偏微分方程數(shù)值解雙曲方程書稿

1、雙曲型方程的有限差分法線性雙曲型方程定解問題：（a）一階線性雙曲型方程（b）一階常系數(shù)線性雙曲型方程組其中，階常數(shù)方程方陣，為未知向量函數(shù)。（c）二階線性雙曲型方程（波動方程）為非負函數(shù)（d）二維，三維空間變量的波動方程1 波動方程的差分逼近1.1 波動方程及其特征線性雙曲型偏微方程的最簡單模型是一維波動方程：（1.1） 其中是常數(shù)。（1.1）可表示為：，進一步有由于當時為的全導數(shù)（）,故由此定出兩個方向（1.3） 解常微分方程（1.3）得到兩族直線（14） 和 稱其為特征。特征在研究波動方程的各種定解問題時，起著非常重要的作用。比如，我們可通過特征給出（1.1）的通解。（行波法、特征線法）將

2、（1.4）視為與之間的變量替換。由復合函數(shù)的微分法則同理可得，將和代入（1.1）可得：即有 求其對的積分得： 其中是的任意可微函數(shù)。再求其對的積分得：（1.5） 其中和均為任意的二次連續(xù)可微函數(shù)。（1.5）為（1.1）的通解，即包含兩個任意函數(shù)的解。為了確定函數(shù)和的具體形式，給定在軸的初值（1.5） 將（1.5）式代入上式，則有（）注意；，有（）并對積分一次，得與（）式聯(lián)立求解，得將其回代到通解中，即得（1.1）在（1.5）條件下的解：（1.6） 即為法國數(shù)學家Jean Le Rond dAlembert (1717-1783)提出的著名的DAlembert公式。由DAlembert公式還可以

3、導出解的穩(wěn)定性，即當初始條件（1.5）僅有微小的誤差時，其解也只有微小的改變。如有兩組初始條件：滿足 ，則 +即顯然，當有限時，解是穩(wěn)定的。此外，由DAlembert公式可以看出，解在點，的值僅依賴于軸上區(qū)間內(nèi)的初始值，與其他點上的初始條件無關。故稱區(qū)間為點的依存域。它是過點的兩條斜率分別為的直線在軸上截得的區(qū)間。對于初始軸上的區(qū)間，過點作斜率為的直線；過點作斜率為的直線。它們和區(qū)間一起構成一個三角區(qū)域。此三角區(qū)域中任意點的依存區(qū)間都落在內(nèi)部。所以解在此三角形區(qū)域中的數(shù)值完全由區(qū)間上的初始條件確定，而與區(qū)間外的初始條件無關。這個三角形區(qū)域稱為區(qū)間的決定域。在上給定初始條件，就可以在其決定域中確

4、定初值問題的解。1.2顯格式現(xiàn)在構造（1.1）的差分逼近。取空間步長和時間步長，用兩族平行直線，作矩形網(wǎng)絡。于網(wǎng)點處Taylor展開成代入（1.1）,并略去截斷誤差，則得差分格式：（1.7） ，這里表示于網(wǎng)點處的近似值。初值條件（1.5）用下列差分方程近似：（1.8） （1.9） 注意：（1.7）的截斷誤差階是，而（1.9）的截斷誤差階僅是。為此需要提高（1.9）的精度，可用中心差商代替，即（1.10） 為了處理，在（1.7）中令，得進一步，其中。并用（1.10）式的代入上式得即（1.11） 這樣，利用（1.8） (1.11)，可以由初始層的已知值，算出第一層各網(wǎng)格節(jié)點上的值。然后利用（1.7

5、）或顯式三層格式（1.12） 可以逐層求出任意網(wǎng)點值。以上顯式三層格式也可用于求解混合問題：（1.13）取，。除（1.7）（1.9）外。再補充邊值條件（1.14） ，1 3穩(wěn)定性分析下面我們要討論（1.7）的穩(wěn)定性。為引用Fourier方法，我們把波動方程（1.1）化成一階偏微分方程組，相應地把顯式三層格式（1.7）化成二層格式。一種簡單的做法是引進變量，于是（1.1）化為，這樣會使得初值與不適定（不唯一），更合理的方法是再引進一個變量，將(1.1)化為（1.15） ，注意到：；若令，則(1.5)可寫成(1.16) 相應地，將（1.7）寫成等價的雙層格式：(1.17) 即 其中，?？芍苯域炞C之

