勒貝格積分和黎曼積分的關(guān)系和區(qū)別

1、勒貝格積分的若干簡介我們先學(xué)習(xí)了Riemann積分（簡稱積分），從而慢慢引入到了勒貝格積分，因此我將在下文中分幾部分來講勒貝格積分。首先介紹一下在有界函數(shù)范圍內(nèi)，積分還是存在這很大的缺陷，主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面1：積分與極限可交換的條件太嚴(yán)。積分運(yùn)算不完全是微分運(yùn)算的逆運(yùn)算。不適宜于無界區(qū)間：黎曼積分只能用來在有界區(qū)間內(nèi)對(duì)函數(shù)進(jìn)行積分。缺乏單調(diào)收斂。鑒于積分的上述缺陷，人們致力于對(duì)此進(jìn)行改進(jìn)。1902年，法國數(shù)學(xué)家勒貝格基于可列可加的測(cè)度，成功引進(jìn)了一種新的積分，即Lebesgue積分（簡稱積分）。那么，建立積分的基本思路和步驟是怎么樣的呢？積分的思路也基本與積分一樣先分割，作積分和，取取極限

2、。在重新審視積分和曲邊梯形面積的關(guān)系時(shí)，另一個(gè)建立積分的思路浮現(xiàn)出來。首先，為了避免可測(cè)函數(shù)不是有界函數(shù)，最后的積分值可能會(huì)出現(xiàn)的不定情形的出現(xiàn)，在定義積分時(shí)第一步僅限于非負(fù)函數(shù)。其次，注意到非負(fù)函數(shù)圍成的曲邊梯形的面積，對(duì)于積分，可以將“可測(cè)集分割”加以取代，形成所謂“簡單函數(shù)”，從而過度到積分“橫著數(shù)”的思想。下文將詳細(xì)的介紹積分和積分的區(qū)別和聯(lián)系。關(guān)于Lebesgue積分與Riemann積分的定義比較1.1勒貝格積分的定義3: 定義1：設(shè)是上的非負(fù)可測(cè)函數(shù).我們定義是上的Lebesgue積分是上的非負(fù)可測(cè)簡單函數(shù)，這里的積分可以是+;若,則稱在上Lebesgue可積的。設(shè)是上的可測(cè)函數(shù),

3、若積分，中至少有一個(gè)是有限值,則稱為是上的Lebesgue積分;當(dāng)上式右端兩個(gè)積分值皆為有限時(shí),則稱是上是Lebesgue可積的。定義2：設(shè)是一個(gè)勒貝格可測(cè)集，是定義在上的勒貝格可測(cè)函數(shù)，又設(shè)是有界的，就是說是否存在及，使得，在中任取一分點(diǎn)組,記,并任?。ㄎ覀兗s定，當(dāng)時(shí)，），作和如果對(duì)任意的分法與的任意取法，當(dāng)時(shí)，趨于有限的極限，則稱它為在上關(guān)于勒貝格測(cè)度的積分，記作.定義3：設(shè)是 上的有界可測(cè)函數(shù)。作的任意分割=,其中為互不相交的非空可測(cè)子集。設(shè),則的大和及小和為設(shè)在上的上下積分為若則稱在上是可積的,且稱該共同值為在上的Lebesgue積分,記為。為了便于與R積分的定義比較我羅列了L積分的三

4、種定義，這三種定義是等價(jià)的。由定義1定義L積分的方法可稱為逼近法，所謂逼近法就是從特征函數(shù)的積分入手，然后用簡單可測(cè)函數(shù)來逼近可測(cè)函數(shù)的方法. 由定義2、3定義L積分的方法可稱為劃分法，所謂劃分法就是類似于積分的定義法，先對(duì)可測(cè)集進(jìn)行劃分，在此基礎(chǔ)上給出L積分。對(duì)于定義1的逼近法比較繁瑣但是這種定義易于與R積分的定義比較，下面是R積分的定義。12 黎曼積分的定義不太嚴(yán)格地來說，黎曼積分就是當(dāng)分割越來越“精細(xì)”的時(shí)候，黎曼和趨向的極限。這就是黎曼積分定義的大概描述。嚴(yán)格定義如下：定義1：S是函數(shù)在閉區(qū)間上的黎曼積分，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的，都存在，使得對(duì)于任意的取樣分割只要它的子區(qū)間長度最大值 ，就

