全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學一試題及精析

1、2010年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學（一）試題及精析一、選擇題（本題共8小題，每小題4分，滿分32分，每個小題所給四個選項中只有一個符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）（1）極限等于 （ ）1； ； ； 。解答 ，選。（2）設(shè)函數(shù)由方程確定，其中為可微函數(shù)，且，則等于 （ ）解答 兩邊對求偏導，得，解得；兩邊對求偏導，得，解得，于是，選。（3）設(shè)為正整數(shù)，則反常積分的收斂性（）僅與有關(guān)；僅于有關(guān)；與都有關(guān)；與都無關(guān)。解答顯然廣義積分有兩個瑕點與，顯然收斂性與有關(guān)，當時收斂，當時發(fā)散；的收斂性與有關(guān)，選。（4）等于（）；。解答，因為，所以，選。（5）設(shè)是矩陣，是矩陣，且，其中為階

2、單位矩陣，則（）；。解答，因為且，所以，又顯然，故，選。（6）設(shè)是階實對稱矩陣，且，若，則相似于（）；。解答令，則，因為，即，所以，從而，注意到是非零向量，所以的特征值為和，又因為可對角化的矩陣，所以的秩與的非零特征值個數(shù)一致，所以的特征值為，于是，選。（7）設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為，則等于（）；。解答，選。（8）設(shè)為標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)，為上均勻分布的概率密度函數(shù)，若（），則滿足（）；。解答，因為為概率密度函數(shù)，所以，而，所以，即，選。二、填空題（9）設(shè)，則。解答，于是。（10）。解答。（11）已知曲線的方程為，起點為，終點為，則。解答方法一：補充（起點，終點），由格林公式，而，所以原式

3、。方法二：。（12）設(shè)，則的形心坐標。解答，而， ，所以。（13）設(shè)，若由形成的向量組的秩為，則。解答，因為由組成的向量組的秩為2，所以。（14）設(shè)隨機變量的分布為，則。解答由歸一性得，即，所以。即隨機變量服從參數(shù)為1的泊松分布，于是，故。三、解答題（15）求微分方程的通解。解答微分方程的特征方程為 ，特征值為，則方程的通解為；令原方程的特解為，代入原方程得，于是原方程的通解為（其中為任意常數(shù)）。（16）求的單調(diào)區(qū)間與極值。解答，令，得。，因為，所以為的極小點，極小值為，為的極大點，極大值為。在及上單調(diào)減少，在及上單調(diào)增加。（17）（）比較與（）。（）記（），求。解答（）因為當時，所以，于是。

4、（）因為，而，因為，所以，故，由夾逼定理得。（18）求冪級數(shù)的收斂域與和函數(shù)。解答 由，得冪級數(shù)的收斂半徑為。當時，由交錯級數(shù)審斂法得收斂，故冪級數(shù)的收斂域為。令，則，其中。而，所以，故。（19）設(shè)為橢球面上的動點，若在點處的切平面與平面垂直，求點的軌跡，并計算曲線積分，其中是橢球面位于曲線上方的部分。解答令的坐標為，由得在點處且平面的法向量為 。因為在點處的切平面與平面垂直，所以有，注意到，所以點的軌跡方程為。，將向平面投影，則，兩邊對求導得，解得，兩邊對求導得，解得，于是。（20）設(shè)，已知線性方程組存在兩個不同解。（）求；（）求的通解。解答（）因為線性方程組存在兩個不同解，所以，即，解得或

5、。當時，因為，所以；當時，顯然，所以，故，。（）由，得方程組的通解為 （其中為任意常數(shù)）。（21）設(shè)二次型在正交變換下的標準型為，且的第三列為。（）求；（）證明為正定矩陣。解答因為二次型在正交變換下的標準型為，所以的特征值為，的第三列為，所以對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為。因為為實對稱矩陣，所以的不同特征值對應(yīng)的特征向量正交，令對應(yīng)的特征向量為，由的對應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為。令，則，由，得。（）因為是實對稱矩陣，且的特征值為，所以的特征值為，因為其特征值都大于零，所以為正定矩陣。（22）設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合密度函數(shù)為，。求及。解答 由歸一性得 ，而又，所以，于是。，而，所以，。 （23）設(shè)總體的分布律為，其中為未知參數(shù)，以表示來自總體的簡單隨機樣本（樣