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文檔簡介
1、幾個重要的特殊數(shù)列基礎知識1斐波那契數(shù)列萊昂納多斐波那契(11751250)出生于意大利比薩市,是一名聞名于歐洲的數(shù)學家,其主要的著作有算盤書、實用幾何和四藝經(jīng)等。在1202年斐波那契提出了一個非常著名的數(shù)列,即: 假設一對兔子每隔一個月生一對一雌一雄的小兔子,每對小兔子在兩個月以后也開始生一對一雌一雄的小兔子,每月一次,如此下去。年初時兔房里放一對大兔子,問一年以后,兔房內(nèi)共有多少對兔子? 這就是非常著名的斐波那契數(shù)列問題。其實這個問題的解決并不是很困難,可以用表示第個月初時免房里的免子的對數(shù),則有,第個月初時,免房內(nèi)的免子可以分為兩部分:一部分是第個月初就已經(jīng)在免房內(nèi)的
2、免子,共有對;另一部分是第個月初時新出生的小免子,共有對,于是有。 現(xiàn)在就有了這個問題:這個數(shù)列的通項公式如何去求?為了解決這個問題,我們先來看一種求遞歸數(shù)列通項公式的求法特征根法。 特征根法:設二階常系數(shù)線性齊次遞推式為(),其特征方程為,其根為特征根。 (1)若特征方程有兩個不相等的實根,則其通項公式為(),其中A、B由初始值確定; (2)若特征方程有兩個相等的實根,則其通項公式為(),其中A、B由初始值確定。(這個問題的證明我們將在后面的講解中給出) 因此對于斐波那契數(shù)列,對應的特征方程為,其特征根為: ,所以可設其通項公式為,
3、利用初始條件得,解得 所以。 這個數(shù)列就是著名的斐波那契數(shù)列的通項公式。斐波那契數(shù)列有許多生要有趣的性質(zhì),如: 它的通項公式是以無理數(shù)的形式給出的,但用它計算出的每一項卻都是整數(shù)。斐波那契數(shù)列在數(shù)學競賽的組合數(shù)學與數(shù)論中有較為廣泛地應用。為了方便大家學習這一數(shù)列,我們給出以下性質(zhì):(請同學們自己證明) (1)斐波那契數(shù)列的前項和; (2); (3)(); (4)(); (5)(); 2分群數(shù)列將給定的一個數(shù)列:按照一定的規(guī)則依順序用括號將它分組,則可以得到以組為單位的序列。如在上述數(shù)列中,我們將作為第一組
4、,將作為第二組,將作為第三組,依次類推,第組有個元素,即可得到以組為單位的序列:(),(),(),我們通常稱此數(shù)列為分群數(shù)列。 一般地,數(shù)列的分群數(shù)列用如下的形式表示:(),(),(),其中第1個括號稱為第1群,第2個括號稱為第2群,第3個括號稱為第3群,第個括號稱為第群,而數(shù)列稱為這個分群數(shù)列的原數(shù)列。如果某一個元素在分群數(shù)列的第個群中,且從第個括號的左端起是第個,則稱這個元素為第群中的第個元素。 值得注意的是一個數(shù)列可以得到不同的分群數(shù)列。如對數(shù)列分群,還可以得到下面的分群數(shù)列: 第個群中有個元素的分群數(shù)列為:(),(),(); 第個群中有個元素的分
5、群數(shù)列為:(),(),()等等。 3周期數(shù)列對于數(shù)列,如果存在一個常數(shù),使得對任意的正整數(shù)恒有成立,則稱數(shù)列是從第項起的周期為T的周期數(shù)列。若,則稱數(shù)列為純周期數(shù)列,若,則稱數(shù)列為混周期數(shù)列,T的最小值稱為最小正周期,簡稱周期。 周期數(shù)列主要有以下性質(zhì): (1)周期數(shù)列是無窮數(shù)列,其值域是有限集; (2)周期數(shù)列必有最小正周期(這一點與周期函數(shù)不同); (3)如果T是數(shù)列的周期,則對于任意的,也是數(shù)列的周期; (4)如果T是數(shù)列的最小正周期,M是數(shù)列的任一周期,則必有T|M,即M=(); (5)已知數(shù)列滿足(為常數(shù)),分別為
