（或簡稱收益）定義為 (1)它是在當(dāng)前時刻對利率的未來價值的一種測度。在不同的到期時刻得到不同的收益，這反映了關(guān)于未來利率的市場觀念。在時刻上的收益曲線就是靠近的軌跡，收益曲線對于到期時間的依賴關(guān)系，稱為利率的期

4、限結(jié)構(gòu)。在時刻上的短期價格定義為,當(dāng)然，前提是這個極限存在的話。以后，我們假定對所有的都成立且可測，此外，。如果關(guān)于可微，那么就有另一種關(guān)于利率的未來價值的衡量方法叫做遠(yuǎn)期利率，它的定義如下 (2)知道遠(yuǎn)期利率，可以重新寫出債券價格 (3)利率衍生物是一種金融契約，它的支付由未來的利率或者債券價格決定，因而具有隨機性。為了能夠給利率衍生物定價，我們需要在它有效期間內(nèi)對利率或者債券價格建立動態(tài)行為模型，基本的原理是假定債券市場不存在套利。如果是確定的光滑函數(shù)，那么在無套利的情況下，必須具有如下形式這里是時刻上的短期利率。它表示在這種情況下，債券價格完全由短期利率決定。但是，在不確定的情況下，這不

5、再成立。事實上，假設(shè)給定我們短期利率過程,它是一個可測的適應(yīng)非負(fù)過程。如果是等價于的一個概率測度，我們寫成 （4）那么定義為債券價格，而是這個債券市場的等價鞅測度。所以不同的等價概率測度導(dǎo)出不同的債券價格模型。我們將會在下段的討論中看到對一種等價概率測度的選擇依賴于對市場風(fēng)險價格的指定。2.短期利率模型（1）單因素模型我們假定短期利率過程是建立在目標(biāo)概率測度下的擴散過程 （5）這里是一維布朗運動。因為在方程(5)里唯一的狀態(tài)變量是短期利率，我們稱這種模型為單因素模型(one-factor model)。為了建立關(guān)于這個債券市場的短期利率模型，我們首先選擇一個適當(dāng)?shù)牡葍r于的概率測度，作為債券市場

6、的等價鞅測度，然后，根據(jù)風(fēng)險中性價值公式(4)建立債券價格過程。為簡單起見，我們只考慮那些等價概率測度，它們關(guān)于的Radon-Nikodym衍生物有如下形式 （6）這里是在上的波雷爾函數(shù)。因此，選擇的概率測度包含了指定的函數(shù)。后者可用市場數(shù)據(jù)加以估計，因為是-債券的風(fēng)險市場價格。一旦我們知道了函數(shù)，在(5)中建立的短期利率過程可以重新用“風(fēng)險中性”的語言建立，如下 （7）這里，是一個一維的-布朗運動,并且.通過Feynman-Kac公式我們知道，在一些規(guī)范的條件下，s-債券的定價過程可以表示為，這里是一個在上的函數(shù)，并且對于任意給定的，它是如下偏微分方程的唯一解 （8）終值條件是。作為單因素模

7、型的例子，我們現(xiàn)在給出兩個最著名的模型：Vasicek模型和CIR模型。在Vasicek模型中，假定短期利率過程在風(fēng)險中性條件下（也就是在等價鞅測度空間中）滿足以下形式的隨機微分方程（SDE）， （9）這里，是正的常數(shù)，是下的布朗運動，這樣的一個過程稱為Ornstein-Uhlenbeck過程。短期利率看起來好像是股票的價格，但是兩者之間重要的區(qū)別之一是短期利率在整個時間上總會趨向于某個長期平均水平，一個著名的現(xiàn)象是均值回歸（mean reversion）。實際上，如果市場風(fēng)險價格是一個常數(shù)，那么從（9）我們可以知道短期利率在利率被拉向水平，因為。容易驗證（9）的唯一解是 （10）因為是正態(tài)分

