全等三角形總結(jié)

1、 全等三角形總結(jié)A考點(diǎn)精析、重點(diǎn)突破、學(xué)法點(diǎn)撥“全等四解” 全等三角形是初中平面幾何的重要內(nèi)容，它為解決線段以及角的相等問題提供了重要工具，也為以后的學(xué)習(xí)奠定了必要的基礎(chǔ)，因此要學(xué)好平面幾何，必須重視全等三角形的學(xué)習(xí)那么怎樣才能學(xué)好它呢？本文談四點(diǎn)意見，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考組成全等三角形的基本圖形大致有以下幾種： 平移型，如圖中的兩種圖形屬于平移型，它們可看成是由圖形隨某一組對(duì)應(yīng)邊在同一直線上移動(dòng)所構(gòu)成的，故該對(duì)應(yīng)邊的相等關(guān)系一般可由同一直線上的線段之和或差得到； 對(duì)稱型，如下圖中的四種圖形屬于對(duì)稱型，它們的特征是可沿某一直線對(duì)折，直線兩旁的部分能完全重合（軸對(duì)稱圖形），重合的頂點(diǎn)就是全等三角形

2、的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)； 旋轉(zhuǎn)型如圖中的兩種圖形屬于旋轉(zhuǎn)型，它們可看成是以三角形的某一頂點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)而構(gòu)成的，故一般有一對(duì)相等的角隱含在對(duì)頂角或某些角的和或差中 一、從“對(duì)應(yīng)”看全等三角形在說明三角形全等時(shí)，需要找出它們的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，那么，如何正確地找到全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角呢？下面介紹三種方法，希望對(duì)同學(xué)們有所幫助(1)字母順序確定法由于在表示兩個(gè)全等三角形時(shí)，通常是把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上，所以可以利用字母的順序確定對(duì)應(yīng)元素(2)圖形特征確定法有公共邊的，公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊如下左圖，ADB和ADC全等，則AD一定是兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊 有公共角的，公共角一定是對(duì)應(yīng)角，如上中圖，ABD

3、和ACE全等，DAB和EAC是對(duì)應(yīng)角有對(duì)頂角的，對(duì)頂角是對(duì)應(yīng)角如上右圖，ABE和CDF全等，則1和2是對(duì)應(yīng)角兩個(gè)全等三角形的最大的邊（角）是對(duì)應(yīng)邊（角）；最小的邊（角）是對(duì)應(yīng)邊（角）(3)圖形分離法從復(fù)雜的圖形中，找出全等三角形的對(duì)應(yīng)部分是較困難的，這時(shí)可把要證全等的兩個(gè)三角形從圖形中分離出來，用不同顏色標(biāo)出或另畫，圖形簡(jiǎn)單了就容易找出對(duì)應(yīng)元素例 如圖，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，AC=MC=AM，BC=NC=BN，ACM=NCB=60°，請(qǐng)說明：BM=AN. B中考?？碱}型與解題方法技巧一、證明三角形全等的思路常用三角形全等證明線段、角相等，判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA

4、，AAS，HL.可以看出，判定三角形全等一般需要三個(gè)條件，為了讓你掌握這種思路，請(qǐng)結(jié)合口訣學(xué)習(xí)：讀已知，做標(biāo)記，分析起來省力氣；尋隱含，看仔細(xì)，發(fā)現(xiàn)圖中隱藏點(diǎn)；想欠缺，要聯(lián)系，五個(gè)判定需牢記(1)已知兩邊對(duì)應(yīng)相等 思路：找已知兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等，聯(lián)想到“SAS”例1 如圖，OP是AOC和BOD的平分線，OA=OC，OB=OD.求證：AB=CD(2)已知兩角對(duì)應(yīng)相等思路1：找出已知兩角的夾邊對(duì)應(yīng)相等，聯(lián)想“ASA'例2 如圖，已知在ABC中，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，E為AB上一點(diǎn)，D為EF延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，A=ACD，CD與AE相等嗎？說明理由，思路2：找已知一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，聯(lián)想"AA

5、S"例3 如圖，已知1=2，C=D，AC與BD相等嗎？為什么？(3)已知一邊及某一鄰角對(duì)應(yīng)相等思路1：找已知角的另鄰邊對(duì)應(yīng)相等，聯(lián)想“SAS”例4 如圖6-32，點(diǎn)A、E、F、C在同一條直線上，AD=CB，A=C，AE=CF請(qǐng)問B=D嗎？為什么？思路2：找已知邊的另一鄰角對(duì)應(yīng)相等，聯(lián)想“ASA”例5 如圖，AC和BD相交于點(diǎn)E，ABCD，BE=DE.AB與CD相等嗎？說明理由思路3：找已知邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，聯(lián)想“AAS”例6 如圖，已知AB=CD，DEAC，BFAC，垂足分別為E、F，B=D，請(qǐng)問AF=CE嗎？為什么？(4)已知一邊與其對(duì)角對(duì)應(yīng)相等思路：找另一角對(duì)應(yīng)相等，聯(lián)想“AAS