6、的前項的和與積,若,則,; (6)設數(shù)列是整數(shù)數(shù)列,是某個取定大于1的自然數(shù),若是除以后的余數(shù),即,且,則稱數(shù)列是關(guān)于的模數(shù)列,記作。若模數(shù)列是周期的,則稱是關(guān)于模的周期數(shù)列。 (7)任一階齊次線性遞歸數(shù)列都是周期數(shù)列。 4階差數(shù)列對于一個給定的數(shù)列,把它的連續(xù)兩項與的差記為,得到一個新數(shù)列,把數(shù)列稱為是原數(shù)列的一階差數(shù)列;如果,則稱數(shù)列是數(shù)列的一階差數(shù)列,是的二階差數(shù)列;依次類推,可以得到數(shù)列的階差數(shù)列,其中。 如果某一數(shù)列的階差數(shù)列是一非零常數(shù)列,則稱該數(shù)列為階等差數(shù)列。其實一階等差數(shù)列就是我們通常說的等差數(shù)列;高階等差數(shù)列是二階或二階以上等差數(shù)列的
7、統(tǒng)稱。 高階等差數(shù)列具有以下性質(zhì): (1)如果數(shù)列是階等差數(shù)列,則它的一階等差數(shù)列是階差數(shù)列; (2)數(shù)列是階等差數(shù)列的充要條件是:數(shù)列的通項是關(guān)于的次多項式; (3)如果數(shù)列是階等差數(shù)列,則其前項之和是關(guān)于的次多項式。 高階等差數(shù)列中最常見的問題是求通項公式以及前項和,更深層次的問題2是差分方程的求解。解決問題的基本方法有: (1)逐差法:其出發(fā)點是; (2)待定系數(shù)法:在已知階數(shù)的等差數(shù)列中,其通項與前n項和Sn是確定次數(shù)的多項式(關(guān)于n的),先設出多項式的系數(shù),再代入已知條件解方程組即得 (3)裂項相消法:其
8、出發(fā)點是an能寫成=f(n+1)f(n) (4)化歸法:把高階等差數(shù)列的問題轉(zhuǎn)化為易求的同階等差數(shù)列或低階等差數(shù)列的問題,達到簡化的目的 設數(shù)列不是等比數(shù)列:若它的一階等差數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列,則稱它是一階等比數(shù)列;若它的一階差數(shù)列不是等比數(shù)列,而二階差數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列,則稱這為二階等比數(shù)列。一般地說,如果某一個數(shù)列它的階等差數(shù)列不是等比數(shù)列,而階差數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列,則稱這個數(shù)列為階等比數(shù)列,其中。 0階等比數(shù)列就是我們通常所說的等比數(shù)列,一階及二階以上的等比數(shù)列,統(tǒng)稱為高階等比數(shù)列。典例分析例1數(shù)列的通項公式為,記,求所有的正整數(shù),使得
9、能被8整除 (2005年上海競賽試題) 解:記 注意到,可得因此,Sn+2除以8的余數(shù),完全由Sn+1、Sn除以8的余數(shù)確定 ,故由(*)式可以算出各項除以8的余數(shù)依次是1,3,0,5,7,0,1,3,它是一個以6為周期的數(shù)列,從而 故當且僅當 例設是下述自然數(shù)N的個數(shù),N的各位數(shù)字之和為,且每位數(shù)字只能取1、3或4,求證:是完全平方數(shù),這里 分析:這道題目的證法很多,下面我們給出借助于斐波那契數(shù)列證明的兩種方法。 方法一:利用斐波那契數(shù)列作過渡證明。 設,其中且。 假設,刪去時,則
10、當依次取1,3,4時,分別等于,故當時, (1) 作數(shù)列:且, 現(xiàn)用數(shù)學歸納法證明下述兩式成立: (2)
11、; (3)因為故當時(2)(3)兩式成立。 假設當()時,(2)(3)兩式成立,由當時,由(1)式、的定義以及歸納假設,知 這樣(2)(3)兩式對于成立。故(2)(3)兩式對于一切自然數(shù)成立。,由(2)即可知是完全平方數(shù)。 方法二:由的遞推關(guān)系式尋求的遞推關(guān)系式,從這個遞推關(guān)系式對求與斐波那契數(shù)列的關(guān)系。 設,其中且。 假設,刪去時,則當依次取1