8、布，但如果出現(xiàn)，這顯然不合理。不過這個模型有一個優(yōu)點是它給出了-債券價格的一個明確的表達(dá)式 （11）這里 （12） （13）這些公式既可以通過解方程（8）得到，也可以用（10）計算（4）的條件期望值得到。正像上面所提到的，Vasicek模型的一個缺點是短期利率可能為負(fù)值。為了解決這個問題，Cox-Ingersoll-Ross（1985）建議在風(fēng)險中性范圍內(nèi)用如下的隨機微分方程對短期利率行為建立模型 （14）這里，是正的常數(shù)，方程（14）有唯一解，而且必是非負(fù)的。通過解方程（8）我們得到了對于s-債券價格的相同的表達(dá)式（11），這里 （15） （16）這里。兩個模型里，和都是關(guān)于和的確定的函數(shù)，

9、并且債券價格有（11）的形式。收益曲線在時刻是關(guān)于短期利率的線性函數(shù)：。因此，二者均為仿射期限結(jié)構(gòu)（affine term structure）。這種模型的收益曲線的形狀可能是上揚，下傾，以及輕微隆起。詳細(xì)的討論建議讀者參考Duffie（1992）。實際上，專業(yè)人士利用短期利率的歷史數(shù)據(jù)估計參數(shù)、的值，然后在這些估計出來的參數(shù)的基礎(chǔ)上計算出一組可交易的債券和期權(quán)的價值，把這些值同市場價值比較，最后再調(diào)整參數(shù)的值，反復(fù)進(jìn)行這樣的過程直到模型能很好的符合歷史數(shù)據(jù)。不過，調(diào)整參數(shù)的值是很困難的，因此只要債券價格符合當(dāng)日債券價格的觀測值就可以了。為了克服這個缺點，Hull和White（1990）把這個

10、模型擴展到具有依存于時間系數(shù)的情形：，這些擴展模型同樣具有仿射期限結(jié)構(gòu)（affine term structure）。（2）多因素模型前面介紹的單因素短期利率模型給出了債券價格的明確的表達(dá)式，但這些模型不能很好地符合實際的利率運動情況。更貼近實際的短期利率模型應(yīng)該包含一些其他的經(jīng)濟變量，比如長期利率，特定數(shù)量債券的收益，短期利率浮動率等等。我們用一個多維布朗運動來描述不確定性，這樣的模型稱為多因素模型。第一個多因素模型是由Brennan和Schwartz（1979）提出的二維擴散模型，其中的狀態(tài)變量是短期利率長期利率，后者用聯(lián)合公債價格的倒數(shù)來描述。聯(lián)合公債是一種沒有最終到期日的特殊的有息債券

11、。然而，Dybvigetal（1996）得出的一個結(jié)果告訴我們長期利率不會下降，因此不能用擴散來建立模型。Chen在1996年提出了一個三因素模型，這個模型除了短期利率，還引入了另外兩個因素，短期平均利率和短期利率浮動率。最近幾年，許多論文研究所謂的高維平方型Guass-Markov過程模型，描述如下這里是等價鞅測度空間下的維布朗運動，是定義在上的明度函數(shù)，而是上的明度函數(shù)。這個模型的優(yōu)點是能夠?qū)С龃_切的債券價格公式，建議讀者參考Rogers（1995）。3.HJM模型Heath，Jarrow和Morton在1987年提出了另一種建立期限結(jié)構(gòu)模型的方式（參見Heath-Jarrow-Morto

12、n（1992）。HJM模型根據(jù)遠(yuǎn)期利率來描述期限結(jié)構(gòu)模型。通過這種方式，模型就可以自動適合當(dāng)前的收益曲線。Ho和Lee在1986年提出類似HJM模型的離散時間模型。已知遠(yuǎn)期利率的一個隨機模型，我們假定定義了時刻上的短期利率，對于給定的到期日，在風(fēng)險中性的范圍內(nèi)，可以用Ito過程表示遠(yuǎn)期利率的HJM模型 （17）這里是等價鞅測度空間下的維布朗運動,和是分別取值在和上的可測度適應(yīng)過程，這樣（17）可以很好的定義為一個Ito過程。初始遠(yuǎn)期曲線是確定的，并且滿足條件。假定是利率過程，則因為是一個嚴(yán)格正鞅，由布朗運動的鞅表示法則，存在一個上的適應(yīng)過程，滿足也就是 （18）另一方面，由（4），有因此，通過

