初中數(shù)學競賽輔導 整數(shù)問題選講

1、第1講 整數(shù)問題選講【例l】 求一個最小的正整數(shù)，使它的是平方數(shù)，是立方數(shù)，是五次方數(shù)分析與解 因為這個整數(shù)的，是整數(shù)，所以它一定能被2、3、5整除，再考慮這個整數(shù)的最小性要求，它應具有形式：又因為 是平方數(shù)，則均為偶數(shù)因為 是立方數(shù)，則均為3之倍數(shù)因為 是5次方數(shù)，則為5之倍數(shù)進而知 a是3和5的倍數(shù)，且a為奇數(shù)，則a最小為15；b是2和5的倍數(shù)，且b被3除余l(xiāng)，則b最小數(shù)為l0；c是2和3的倍數(shù)，且c被5除余l(xiāng)，則c最小數(shù)為6；故所求數(shù)為 【例2】能同時表示成連續(xù)9個整數(shù)之和、連續(xù)l0個整數(shù)之和及連續(xù)11個整數(shù)之和的最小正整數(shù)是哪個?分析與解 設所求正整數(shù)為A，則依題意A可表示為(其中p，

2、n，k均為整數(shù))： 由、可得： 再由、知n是11的倍數(shù)，且除以9余8故n最小可取44所以A的最小值為10×44+55=495【例3】有一個三位數(shù)，能被35整除，并且各位數(shù)字之和為l5，求這個數(shù)分析與解 設所求三位數(shù)為，則有 , 因為35N，當然有5N，故c=0或c=5當c=0時，有 由7N知 73. 從而72a+l 因為 a + b=15 ， 所以 6a9，故滿足72a+l 的a不存在當c=5時，有 由7N推出76a. 顯然當a =7時成立這時b=3，故所求三位數(shù)為735【例4】一個兩位數(shù)除以它的反序數(shù)所得的商恰好等于余數(shù)，求這個兩位數(shù)分析與解 設這個兩位數(shù)為，則由題意可得： (其中

3、q為自然數(shù))變形為 以下就q的取值進行討論：(1)，有，不可能成立；(2)，有這時y為偶數(shù)： 時，時，均不可能成立；(3)，有，不存在x、y；(4)，有這樣的x、y也不存在；(5)，有，即無解綜上所述，所求兩位數(shù)為52【例5】一整數(shù)a若不能被2和3整除，則必能被24整除分析與解 因為，所以需往證 24 因為a不能被2整除則a為奇數(shù)即a可表示為： (k為整數(shù))所以 能被8整除又 為連續(xù)三整數(shù)之積，必能被3整除，而a不能被3整除，則一定能被3整除由(3，8)=1，知能被3×8=24整除即證【例6】若整數(shù)a、b、c、d和m使能被5整除，且d不能被5整除，證明：總可以找到這樣的整數(shù)n，使得也

4、能被5整除分析與證 設 消去d得： 又由題設d不能被5整除，知m不能被5整除，故m的取值有下列四種情形： ，此時取，此時取 ，此時取 ，此時取都能有5，即有5從而5 B即對任何的m，都可找到相應的m，使5B【例7】試求一個三位數(shù)，使得它的平方的末三位數(shù)字仍是分析與解 由題意我們作它應為1000的倍數(shù)而1000 = 8×125因為(8，125)=1, ，所以由l000推出 8，125 或 125，8由125，知=126，251，376，501，626，751；這里僅有，使8由125 ，知=125，250，375，50'0，625，750，這里僅有時，使8.所以滿足條件的三位數(shù)有

5、376和625【例8】如果a為合數(shù)，則a的最小質(zhì)因數(shù)一定不大于分析與證 設，其中q為最小質(zhì)因數(shù)若，顯然同時也有. 則矛盾，所以結論成立說明 這一結論表明，合數(shù)a一定是不大于的質(zhì)數(shù)的倍數(shù)換句話說，如果所有不大于的質(zhì)數(shù)都不能整除a (al)，那么a一定是質(zhì)數(shù)這就給出了判斷一個數(shù)是不是質(zhì)數(shù)的一種方法，如判斷191是不是質(zhì)數(shù)，由于<14，小于14的質(zhì)數(shù)2，3，5，7，11，13都不能整除191，所以191是質(zhì)數(shù)利用這種方法，可以求出不大于a的所有質(zhì)數(shù)例如求50以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)由于不大于<8的質(zhì)數(shù)有2、3、5、7，可在2，3，4，50中依次劃去2、3、5、7的倍數(shù)(保留2、3、5、7)最后余下

6、的數(shù)：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47就是50以內(nèi)的全體質(zhì)數(shù)這就是著名的愛拉托斯散素數(shù)篩選法 · 思考 用愛拉托斯散篩選法求出100以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)【例9】如果和都是質(zhì)數(shù)，求證：也是質(zhì)數(shù)分析與解 按整數(shù)除以3的余數(shù)對P進行分類討論：當時，為合數(shù)，故當時，為合數(shù)，故于是，由P為質(zhì)數(shù)，僅有P=3，為質(zhì)數(shù)，也為質(zhì)數(shù)所以只要P和為質(zhì)數(shù)，也為質(zhì)數(shù)【例l0】有兩個兩位數(shù)，它們的差為56，它們的平方末兩位數(shù)相同，求這兩個數(shù)分析與解 設這兩個數(shù)為，則有。即有4。又由題設有100，從而25不妨設 。進而有由于a、b是兩位數(shù)(a>b)，所以.即n<

