大一高等數(shù)學(xué)期末考試試卷試題及答案詳解

1、 大一高等數(shù)學(xué)期末考試試卷（一）一、選擇題（共12分）1. （3分）若為連續(xù)函數(shù),則的值為( ).(A)1 (B)2 (C)3 (D)-12. （3分）已知則的值為（ ）.(A)1 (B)3 (C)-1 (D)3. （3分）定積分的值為（ ）.(A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若在處不連續(xù),則在該點處( ).(A)必不可導(dǎo) (B)一定可導(dǎo)(C)可能可導(dǎo) (D)必?zé)o極限 二、填空題（共12分）1（3分） 平面上過點，且在任意一點處的切線斜率為的曲線方程為 .2. （3分） .3. （3分） = .4. （3分） 的極大值為 .三、計算題（共42分）1. （6分）求2. （6

2、分）設(shè)求3. （6分）求不定積分4. （6分）求其中5. （6分）設(shè)函數(shù)由方程所確定,求6. （6分）設(shè)求7. （6分）求極限四、解答題（共28分）1. （7分）設(shè)且求2. （7分）求由曲線與軸所圍成圖形繞著軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.3. （7分）求曲線在拐點處的切線方程.4. （7分）求函數(shù)在上的最小值和最大值.五、證明題(6分)設(shè)在區(qū)間上連續(xù),證明（二）一、 填空題（每小題3分，共18分）1設(shè)函數(shù)，則是的第 類間斷點.2函數(shù)，則.3 .4曲線在點處的切線方程為 .5函數(shù)在上的最大值 ，最小值 .6.二、 單項選擇題（每小題4分，共20分）1數(shù)列有界是它收斂的（ ） .必要但非充分條件；

3、充分但非必要條件 ； 充分必要條件； 無關(guān)條件.2下列各式正確的是（ ） .； ； ； .3 設(shè)在上，且，則曲線在上.沿軸正向上升且為凹的； 沿軸正向下降且為凹的； 沿軸正向上升且為凸的； 沿軸正向下降且為凸的.4設(shè)，則在處的導(dǎo)數(shù)（ ）. 等于； 等于； 等于； 不存在.5已知，以下結(jié)論正確的是（ ）.函數(shù)在處有定義且； 函數(shù)在處的某去心鄰域內(nèi)有定義； 函數(shù)在處的左側(cè)某鄰域內(nèi)有定義；函數(shù)在處的右側(cè)某鄰域內(nèi)有定義.三、 計算（每小題6分，共36分）1求極限：.2. 已知，求.3. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).4. .5. .6.方程確定函數(shù)，求. 四、 （10分）已知為的一個原函數(shù)，求.五、 （6分）求曲線的

4、拐點及凹凸區(qū)間.六、 （10分）設(shè)，求.（三） 一、填空題(本題共5小題，每小題4分，共20分).（1） =_.（2）曲線上與直線平行的切線方程為_.（3）已知，且, 則_ .（4）曲線的斜漸近線方程為 _ （5）微分方程的通解為_二、選擇題 (本題共5小題，每小題4分，共20分).（1）下列積分結(jié)果正確的是（ D ）(A) (B) (C) (D) （2）函數(shù)在內(nèi)有定義，其導(dǎo)數(shù)的圖形如圖1-1所示，則（ D ）.(A)都是極值點. (B) 都是拐點.(C) 是極值點.，是拐點. (D) 是拐點，是極值點.圖1-1 （3）函數(shù)滿足的一個微分方程是（ D ）.（A） （B）（C

5、） （D）（4）設(shè)在處可導(dǎo)，則為（ A ）.(A) . (B) . (C) 0. (D)不存在 . （5）下列等式中正確的結(jié)果是 （ A ）.(A) (B) (C) (D)  三、計算題（本題共4小題，每小題6分，共24分）.1求極限. 解 = 1分 = 2分 = 1分 = 2分 2.方程確定為的函數(shù)，求與.解 （3分） （6分） 3. 4. 計算不定積分 .4.計算定積分.解 （3分） （6分）（或令）四、解答題（本題共4小題，共29分）.1（本題6分）解微分方程.2（本題7分）一個橫放著的圓柱形水桶（如圖4-1），桶內(nèi)盛有半桶水，設(shè)桶的底半徑為，水的比重為，計算桶的一端