12、,3,4時,分別等于,故當時, 所以 令,則當時,有 因為,下用數(shù)學歸納法證明,其中是斐波那契數(shù)列:且, 當時結(jié)論顯然; 設時結(jié)論成立,于是 即當時命題成立。 從上述證明可知,對一切正整數(shù),是完全平方數(shù),從而也是完全平方數(shù)。 例3將等差數(shù)列:中所有能被3或5整除的數(shù)刪去后,剩下的數(shù)自小到大排成一個數(shù)列,求的值.(2006年江西省競賽試題) 解:由于,故若是3或5的倍數(shù),當且僅當是3或5的倍數(shù). 現(xiàn)將數(shù)軸正向分成一系列長為60的區(qū)間段:(0,+?)(0,60(6
13、0,120(120,180,注意第一個區(qū)間段中含有的項15個,即3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.其中屬于的項8個,為:,于是每個區(qū)間段中恰有15個的項,8個的項,且有,kN,1r8.由于20068×250+6,而,所以. 例4將正奇數(shù)集合從小到大按第組有個奇數(shù)進行分組:1,3,5,7,9,11,13,15,17,問1991位于第幾組? 解:需要寫出第n組的第1個數(shù)與最后一個數(shù),1991介于其中,而第n組的最后一個數(shù)為。 第n組的第一個數(shù)即第n1組的最后一個數(shù)后面的奇數(shù),為2(n1)21+2=2(n1)
14、2+1。由題意知2(n1)2+1, 解得(n1)2且,從而且,故,即1991位于第32級中。例5設等差數(shù)列的首項是,公差為,將按第組有個數(shù)的法則分組如下: , 試問是第幾組的第幾個數(shù)?并求出所在那組的各項的和。 解:設位于第組,則前組共有3+6+9+3(k1)=項, 所以即 解此方程組得:, 因為且(,所以。 因此,是第組的第個數(shù),其中。 因為第組是以為首項,為公差的等差數(shù)列,所以其所有項的和等于,其中。 例設奇數(shù)數(shù)列:1,3,5,7,9 (1)
15、160; 按2,3,2,3的個數(shù)分群如下: (1,3),(5,7,9),(11,13),(15,17,19),(2) (I)試問數(shù)列(1)中的2007是分群數(shù)列(2)中的第幾群中的第幾個元素? (II)求第個群中的所有的元素之和。 解:(I)將數(shù)列(1)重新分群,按每個群含5個元素的方式分群: (1,3,5,7,9),(11,13,15,17,19),(3) 由于2007排在(1)中的第1004個,因此2007是分群數(shù)列(3)中的第201群中的第4個元素。對照分群數(shù)列(2)與(3),容易知道(3)中的
16、第201個群的第4個元素是數(shù)列(2)中的第402個群中的第2個元素,所以2007是分群數(shù)列(2)中第402群中的第2個元素。 (II)對分偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況進行討論。 若為偶數(shù),則,則數(shù)列(2)的第群的元素是數(shù)列(3)的第群的第3,4,5個元素,由于數(shù)列(3)的第群的5個元素之和是,所以數(shù)列(2)中的第群的元素之和為; 若為奇數(shù),設,則數(shù)列(2)的第群的元素是數(shù)列(3)的第群的第1,2個元素。由于數(shù)列(3)的第群的5個元素之和是,所以數(shù)列(2)中的第群的元素之和為。 例7數(shù)列:1,9,8,5,其中是的個位數(shù)字(), 試證明:是4的倍數(shù)。
17、0;證明:數(shù)列中為奇或偶數(shù)時,分別記為1,0,則得數(shù)列:1,1,0,1,0,1,1,0,0,1,0,0,0,1,1,1;1,1,0,1,0,1,1,0,0,1,0,0,0,1,1,1;且與的奇偶性相同。由于數(shù)列,的定義及前面得到的新數(shù)列的一些項,可見是以15為周期的周期數(shù)列,即得,而,于是即在1985到2000的這16項中,奇數(shù)、偶數(shù)各有8項,由于偶數(shù)的平方能被4整除,奇數(shù)的平方被4除余1,由此命題得證。 例8已知,試證:對于一切,所有的項都不是4的倍數(shù)。 證明:方法一:由題設中的遞推關(guān)系,知的奇偶性只有三種情況:奇,偶,奇;偶,奇,奇;奇,奇,偶。均不是4的倍數(shù)。下面證明