5、有： 也就是說，對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果在閉區(qū)間上，無論怎樣進(jìn)行取樣分割，只要它的子區(qū)間長度最大值足夠小，函數(shù)的黎曼和都會(huì)趨向于一個(gè)確定的值，那么在閉區(qū)間上的黎曼積分存在，并且定義為黎曼和的極限，這時(shí)候稱函數(shù)為黎曼可積的。這個(gè)定義的缺陷是沒有可操作性，因?yàn)橐獧z驗(yàn)所有的取樣分割是難以做到的。定義2設(shè)是定義在上的有界函數(shù)，任取一分點(diǎn)組T將區(qū)間分成n部分，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn),1,2,3,.作和令，如果對(duì)任意的分發(fā)與的任意取法，當(dāng)時(shí)，趨于有限的極限，則稱它為在上的黎曼積分，記為 定義3：是函數(shù)在閉區(qū)間a,b上的黎曼積分，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任意的，都存在一個(gè)取樣分割，使得對(duì)于任何比其“精細(xì)”的分割和 ，都有：

6、如果有一個(gè)滿足了其中一個(gè)定義，那么它也滿足另一個(gè)。首先，如果有一個(gè)滿足第一個(gè)定義，那么只需要在子區(qū)間長度最大值的分割中任取一個(gè)。對(duì)于比其精細(xì)的分割，子區(qū)間長度最大值顯然也會(huì)小于，于是滿足：上面對(duì)黎曼積分的三種定義都是等價(jià)的。首先引進(jìn)達(dá)布積分的概念，第二個(gè)定義和達(dá)布積分的定義是等價(jià)的（具體見達(dá)布積分定義）其次我們證明達(dá)布積分的定義滿足第一個(gè)定義。任選一個(gè)分割使得它的上達(dá)布和與下達(dá)布和都與相差不超過 。令等于，其中和是在上的上確界和下確界。再令是和中的較小者。可以看出，當(dāng)一個(gè)分割的子區(qū)間長度最大值小于時(shí)， 關(guān)于它的黎曼和與上達(dá)布和或下達(dá)布和至多相差，所以和至多相差。由于以上原因，黎曼積分通常被定義

7、為達(dá)布積分（即第二個(gè)定義），因?yàn)檫_(dá)布積分比黎曼積分更簡單、更有可操作性。從定義上看，它們的主要區(qū)別是：積分是“豎”著分割區(qū)間，而積分是“橫”著分割值域.前者的優(yōu)點(diǎn)是的度量容易給出，但當(dāng)分法的細(xì)度充分小時(shí)，函數(shù)在上的振幅仍可能較大；后者的優(yōu)點(diǎn)是函數(shù)在上的振幅較小，但一般不再是區(qū)間，而是可測(cè)集.其度量的值一般不易給出.對(duì)定義域與對(duì)值域的分割是積分與積分的本質(zhì)區(qū)別，對(duì)值域進(jìn)行分割求積分的方法使中的點(diǎn)分成幾大類，更簡單明了.另外，積分理論是在測(cè)度理論的基礎(chǔ)上建立的,測(cè)度是平面上度量的推廣，這一理論可以處理有界函數(shù)和無界函數(shù)的情形，而且把函數(shù)定義在更一般的點(diǎn)集上，而不僅僅限于上.然而就是這一點(diǎn)點(diǎn)的差別，

8、使這兩種積分產(chǎn)生了本質(zhì)的區(qū)別,使勒貝格積分具備了很多黎曼積分所不具備的良好性質(zhì).這在下面的討論中可以很清楚的看到.2關(guān)于Lebesgue積分與Riemann積分的計(jì)算比較前面介紹的積分定義顯然過于理論化，很難看出有固定的計(jì)算穩(wěn)定。積分是否只有理論上的意義呢？當(dāng)然不該如此，下面的內(nèi)容我們討論黎曼可積與勒貝格可積之間的聯(lián)系，再利用這種關(guān)系給出一些簡單情況下的積分計(jì)算方法。先約定一些符號(hào)，設(shè)是上的有界函數(shù)，是非退化區(qū)間，記 稱是在上的振幅，是在點(diǎn)處的振幅。當(dāng)函數(shù)確定時(shí)，與簡記為與。我們有這樣幾個(gè)定理1：定理1： 設(shè)是定義在上的函數(shù)，則(1)對(duì)任意，在點(diǎn)連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)(2)集合是閉集。定理2：區(qū)間上的有