6、。記為網(wǎng)比。用Fourier方法可以證明，差分方程(1.17)穩(wěn)定的必要條件是網(wǎng)比（1.19） 。充分條件是網(wǎng)比（1.19） 。Courant等證明，時，差分解仍穩(wěn)定，收斂。但是要求有更光滑的初值。習慣上也稱為Courant條件或C-F-L（Courant-Fridrichs-Lewy）條件。穩(wěn)定性條件（1.19）有直觀的幾何解釋。從方程（1.12）可看出，依賴于前兩層的值：，而這四個值由依賴于，依賴于：，依賴于：，依賴于：，依賴于：，以此類推，可知，最終依賴于初始層上的下列值：， ， ，因此，稱軸上含于區(qū)間的網(wǎng)點為差分解的依存域，它是軸上被過和以及和的兩條直線所切割下來的區(qū)間所覆蓋的網(wǎng)域。而

7、過的兩條特征線為：。差分格式穩(wěn)定的必要條件為：或，并且進而?？梢姴罘指袷椒€(wěn)定的必要條件是：差分解的依存域必須包含微分方程解的依存域，否則差分格式不穩(wěn)定。用依存域的概念容易證明：當時，差分解不收斂。1.4 隱式為了得到絕對穩(wěn)定的差分格式，用第層、層、層的中心差商的加權平均去逼近得到下列差分格式： 或 其中是參數(shù)。 可以證明，對于時，差分格式絕對穩(wěn)定；時，差分格式的充要條件是：。當就是顯格式（1.7），一個常用的隱式格式是取此時，差分格式為：或 高維波動方程！3 一階雙曲方程雙曲方程與橢圓方程和拋物方程的一個重要區(qū)別是，雙曲方程具有特征和特征關系，其解對初值有局部依賴性質。初值的函數(shù)性質（如間斷、

8、弱間斷等）也沿著特征傳播，因而其解一般沒有光滑性質。我們在構造雙曲方程的差分逼近時，應充分注意這些特性。下面對于一階雙曲方程，介紹幾種常見的差分格式3.1 迎風格式首先考慮一階線性常系數(shù)雙曲方程（3.1） 此方程雖簡單，但是對我們構造差分格式很有啟發(fā)。我們的主要的目的是構造差分格式，因此只限于考慮純初值問題。對于（3.1）按照用差商代替微商的方法，自然有如下三種格式： （左偏心格式） （右偏心格式） （中心格式）其中和的截斷誤差的階為，的截斷誤差的階為。記（3.3） 將式改寫為： 用Fourier方法分析穩(wěn)定性可知，絕對不穩(wěn)定。時，不穩(wěn)定，而當穩(wěn)定，；時， 不穩(wěn)定，而當穩(wěn)定。這兩個穩(wěn)定條件意味

9、著差分方程的依存域必須包含微分方程的依存域。同樣的思想可用于構造變系數(shù)方程的差分格式。此時可能變號，因此相應的格式為：（3.6） 其中。穩(wěn)定性條件為（3.7） 由（3.7），并取，則知和右端的系數(shù)非負。當時，當時，其中是以為分量的的向量?？傊?。這說明（3.6）穩(wěn)定，按氣體力學的含義（表示氣流速度），稱（3.6）為迎風格式。初邊值問題：邊值條件應該在迎風方向給出! 3.2 積分守恒的差分格式 迎風格式是根據(jù)特征走向構造出來的向前或向后差分格式?，F(xiàn)在以積分守恒方程出發(fā)構造差分格式。所謂守恒方程是指如下散度型偏微分方程（3.13） 設是平面中任意有界域，由Green公式其中。于是可將（3.13）寫成積分守恒方程（3.14） 0 1. Lax格式首先，我們從（3.14）出發(fā)構造所謂Lax格式。取為，和為頂點的開矩形。為其邊界，則（3.15） +右端第一積分用梯形公式，第二積分用中矩形公式即 ，第三、第四積分用如下矩形公式計算：，從而有兩端同除以得Lax格式（3.16）