7、;6, 且n為偶數(shù)，即有或n=4經(jīng)驗證當n=4時，故所求兩個數(shù)為78，22【例11】 把一個兩位質(zhì)數(shù)寫在另一個兩位質(zhì)數(shù)后而得到一個四位數(shù)，已知這個四位數(shù)恰能被這兩個質(zhì)數(shù)之和的一半整除，試求所有這樣的四位數(shù)分析與解 設這兩個兩位質(zhì)數(shù)分別為, . ，由題設可得： (m為整數(shù))即因為 所以由x，y是兩個不同的兩位質(zhì)數(shù)，知x，y是兩位奇數(shù)，且, 從而是偶數(shù)，且又, 則只有.而故符合條件的四位數(shù)有8個：1353, 5313, 1947, 4719，2343，4323，2937，3729【例l2】 已知a和b都是自然數(shù)，且。求證：(1) 或3;(2)若，求a和b分析與解 (1)設 (要求d=1或3)，則有

8、 (m，n為自然數(shù)，由得： 由得 因為 所以d3，或d a，或db當d3時，d=1或d=3，當da或db時，同時有da+b，所以da，db，由, 知d=1故或3由知： 或由此求得 或即所求兩數(shù)為7和17【例l3】設是兩個不同時等于0的整數(shù)，且是形如(x和y都是整數(shù))的數(shù)中的最小者求證：.分析與證 要證 ?？梢Cdd為此，一方面，設即 這說明，也是形如的數(shù)，由于，只有所以 。 因是任意整數(shù)，分別取和，必有即有另一方面，由，知a、b的每一個約數(shù)也是d的約數(shù)，當然有故【例l4】 如果a、b都是正整數(shù)，那么在這b個數(shù)中，能被b整除的數(shù)的個數(shù)等于試證之分析與證 設(a，b)=d，則 其中考察數(shù)列. 即即

9、所以由于(m，n)=1，要使這b個數(shù)中一些數(shù)是整數(shù)，必須是1，2，3，dn這b個數(shù)中的數(shù)能被n整除而在1，2，3，dn這b個數(shù)中能被n整除的數(shù)的個數(shù)為故在中能被b整除的數(shù)的個數(shù)為【例l5】設是一個質(zhì)數(shù)，求證：分別被除所得的余數(shù)各不相同。分析與證 假設有兩個正整數(shù)。使、被除所得的余數(shù)相同，則有，兩式相減得 即 從而有 此式是不可能成立的，因為 為質(zhì)數(shù)故被除所得的余數(shù)不可能相同能力訓練 1一個四位數(shù)是奇數(shù)，它的首位數(shù)字小于其余各位數(shù)字，而第二位數(shù)字大于其他各位數(shù)字，第三位數(shù)字等于首末兩位數(shù)字的和的兩倍，求這個四位數(shù) 2有四個互異的正整數(shù)，最大數(shù)與最小數(shù)之差是4，最大數(shù)與最小數(shù)之積是奇數(shù)，而這四個數(shù)

10、的和是最小的兩位奇數(shù)，則這四個數(shù)的乘積是多少? 3如果a<b<c<d<e是連續(xù)五個正整數(shù)，b+c+d是完全平方數(shù)，a+b+c+d+e是完全立方數(shù)，求c的最小值 4如果m(m1)=7n2，求證：m是平方數(shù) 5若P與q皆為大于3的質(zhì)數(shù)，P2q224，求證：P2q2能被24整除 6有一個兩位自然數(shù)p，如果對于任何一個能被P整除的六位數(shù)，它的前三位數(shù)與后三位數(shù)所成的兩數(shù)之和也是p的倍數(shù)，那么p的值是多少? 7求證：連續(xù)三個奇數(shù)的平方和加1能被l2整除 8求證：對任意自然數(shù)n，2×7n+1能被3整除 9若(mp)(mn+pq)，求證：(mp)mq+np 10求證：l00

11、000001能被ll整除 11求證：若d2n2(d>o)，則n2+d不是平方數(shù) 12一個四位數(shù)具有這樣的性質(zhì)：用它的后兩位數(shù)去除這個四位數(shù)得一平方數(shù)(如果它的十位數(shù)字是0，就用個位數(shù)字去除)，且l這個平方數(shù)正好是前兩位數(shù)加1的平方例如4802÷2=2401=492 =(48+1)2則具有上述性質(zhì)的最小四位數(shù)是幾? 13三個質(zhì)數(shù)的乘積恰好等于它們和的5倍，求這三個質(zhì)數(shù) 14求傘質(zhì)數(shù)P，使P+14，P+28都是質(zhì)數(shù)，并證明滿足條件的質(zhì)數(shù)是唯一的 15求兩個自然數(shù)，使它們的和是一個每位數(shù)字相同的二位數(shù)，它們的積是一個每位數(shù)字相同的三位數(shù) 16已知兩數(shù)的平方和為900，它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積為432，求這兩個自然數(shù) 17試證：任給五個整數(shù)，必能從中選出3個數(shù)，使得它們的和能被3整除 18任給七個不同的整數(shù)，證明其中必有兩個數(shù)，其和或差是10 的倍數(shù) 19若(a，b)=1，證明：(a+b，ab)=1或220已知自然數(shù)1，2，3，1991(1)把這l991個自然數(shù)分組，I使得每一組至少有個是1 1的倍數(shù)，且至少有一組中含有兩個同是11的倍數(shù)；(2)按上述分組方法，把每一組中是ll的倍數(shù)的自然數(shù)取出來，其和記為s，則s必是91的倍數(shù) 21甲、乙兩人做同一數(shù)