6、面上所受的壓力  解：建立坐標(biāo)系如圖xy3. （本題8分）設(shè)在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且，試求.4. （本題8分）過坐標(biāo)原點作曲線的切線，該切線與曲線及軸圍成平面圖形D.(1) (3)    求D的面積A;(2) (4)    求D繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V. 解：(1) 設(shè)切點的橫坐標(biāo)為，則曲線在點處的切線方程是 -1分由該切線過原點知 ，從而所以該切線的方程為 -1分 平面圖形D的面積 -2分（2） 切線與軸及直線所圍成的三角形繞直線旋轉(zhuǎn)所得的圓錐體積為 2分曲線與x軸及直線所圍成的圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積為， 1分

7、因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為 1分五、證明題（本題共1小題，共7分）.1.證明對于任意的實數(shù)，.解法一：解法二：設(shè)則 1分因為 1分當(dāng)時，單調(diào)增加， 2分當(dāng)時，單調(diào)增加， 2分所以對于任意的實數(shù)，即。 1分解法三：由微分中值定理得，其中位于0到x之間。 2分當(dāng)時，。 2分當(dāng)時，。 2分所以對于任意的實數(shù)，。 1分（四）一填空題（每小題4分，5題共20分）：1 .2.3設(shè)函數(shù)由方程確定，則.4. 設(shè)可導(dǎo)，且，則.5微分方程的通解為.二選擇題（每小題4分，4題共16分）：1設(shè)常數(shù)，則函數(shù) 在內(nèi)零點的個數(shù)為（ B ）.(A) 3個; (B) 2個; (C) 1個; (D) 0個. 2 微分方程的特解形式為

8、 （ C ）（A）； （B）；（C）； （D）3下列結(jié)論不一定成立的是 （ A ）(A) (A)  若,則必有;(B) (B)  若在上可積,則;(C) (C)  若是周期為的連續(xù)函數(shù),則對任意常數(shù)都有;(D) (D)  若可積函數(shù)為奇函數(shù),則也為奇函數(shù).4. 設(shè), 則是的（ C ）.(A) 連續(xù)點; (B) 可去間斷點; (C) 跳躍間斷點; (D) 無窮間斷點. 三計算題（每小題6分，5題共30分）：1計算定積分. 解： -2 -2 -22計算不定積分.解： -3 -33求擺線在處的切線的方程.解：切點為 -2 -2 切線方程為 即. -24. 設(shè)

9、，則.5設(shè)，求.解： -2 -2 = -2 故 = 四應(yīng)用題（每小題9分，3題共27分）1求由曲線與該曲線過坐標(biāo)原點的切線及軸所圍圖形的面積.解：設(shè)切點為，則過原點的切線方程為，由于點在切線上，帶入切線方程，解得切點為.-3過原點和點的切線方程為-3 面積=-3 或  2設(shè)平面圖形由與所確定，試求繞直線旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積. 解： 法一： -6 -3法二：V= - 5 - 4 3. 設(shè)在內(nèi)的駐點為問為何值時最小 并求最小值.解: - 3 -3-2故-1五證明題（7分）設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)且試證明至少存在一點, 使得證明：設(shè)，在上連續(xù)在可導(dǎo)，因,有,- 2又由，知

10、在上用零點定理，根據(jù)，- 2可知在內(nèi)至少存在一點，使得,由ROLLE中值定理得 至少存在一點使得即，證畢. -3標(biāo)準(zhǔn)答案一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A.二、 1 2 3 0; 4 0.三、 1 解 原式 6分2 解 2分 4分3 解 原式 3分 2分 1分4 解 令則 2分 1分 1分 1分 1分5 兩邊求導(dǎo)得 2分 1分 1分 2分6 解 2分 4分7 解 原式= = 6分 四、1 解 令則 3分= 2分 2分 1分2 解 3分 2分 2分3 解 1分令得 1分當(dāng)時, 當(dāng)時, 2分為拐點, 1分該點處的切線為 2分4 解 2分令得 1分 2分最小值為最大值為 2分五、證明 1分