13、比較的兩個表達(dá)式的鞅部分，在一些理論條件下確保Fubini定理的實用性，我們得到 （19）由此，必可表示為 （20）如果想了解更詳細(xì)的證明，讀者可以參見Duffie(1996)，p.151-153。由（17）和（20）我們得到特別的，當(dāng)是一個常量時，我們可以得到Ho-Lee模型的連續(xù)時間極限這里4.Flesaker-Hughston模型Flesaker和Hughston于1996年提出了利率的期限結(jié)構(gòu)新的建模方法，這種方法的關(guān)鍵在于對（4）的觀察：-債券的價格過程由（4）定義，使則根據(jù)Bayes法則， （21）這里 （22）因為是一個P-鞅，所以是一個上鞅，而表達(dá)式（22）只是上鞅的數(shù)量積分解

14、。現(xiàn)在假設(shè)是嚴(yán)格正的P-上鞅，債券價格由（22）規(guī)定，如果上鞅A的數(shù)量積分解具有（22）的形式，其中是一個P-上鞅，是非負(fù)過程，那么相應(yīng)的短期利率過程必是，并且具有密度過程的概率測度是具有不同到期時間債券的價格過程的等價鞅測度。舉個例子來說，令 （23）這里是嚴(yán)格正的遞減函數(shù)，且，是定義在域流概率空間（filtered probability space）上的嚴(yán)格正的鞅，且。然后由（21）立即可以得到 （24）這個模型可以輕松的適合初始曲線：它只要選擇這樣的和就可以了 （25）為了得到短期利率的清晰的表達(dá)式，我們假定是布朗運動中性流，因為是嚴(yán)格正鞅，它必須具有形式，這里是適當(dāng)?shù)目蓽y過程。令是上

15、鞅的數(shù)量積分解，這里為嚴(yán)格正的局部鞅，是嚴(yán)格正的遞減過程且，必須具有的形式，因此由 Ito公式，我們有 （26）通過比較（26）兩邊的項和剩余項，我們發(fā)現(xiàn) （27）因此，如果是一個鞅并且我們由定義一個概率測度，那么是一個唯一的概率測度，滿足 （28）可以由（27）解出，結(jié)果是由（28）我們可以得到短期利率過程的一個清晰的表達(dá)式 （29）特別的，容易證明，這里是遠(yuǎn)期利率。Flesaker-Hughston模型的主要優(yōu)點是我們可以直接用上鞅表示利率衍生物在時刻的價格（到期時刻） （30）通過這個方程可以得到一些利率衍生物價格的顯式表達(dá)式，例如具有上限的衍生物（cap）和可交換的衍生物（swapti

16、ons），建議讀者參閱Rutkowski（1997）。5.利率衍生物的定價給到期日為的利率衍生物定價，有兩種計價單位：銀行存款和-債券。當(dāng)一個衍生物同利率相關(guān)且模型由Ito隨機微分方程給出（比如Vasicek模型或者CIR模型），我們選擇銀行存款作為計價單位。在此種情況下可以得到，利率衍生物的價值表達(dá)式可以從一個偏微分方程解出。假設(shè)短期利率過程服從由（14）給出的單因素模型，考慮在到期日下的利率衍生物，它在任何下有股息并且最終支付為。由等價鞅測度的定義，給出時刻上衍生物的價值 （31）這里。在合適的條件下，F(xiàn)eynman-Kac公式保證可以解下面的偏微分方程 （32）滿足邊界條件 （33）這里

17、 （34）特別的，-債券在時刻上的值由給出，這里是方程（32）在并且滿足邊界條件的解?，F(xiàn)在我們假定利率期限結(jié)構(gòu)由HJM表示，在此種情況下我們把-債券作為計價單位，更精確的說，令是時刻的債券價格。在的時候我們定義為-債券的規(guī)范化形式，把作為計價單位，用表示銀行存款的價值過程?，F(xiàn)在我們要找一個概率測度，滿足：由計價單位貼現(xiàn)的銀行存款的價值過程是一個-鞅。最后，我們定義上概率測度因為-鞅顯然有是-鞅?，F(xiàn)在由（16）有因此由Girsanov定理，是一個-維-布朗運動。如果一個到期時刻為利率衍生物只有最終支付，則由Bayes法則它的時刻的價值可以給出為以下是著名的利率衍生物的一些例子，它們都用到了以上提