18、中的所有項都不是4的倍數(shù)。 假設存在是4的倍數(shù)的最小下標,則,且均為奇數(shù),為偶數(shù)。 由于和,得所以是4的倍數(shù),與所設的矛盾!因此命題得證。 方法二:由于該數(shù)列不是周期數(shù)列,但模4后得到的數(shù)列是周期數(shù)列,從開頭的幾項1,2,7,29,22,23,49,26,17,模4后得1,2,3,1,2,3,1,2,3,發(fā)現(xiàn)這是一個周期為3的周期數(shù)列。 設,對于(其中)成立,則,所以與奇偶性相同,所以 或 因此,將數(shù)列每一項模4后,余數(shù)成周期數(shù)列,周期為3,因此所有項都不是4的倍數(shù)。 例9一個三階等差數(shù)列an的前4項依次為30,72,140
19、,240,求其通項公式 解:由性質(zhì)(2),an是n的三次多項式,可設an=An3+Bn2+Cn+D 由a1=30、a2=72、a3=140、a4=240得 解得: 所以an=n3+7n2+14n+8 例10對于任一實數(shù)序列A=a1,a2,a3,,定義A為序列a2-a1,a3-a2,,它的第n項為an+1-an,假設序列(A)的所有項均為1,且a19=a92=0,求a1 解:設序列A的首項為d,則序列A為d,d+1,d+2,它的第n項是d+(n-1),因此序列A的第n項 顯然an是關(guān)于n的二次多項式,首項等比數(shù)列為,
20、;由于a19=a92=0,必有,所以a1=819. 方法二:由題意知,數(shù)列A是二階等差數(shù)列,因面它的通項是關(guān)于的二次三項式,故可設,由a19=a92=0,知19,92是方程的兩個根,所以 ,又已知, 從而 解得,所以,將代入求得a1=819. 針對練習:(主要是階差數(shù)列的練習)1數(shù)列an的二階差數(shù)列的各項均為16,且a63=a89=10,求a51 解:法一:顯然an的二階差數(shù)列bn是公差為16的等差數(shù)列,設其首項為a,則bn=a+(n-1)×16,于是an= a1+ =a1+(n-1)a+8(n-1)(n
21、-2)這是一個關(guān)于n的二次多項式,其中n2的系數(shù)為8,由于a63=a89=10,所以 an=8(n-63)(n-89)+10,從而a51=8(51-63)(51-89)+10=3658 解:法二:由題意,數(shù)列an是二階等差數(shù)列,故其通項是n的二次多項式,又a63=a89=10,故可設an=A(n-63)(n-89)+10 由于an是二階差數(shù)列的各項均為16,所以(a3-a2)-(a2-a1)=16 即a3-2a2+a1=16,所以 A(3-63)(3-89)+10-2A(2-63)(2-89)+10+A(1-63)×(1-89)+10
22、=16 解得:A=8 an=8(n-63)(n-89)+10,從而a51=8(51-63)(51-89)+10=3658 2求和:Sn=1×3×22+2×4×32+n(n+2)(n+1)2 解:Sn是是數(shù)列n(n+2)(n+1)2的前n項和, 因為an=n(n+2)(n+1)2是關(guān)于n的四次多項式,所以an是四階等差數(shù)列,于是Sn是關(guān)于n的五次多項式 k(k+2)(k+1)2=k(k+1)(k+2)(k+3)-2k(k+1)(k+2),故求Sn可轉(zhuǎn)化為求 Kn=和Tn= k(
23、k+1)(k+2)(k+3)= k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)-(k-1) k(k+1)(k+2)(k+3),所以 Kn= Tn= 從而Sn=Kn-2Tn= 3已知整數(shù)列an適合條件: (1)an+2=3an+1-3an+an-1,n=2,3,4, (2)2a2=a1+a3-2 (3)a5-a4=9,a1=1 求數(shù)列an的前n項和Sn 解:設bn=an+1-an,Cn=bn+1-bn Cn=bn+1-bn= (an+2-an+1)-( an+1-an)=an+2-2an+1+an=(3an+1-3an+an-1) -2an+1+an=an+1-2an+an-1 =Cn-1 (n=2,3,4,) 所以 Cn是常數(shù)列 由條件(2)得C1=2,則an是二階等差數(shù)列 因此an=a1+ 由條件(3)知b4=9,從而b1=3,于是an=n2 4求
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