內(nèi)積空間的基本概念

1、第四章空間一內(nèi)積空間的基本概念設(shè)是域上的線性空間，對任意，有一個中數(shù)與之對應，使得對任意；滿足1） ；0，當且僅當；2） ；3） ；4） ；稱是上的一個內(nèi)積，上定義了內(nèi)積稱為內(nèi)積空間。定理1.1設(shè)是內(nèi)積空間，則對任意有：。設(shè)是內(nèi)積空間，對任意，命則是上的一個范數(shù)。例設(shè)是區(qū)間上所有復值連續(xù)函數(shù)全體構(gòu)成的線性空間，對任意，定義則與類似，是一個內(nèi)積，由內(nèi)積產(chǎn)生的范數(shù)為上一個內(nèi)積介不是空間。定理1.2設(shè)是內(nèi)積空間，則內(nèi)積是的連續(xù)函數(shù)，即時，。定理1.3設(shè)是內(nèi)積空間，對任意，有以下關(guān)系式成立，1） 平行四邊形法則：2；2） 極化恒等式：（定理1.4設(shè)是賦范空間，如果范數(shù)滿足平行四邊形法則，則可在中定義一

2、個內(nèi)積，使得由它產(chǎn)生的范數(shù)正是中原來的范數(shù)。二正交性，正交系1 正交性設(shè)是內(nèi)積空間，如果，稱與正交，記為。設(shè)是的任意子集，如果與中每一元正交，稱與正交，記為；如果是中兩個子集，對于任意，稱與正交，記。設(shè)是的子集，所有中與正交的元的全體稱為的正交補，記為。定理2.1設(shè)是內(nèi)積空間1） 如果，且，則；2） 如果是的一個稠密子集，即，并且，則；3） 是的任意子集，則是的閉子空間。定理2.2設(shè)是內(nèi)積空間中的完備凸集，則對任意，存在，使得定理2.3（正交分解）設(shè)是空間的閉子空間，則對任意，存在唯一的及，使得2 正交系設(shè)，是內(nèi)積空間中的子集，如果時，稱,是中的一個正交系。設(shè),是一個正交系，如果對每一上，,稱

3、,是一個標準正交系。設(shè)，是的一個正交系，如果包含它的最小閉子空間是全空間，稱,是的正交基。定理2.4設(shè)是內(nèi)積空間中的標準正交系，是個數(shù)，則當且當僅時，取最小值。定理2.5（不等式）設(shè)是內(nèi)積空間中的標準正交系，則對任意，有定理2.6設(shè)是內(nèi)積空間中的一個標準正交系，則是完備的，當且僅當張成的子空間在中稠密。定理2.7設(shè)是空間，是中的標準正交系，則是完備的，當且僅當是完全的。定理2.8設(shè)是空間，是中的標準正交系，則存在，使得并且定理2.9（正交化定理）設(shè)是內(nèi)積空間中的可數(shù)子集，則在中存在標準正交系，使得與張成的子空間相同。3 可分空間的同構(gòu)定理2.10設(shè)是任一可分的無窮維的空間，則存在上到同構(gòu)映射，

4、且保持內(nèi)積。這個定理表示任何一個無窮維中分空間可以表示為“坐標形式” 三表示定理，空間的共軛空間1 表示定理定理3.1（表示定理）設(shè)是空間，是上任意有界線性泛函，則存在唯一的，使得對于每一個，有，并且有。2空間的共軛空間設(shè)是空間，于是對任意，易見是上的一個有界線性泛函，因此由表示定理，存在唯一的，使得（1）定義。定義設(shè)是空間，把（1）式確定的有界線性算子稱為的共軛算子。注意區(qū)別第三章第四節(jié)中定義上的有界線性算子的共軛算子。以后說到空間上的有界算子的共軛算子均指（1）定義的算子，并且把它記為，即的共軛算子是由下式定義的算子：。定義設(shè)是空間，是上的有界線性算子，如果，即對任意則稱是自共軛算子。設(shè)是空間的有界共軛算子，以下是算子的一些簡單性質(zhì)。1） 對任意，是實的。2）3） 算子的特征值是實的。4） 對應于算子的不同特征值的特征向量是正交的。四空間中的自共軛緊算子引理4.1設(shè)是空間，是上的有界共軛算子，如果存在，使得泛函在點達到極大，則由可推出0。定理4.2