11、1分 1分 1分 1分移項即得所證. 1分高等數(shù)學(xué)I （大一第一學(xué)期期末考試題及答案）1. 當(dāng)時，都是無窮小，則當(dāng)時（ D ）不一定是無窮小. (A)(B) (C)(D) 2. 極限的值是（ C ）.（A） 1（B） e （C） （D） 3. 在處連續(xù)，則a =（ D ）.（A） 1 （B） 0 （C） e （D） 4. 設(shè)在點處可導(dǎo)，那么（ A ）.（A） （B） (C) （D） 二、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）5. 極限的值是 .6. 由確定函數(shù)y(x)，則導(dǎo)函數(shù) .7. 直線過點且與兩平面都平行，則直線的方程為 .8. 求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 （¥，0）和（1

12、，+¥ ） .三、解答題（本大題有4小題，每小題8分，共32分）9. 計算極限.解：10. 設(shè)在a，b上連續(xù)，且，試求出。解： 11. 求 解：四、解答題（本大題有4小題，每小題8分，共32分）12. 求 . 13. 求函數(shù) 的極值與拐點.解：函數(shù)的定義域（¥，+¥） 令得 x 1 = 1, x 2 = -1 x 1 = 1是極大值點，x 2 = -1是極小值點極大值，極小值令得 x 3 = 0, x 4 = , x 5 = -x(-¥,-)(-,0)(0, )(,+¥)+故拐點（-，-），（0，0）（，）14. 求由曲線與所圍成的平面圖形的面

13、積. 15. 設(shè)拋物線上有兩點，在弧A B上，求一點使的面積最大.六、證明題（本大題4分）16. 設(shè)，試證.證明：設(shè)，因此在（0，+¥）內(nèi)遞減。在（0，+¥）內(nèi)，在（0，+¥）內(nèi)遞減，在（0，+¥）內(nèi)，即亦即當(dāng) x>0時， 試證.中國傳媒大學(xué)2009-2010學(xué)年第 一 學(xué)期期末考試試卷（A卷）及參考解答與評分標(biāo)準(zhǔn)考試科目： 高等數(shù)學(xué)A（上） 考試班級： 2009級工科各班 考試方式： 閉卷 命題教師： 大題一二三四五六總 分得分得分評卷人一. 填空題（將正確答案填在橫線上。本大題共3小題，每小題3分，總計9分 ）1、若在內(nèi)，函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)

14、數(shù),則函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào) 增加 ，曲線是 上凸 的。2、設(shè)確定函數(shù)，求。3、 。得分評卷人二. 單項選擇題（在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案，填在題末的括號中。本大題共3小題，每小題3分，總計 9分）1、設(shè)，則必有 答( C )2、設(shè)，則的一個原函數(shù)為 答( D )3、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，又，則 答( B )得分評卷人三. 解答下列各題（本大題共2小題，每小題5分，總計10分 ）1、求極限。 解： （3分）。 （5分）2、,求。解: （3分）。 （5分）得分評卷人四. 解答下列各題 （本大題共3小題，每小題8分，總計24分 ）1、討論，在處的可導(dǎo)性。解： （4分） ， （6分）所以在處可導(dǎo)。 （8分）2、設(shè)在上連續(xù)，且，證明：至少存在一點，使得 。 證：設(shè)，則在上連續(xù)。 （2分） 又,； （4分） 若，則結(jié)論成立。 （6分） 若，則由零點定理。（8分）3、證明不等式：當(dāng)時，。 證：令，則。 （2分） ， ，顯然，當(dāng)時， （4分） 在區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加。 又，在區(qū)間內(nèi)恒大于零。 （6分） 又，在區(qū)間內(nèi)大于零。 即當(dāng)時，即。 （8分）得分評卷人五. 解答下列各題 （本大題共3小題，每小題8分，總計24分 ）1、求函數(shù)的極值。 解：，令，得駐點（為整數(shù)）。 （4分） 。當(dāng)時，在該處取得極大值，其值為；（6分）當(dāng)時，在該處取得極小值，其值為。（8分）2、求不定積分。解： （