6、”例7 AD與BC相交于O，構(gòu)成如圖所示圖形，已知C=D，AO=BO，請(qǐng)問AOCBOD嗎？為什么？二、談“截長(zhǎng)”論“補(bǔ)短”常利用三角形全等證明兩線段相等，在證明一條線段等于另外兩條線段的和時(shí)，常用到“截長(zhǎng)法”與“補(bǔ)短”法(1)截長(zhǎng)法所謂截長(zhǎng)法，就是在長(zhǎng)線段上截取一段，使截取的線段等于兩條短線段中的一條線段，然后證明剩下的線段等于兩條短線段中的另一條線段例8 如圖，AC=BC，ACB=90°，AD平分CAB.求證：AC+CD=AB.(2)補(bǔ)短法所謂補(bǔ)短法，就是延長(zhǎng)兩條短線段中的一條線段，使延長(zhǎng)的部分等于兩條短線段中的另一條線段，再證明延長(zhǎng)后的線段等于長(zhǎng)線段仍以上面例題為例欲證AC+CD

7、=AB，可延長(zhǎng)AC到E，使CE=CD，連結(jié)DE，設(shè)法證明AB=AE即可如下圖：注：由以上兩種證法不難看出，無論是“截長(zhǎng)法”還是“補(bǔ)短法”，都是通過作輔助線構(gòu)造全等三角形和等腰三角形，并借助它們的相關(guān)知識(shí)達(dá)到證明的目的希望同學(xué)們把這兩種方法掌握好三、“測(cè)量妙法”之“全等”全等三角形在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用十分廣泛，下面就如何利用三角形全等解決生活中的測(cè)量問題舉例說明例9 如圖，有一池塘，要測(cè)池塘兩端A、B的距離，由于條件限制無法直接測(cè)量，請(qǐng)你用學(xué)過的知識(shí)設(shè)計(jì)一種測(cè)量方案，并說明這樣做的道理用同樣的方法可以測(cè)量底部不可以直接測(cè)量的小山的寬度、古塔的底面直徑等例10 有一河流，河的兩岸有兩棵樹A、B，假設(shè)A

8、、B之間的距離即為河寬，現(xiàn)有若干標(biāo)桿及卷尺，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)方案測(cè)量河寬AB，并說明道理例11 拿破侖曾在作戰(zhàn)過程中用一種巧妙的方法測(cè)量河寬，當(dāng)時(shí)法軍和俄軍在萊茵河的兩岸作戰(zhàn)，法軍要使炮彈準(zhǔn)確地落到對(duì)面的河岸上，就必須知道河有多寬，如何測(cè)量呢，要在平時(shí)可以過河測(cè)量，而當(dāng)時(shí)雙方對(duì)陣，不可能這樣做拿破侖是這樣做的：如圖，先站直身體，調(diào)整頭上的軍帽的帽舌，使他的視線最遠(yuǎn)處恰好落在河對(duì)岸C處然后保持頭部的位置不變（即保證人的視角不變），全身向左轉(zhuǎn)或右轉(zhuǎn)或者后轉(zhuǎn)，哪個(gè)方向的地面比較平坦，便于測(cè)出距離，就轉(zhuǎn)向哪個(gè)方向，再找出從帽舌下望去的最遠(yuǎn)的點(diǎn)D，從測(cè)量人站立的位置B到點(diǎn)D的距離就是河寬你能說明理由嗎？從上

9、述幾何題可以得出，當(dāng)我們遇到不能直接測(cè)量某條線段長(zhǎng)度的問題時(shí)，可以利用全等三角形，把需要測(cè)量的線段轉(zhuǎn)換成為可以測(cè)量的線段，再進(jìn)行測(cè)量，從而解決問題四、“全等三角形”用武之地全等三角形的性質(zhì)作用巨大，應(yīng)用廣泛下面分類說明“全等三角形”之“用武之地”(1)證明線段或角相等基本思路：先根據(jù)已知條件證明線段或角所在的兩個(gè)三角形全等，然后再利用全等三角形的性質(zhì)“全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等和全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等”證明線段或角相等例12 已知：如圖，D是ABC的邊AB上一點(diǎn)，ABFC，DF交AC于點(diǎn)E，DE=FE求證：AE=CE例13 如圖，點(diǎn)E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，B=C求證：A=D(2)證