9、界函數(shù)黎曼可積的充要條件是集合的測(cè)度為0.定理3: 若有界函數(shù)在上黎曼可積，則在上也是勒貝格可積，且積分值相等，即 定理2說明積分是積分的推廣，定理3說明對(duì)于非負(fù)函數(shù)而言積分也是反常積分的推廣，但是一般情況下積分并不是反常積分的推廣，這主要因?yàn)榉e分是絕對(duì)收斂的積分而收斂的反常積分并不一定絕對(duì)收斂。所以不能以為L積分包括了R積分就得出L積分比R積分優(yōu)越的結(jié)論。然而L積分對(duì)于R積分來講確實(shí)有本質(zhì)上的進(jìn)步。 例1：設(shè)上的函數(shù)計(jì)算.解：因是零測(cè)集，故在上因此得 例2令則在上連續(xù)，在上的反常積分收斂且。但是，同理，。所以在上不是積分確定的，當(dāng)然不是可積。3從極限理論上比較分析勒貝格積分和黎曼積分的優(yōu)缺點(diǎn)

10、31 勒貝格測(cè)度與積分控制收斂定理勒貝格可測(cè)：數(shù)學(xué)上，勒貝格測(cè)度是賦予歐幾里得空間的子集一個(gè)長度、面積、或者體積的標(biāo)準(zhǔn)方法。它廣泛應(yīng)用于實(shí)分析，特別是用于定義勒貝格積分。可以賦予一個(gè)體積的集合被稱為勒貝格可測(cè)；勒貝格可測(cè)集的體積或者說測(cè)度記作。一個(gè)值為的勒貝格測(cè)度是可能的，但是即使如此，在假設(shè)選擇公理成立時(shí)，Rn的所有子集也不都是勒貝格可測(cè)的。不可測(cè)集的“奇特”行為導(dǎo)致了巴拿赫-塔斯基悖論這樣的命題，它是選擇公理的一個(gè)結(jié)果。勒貝格控制收斂定理 ：設(shè)為一個(gè)測(cè)度空間， 是一個(gè)實(shí)值的可測(cè)函數(shù)列。如果逐點(diǎn)收斂于一個(gè)函數(shù)，并存在一個(gè)勒貝格可積的函數(shù)，使得對(duì)每個(gè)，任意，都有則：1：也是勒貝格可積的，；2：

11、其中的函數(shù)一般取為正值函數(shù)。函數(shù)列的逐點(diǎn)收斂和的性質(zhì)可以減弱為幾乎處處成立。由此我們可得到積分的幾個(gè)優(yōu)點(diǎn)。32 勒貝格積分的優(yōu)點(diǎn)L積分優(yōu)點(diǎn)1：在積分中逐項(xiàng)積分問題，也就是積分與極限過程交換順序問題，條件相當(dāng)苛刻，要求被積函數(shù)一致收斂，極限才能通過積分號(hào)，這從運(yùn)算的角度來看不僅不方便，而且限制過強(qiáng)，而積分比積分要求的條件小得多，對(duì)非負(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)幾乎可無條件地逐項(xiàng)積分，就控制收斂定理而言，只須存在控制函數(shù),使得即可，因此在極限換序上積分比積分靈便得多。例如：狄克萊函數(shù),把上的有理點(diǎn)依次排列成：作函數(shù)列則處處收斂于，且，在積分意義下由Lebesgue控制收斂定理 ()但不是可積，盡管在積分意義下，有

12、： ,也談不上()成立。 L積分優(yōu)點(diǎn)2：在積分中可積，有也可積，但反之不成立.例如=,在上可積，但不可積，其大和為1，小和為-1,而在積分中有很好的結(jié)論，積分是絕對(duì)收斂積分。即：在集合上可測(cè)， 可積的充分必要條件是可積，這給研究問題帶來了許多方便。例如：設(shè)在E上可積，試證：f(x)在E上可積非負(fù)可積.（詳見東北師大霍殿清等編實(shí)變函數(shù)學(xué)習(xí)參考與習(xí)題解答第68頁.）其中L積分優(yōu)點(diǎn)3：在積分下二重積分化成累次積分計(jì)算時(shí)，要求被積函數(shù)在積分區(qū)域上連續(xù)，這一要求是比較高的，運(yùn)算起來不方便，特別是對(duì)非負(fù)可測(cè)函數(shù)來講，可無條件地化成累次積分，這些結(jié)果運(yùn)用起來比較方便。參考文獻(xiàn)1 程其襄,張奠宙,魏國強(qiáng).實(shí)變函數(shù)與泛函分析基