18、到的估價方法。（1） 一個具有預(yù)購股票價格的歐式看漲期權(quán)是一個契約，它的最終支付為。（2） 利率交換是發(fā)生在兩對立方（比如A和B）的一種契約，他們進(jìn)行一系列的現(xiàn)金支付交易。A同意以固定的利率支付B，以浮動的利率回收。理論上，本金用于決定支付的多少，并且沒有本金的交易。從A的觀點來看這是利率的衍生物，它以價格支付股息，這里是達(dá)成一致的時刻零上的固定利率。容易看出，時刻的交換價值是。（3） 利率上限是一種金融手段，它為浮動利率債務(wù)有效地設(shè)置一個利率償還的最大值。換句話說，上限就是具有可變利率的貸款，這個利率被限制在某個水平下。如果我們假定短期利率服從方程（14），那么那么貸款的每單位本金以及上限的

19、價值由（31）和（32）給出，此時，。（4） 利率下限是一種金融手段，它為浮動利率債務(wù)有效地設(shè)置一個利率償還的最小值。當(dāng)最終支付為1時,它是一個把最低的作為股息價格的未定權(quán)益。（5） 利率約束（interest rate collar）是在具有相同的支付日期和重置區(qū)間的情況下，從長期考慮時利率有一個上限，從短期考慮時利率有一個下限。6.遠(yuǎn)期價格和未來價格現(xiàn)在考慮具有到期的遠(yuǎn)期契約，它是關(guān)于一個單位的特別資產(chǎn)的，這個資產(chǎn)價格過程為。假定短期利率過程是有界的，并且貼現(xiàn)過程是一個在等價鞅測度下的鞅。令是優(yōu)先資產(chǎn)在時刻的遠(yuǎn)期價格，那么通過定義知道這個契約在到期的支付為，因為這個遠(yuǎn)期契約在時刻的價值應(yīng)該

20、為，我們有因而，它給出了 （35）現(xiàn)在，我們研究未來價格?？紤]一個到期為的未來契約，這個契約是關(guān)于某一特殊資產(chǎn)的單位資產(chǎn)的，它具有價格過程。令是標(biāo)的資產(chǎn)在時刻上的未來價格，假定介于時間段的支付發(fā)生在時刻，由于未來契約在時刻的價值為零，我們必有，這里。為了得到的精確值，我們考慮一個理想的連續(xù)支付，在這種情況下，我們應(yīng)該有，這里，它意味著積分是一個-鞅。因為存在常數(shù)滿足，所以也是一個鞅。因此我們有 （36）從（35）和（36）我們看到如果和是獨立的，那么遠(yuǎn)期價格和未來價格是一致的，舉個例子來說，當(dāng)是一個確定的函數(shù)時，結(jié)論成立。到此為止，我們已經(jīng)介紹了短期利率模型的單因素和多因素模型、HJM模型、F

21、lesaker-Hughston模型，以及利率衍生物定價的一些模型。雖然只是涉及到一些基本理論框架和重要結(jié)論，但是這個理論從產(chǎn)生到發(fā)展直至今天，已經(jīng)得到了廣泛的應(yīng)用。參考文獻(xiàn)1 Black, F. and M. Scholes(1973), The pricing of options and corporate liabilities, J. of Political Economy 81,635-654.2 Brennan, M. J. and Pliska, S. (1991),On the fundamental theorem of asset pricing with an inf

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23、nceton Univ. Press.6 Dybvig, P.H., J. E. Ingersoll and S. A. Ross(1996), Long forward and zero-coupon rates can never fall, J. Business 69,1-257 Flesaker, B. and L. Hughston(1996), Positive interest, Risk Magazine,9(1),46-49.8 Heath, D., A. Jarrow and A. Morton(1987),Bond pricing and the term struct

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