10、明兩線段的和差等于另一條線段基本思路：證明兩線段和或差等于另一條線段，常利用全等等“手段”將要證明的兩線段轉(zhuǎn)化到同一線段上，然后再根據(jù)具體情況確定和或差，例14 如圖，已知：ABC中，BAC=90°，AB=AC，AE是過A的一條直線，且B、C在AE的異側(cè)BDAE于D，CEAE于E求證：BD=DE+CE例15 如圖，已知：ADBC，1=2，3=4，直線DC過點(diǎn)E交AD于D，交BC于點(diǎn)C求證：AD+BC=AB(3)證明線段的不等基本思路：利用已知條件中的角平分線、中線可以構(gòu)造全等三角形，從而將相關(guān)線段轉(zhuǎn)移到一個(gè)三角形里面，進(jìn)而利用“三角形兩邊之和大于第三邊”使問題獲得解決例16 如圖，點(diǎn)

11、P是ABC的角平分線AD上任意一點(diǎn)，AB>AC求證:AB-AC>PB-PC.(4)證明面積相等基本思路：由于全等三角形面積相等，因此可先我出圖中的全等三角形的面積，再確定要求的三角形面積和已求出的全等三角形的面積之間的關(guān)系即可例17 已知：如圖,CAB =DBA，AC=BD.求證：(1)AD=BC；(2)五、全等變換話全等我們把只改變圖形的位置，而不改變其形狀、大小的圖形變換叫做全等變換全等變換包括平移變換、翻折變換、旋轉(zhuǎn)變換三種方式全等變換前后的兩個(gè)圖形全等，具有全等圖形的所有性質(zhì)利用全等變換，可以為研究幾何圖形提供思路(1)判斷圖形變換方式例18 如圖，通過怎樣的全等變換，可以

12、使它們重合？(2)判斷線段的數(shù)量和位置關(guān)系例19 如圖，在正方形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AF=AB已知ABEADF，指出圖中線段BE和DF的數(shù)量和位置關(guān)系，并說明理由(3)求角的大小例20 如圖，把長(zhǎng)方形ABCD沿AE翻折，使點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，如果BAF=60°，則DAE為多少度？例21 如圖，ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，若B=30°，C40°問：(1)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)多少度時(shí)，旋轉(zhuǎn)后的AB'C'的頂點(diǎn)B'與原ABC的頂點(diǎn)C和A在同一直線上？(2)再繼續(xù)旋轉(zhuǎn)多少度時(shí)，C、A、C在同一直線上？（原ABC是指開始時(shí)的位

13、置）六、三角形中添加輔助線的技巧倍長(zhǎng)中線法本法常用于題目條件中有中線，且結(jié)論不易直接證明的題目例22 如圖，已知AD為ABC的中線，試說明AB+AC>2AD.翻折、旋轉(zhuǎn)法例23 如圖D是等邊ABC外一點(diǎn)，且ADB= 60°試說明AD= BD+DC 添線構(gòu)成特殊三角形法（等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、全等三角形）例24 如圖，在ABC中,B=60°，AD、CE分別為BAC、ACB的角平分線試說明AE+CD=AC 七、“慧眼識(shí)圖形”一般來說，兩個(gè)全等三角形的相互位置關(guān)系無論怎樣變化，總離不開“轉(zhuǎn)、移、翻”這三種基本形式，如圖所示：旋轉(zhuǎn)型： 平移型： 翻轉(zhuǎn)型： 1熟悉

14、判斷兩個(gè)三角形全等的基本思路例25 如圖，已知AB=AC，BAC=DAE，ABD=ACE，請(qǐng)你說明BD=CE的道理2構(gòu)造基本圖形同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)，常遇到已知條件與結(jié)論無法直接聯(lián)系的情況，這就需要構(gòu)造出基本圖形來創(chuàng)造條件，為說明結(jié)論服務(wù)例26 如圖，已知AB=CD，AC=DB，試說明B=C的理由C數(shù)學(xué)思想方法與中考能力要求一、方程思想例1 如圖，若等腰三角形中，一腰上的中線把它的周長(zhǎng)分為15 cm和6 cm的兩部分，求該三角形各邊的長(zhǎng)答案：三邊長(zhǎng)分別為10 cm，10 cm，1 cm.例2 已知從多邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的所有對(duì)角線，將多邊形分成三角形的個(gè)數(shù)恰好等于該多邊形所有對(duì)角線條數(shù)，求多邊形內(nèi)角和例3 如圖所示，在ABC中，B=C，D是BC邊上盼一點(diǎn)，BAD=20°，E是AC邊上一點(diǎn)，連結(jié)DE，且ADE=AED，求EDC的度數(shù)二、轉(zhuǎn)化思想例4 一個(gè)零件的形狀如圖所示，規(guī)定A=90°，B和C分別是32°和21°，檢驗(yàn)工人量得BDC=149°，就斷定這個(gè)零件不合格，請(qǐng)你運(yùn)用三角形的有關(guān)知識(shí)說明零件不合格的原因，三、分類討論思想例5