劉興坤畢業(yè)論文

1、非周期函數(shù)的Fourier展開方法及其應(yīng)用 劉興坤(陜西理工學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)092班,陜西 漢中723000)指導(dǎo)教師:王樹勛 摘要主要討論如何將定義在a,b滿足Dirichlet條件的非周期函數(shù)展成的Fourier級(jí)數(shù).在不同的方法中加以利用. 關(guān)鍵詞函數(shù);Fourier級(jí)數(shù);Dirichlet條件；延拓引言 通過(guò)對(duì)周期函數(shù)的Fourier展開的學(xué)習(xí),對(duì)周期函數(shù)的Fourier展開進(jìn)行研究,發(fā)現(xiàn)對(duì)于非周期函數(shù)并沒(méi)有展開式,所以,運(yùn)用周期延拓,變換等手段給出在任意區(qū)間上的函數(shù)的Fourier展開方法與公式.1引 理若在整個(gè)數(shù)軸上=且等式的右邊級(jí)數(shù)一致收斂，則有如下關(guān)系式：

2、2定理1設(shè)的周期為,在區(qū)間上作變換,則 所以定義在上的周期為的函數(shù).就有 ,代回變量,即 相應(yīng)的Fourier系數(shù)為 =(n=0,1,2,)， =，(n=1,2，).例1 將= 展開為Fourier級(jí)數(shù).解 令，計(jì)算的Fourier系數(shù)： = =對(duì)n=1,2,，利用分部積分法 = =，于是得到的Fourier級(jí)數(shù) +.3定 理13.1設(shè),且滿足Dirichlet條件，則可以展成Fourier級(jí)數(shù)： 其中為常數(shù) (n=0,1,2,)， (n=1,2,).當(dāng)為的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，該級(jí)數(shù)收斂于；當(dāng)為的間斷點(diǎn)時(shí)， 該級(jí)數(shù)收斂于;當(dāng)時(shí)， 該級(jí)數(shù)收斂于.證明 作變換,則,當(dāng)時(shí), ,且： 其中: = = = = =

3、 (n=0,1,2,)，同理可得： = (n=1,2,).由于當(dāng)為的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，=, 故當(dāng)為的連續(xù)點(diǎn)時(shí)該級(jí)數(shù)收斂于; 當(dāng)為的間斷點(diǎn)時(shí)，該級(jí)數(shù)收斂于; 當(dāng)時(shí)，由于, ,故此時(shí)該級(jí)數(shù)收斂于. 該定理把定義在上的非周期函數(shù)展成了Fourier級(jí)數(shù)，且給出了它的展開公式。 公式中的為任何一個(gè)常數(shù)，當(dāng)取不同的值時(shí)，可以得到的無(wú)窮多個(gè)展開式，從而說(shuō)明：定義在上的函數(shù)的Fourier展開式不是唯一的。 特別的,取的一些特殊值,可得的一些常見的展開式: 令=得的Fourier展開式為: 其中: = (n=0,1,2,)， = (n=1,2,).令=得的Fourier展開式為： 其中: = (n=0,1,2,)，

4、 = (n=1,2,). 令,得的Fourier展開式為： 其中: = (n=0,1,2,)， = (n=1,2,). 令=，得的Fourier展開式為： 其中: = (n=0,1,2,)， = (n=1,2,). 定理中的區(qū)間還可以為開區(qū)間或半開區(qū)間，也可以為無(wú)窮區(qū)間。當(dāng)區(qū)間為無(wú)窮區(qū)間時(shí)要求在該區(qū)間上絕對(duì)可積。4 定理24.1 設(shè)非周期函數(shù)在上有定義，則函數(shù) =， ，k=0稱為非周期函數(shù)的周期延拓，延拓后的函數(shù)在上是周期為2的周期函數(shù)，并且在上有=端點(diǎn)處收斂例2 將函數(shù) 展開為Fourier級(jí)數(shù).解 所給函數(shù)滿足Dirichlet條件.拓展周期的函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開式在收斂于. =

5、= = = = = (n=1,2，)所求Fourier級(jí)數(shù)為: 推廣:利用Fourier展開式求出幾個(gè)特殊級(jí)數(shù)的和因?yàn)?當(dāng)時(shí)， 4.2 非周期函數(shù)的奇偶延拓 設(shè)定義在上,延拓為為周期的函數(shù) 令 且, 則有如下兩種情況 . 奇延拓 則 的Fourier正弦級(jí)數(shù) 4.2.2 偶延拓 則 的Fourier余弦級(jí)數(shù) 例3 將函數(shù)分別展開成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù). 解 (1)求正弦級(jí)數(shù). 對(duì)進(jìn)行奇延拓, = = = (0<x<)(2) 求余弦級(jí)數(shù) 對(duì)進(jìn)行偶延拓, = 例4 把 (0<x<2)展成（1） 正弦級(jí)數(shù)； （2）余弦級(jí)數(shù) 解 （1）將作奇周期延拓,則有 (0<x<

6、2)(2) 將作偶周期延拓,則有 =2 = (k=1,2,)所以 = (0<x<2)說(shuō)明: 此式對(duì)也成立，據(jù)此有 由此還可以導(dǎo)出 = 所以 4.3 任意區(qū)間上非周期函數(shù)的Fourier展開方法方法1 令 即 周期延拓在上展成Fourier級(jí)數(shù)將帶入展開式在a,b上的Fourier級(jí)數(shù)方法2 令,即 奇偶式周期延拓在上展成正弦或余弦級(jí)數(shù) 將代入展開式 在上的正弦或余弦級(jí)數(shù)例5 將函數(shù)展開成Fourier級(jí)數(shù).解 作變量代換 ， = 補(bǔ)充函數(shù) 的定義，令 然后將作周期延拓其拓展的周期函數(shù)滿足收斂定理的條件，且展開式在內(nèi)收斂于. 所以 一般的，奇延拓的收斂域不包括端點(diǎn)，偶延拓的收斂域包括

7、端點(diǎn) 參考文獻(xiàn)1 陳紀(jì)修、于崇華、金路數(shù)學(xué)分析下冊(cè)，M北京:高等教育出版社;2 沈滿昌 數(shù)學(xué)分析M 北京:高等教育出版社;3 高尚華 數(shù)學(xué)分析M(第三版). 北京:高等教育出版社;4 王樹勛 非周期函數(shù)展成Fourier級(jí)數(shù)的方法J陜西:陜西理工學(xué)院學(xué)報(bào)第4期.5 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析上冊(cè)M.高等教育出版社.6 梁昆淼.數(shù)學(xué)物理方法M.北京:人民教育出版社.7 樓建華,李曉波,畢成良.關(guān)于周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的一個(gè)注記J. 數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí). 8 趙世安.函數(shù)的周期性J. 廣西右江民族師專學(xué)報(bào). 9 史頤慶.有關(guān)周期函數(shù)一個(gè)定理的改進(jìn)J. 安徽教育學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版). 10 熊元新

8、,劉滌塵.傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性與吉伯斯現(xiàn)象J. 武漢大學(xué)學(xué)報(bào)(工學(xué)版). 11 James S Walker.Fourier series. "Encyclopedia of PhysicalScience and Technology" . The method of Fourier expansion for apeiriodic function and applicationLiuXingkun（Grade09,Class02,Major Mathematics and Applied Mathematics,School of Mathematics and Computer Science,Shaanxi University of Technology，Hanzhong 723001，Shaanxi）Tutor: Wang ShuxunAbstract: The article mainly discusses how to expand aperiodic function that defined in a, b Diri