全程復習方略文理通用高三數學一輪復習 8.9直線與圓錐曲線的位置關系精品試題VIP

1、【全程復習方略】（文理通用）2015屆高三數學一輪復習 8.9直線與圓錐曲線的位置關系精品試題(45分鐘100分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1.過拋物線y=2x2的焦點的直線與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2=()A.-2B.-C.-4D.-【解析】選D.由y=2x2得x2=y,其焦點坐標為F,取直線y=,則其與y=2x2交于A,B,所以x1x2=·=-.【方法技巧】與動直線相關值的求解技巧解決動直線與圓錐曲線相交的有關值的選擇題、填空題,一般取其特殊位置探索其值即可.2.(2013·紹興模擬)無論m為任何數,直線l:y=x+m與雙曲線C:-

2、=1(b>0)恒有公共點,則雙曲線C的離心率e的取值范圍是()A.(1,+)B.(,+)C.(,+)D.(2,+)【解析】選B.直線l:y=x+m的斜率等于1,過點(0,m),雙曲線C:-=1(b>0)的兩條漸近線的斜率分別為±,由題意得>1,即b2>2,故雙曲線C的離心率e=>=,故選B.【加固訓練】雙曲線C的方程為-=1(a>0,b>0),l1,l2為其漸近線,F為右焦點,過F作ll2且l交雙曲線C于R,交l1于M,若=,且,則雙曲線的離心率的取值范圍為()A.(1,B.(,)C.(,)D.(,+)【解析】選B.由題意得令l1:y=-x,

3、l2:y=x,l:y=(x-c),由l交雙曲線C于R,令解此方程組得R,故有=,由l交l1于M,令解此方程組得M,故有=,由=,得=,所以=-,整理得a2=(1-)c2,即e2=,又,所以e2(2,3),即e(,).3.已知橢圓+=1的焦點是F1,F2,如果橢圓上一點P滿足PF1PF2,則下面結論正確的是()A.P點有兩個B.P點有四個C.P點不一定存在D.P點一定不存在【解析】選D.設橢圓的基本量為a,b,c,則a=5,b=4,c=3.以F1F2為直徑構造圓,可知圓的半徑r=c=3<4=b,即圓與橢圓不可能有交點,所以P點一定不存在.4.(2013·衢州模擬)已知任意kR,直

4、線y-kx-1=0與橢圓+=1(m>0)恒有公共點,則實數m的取值范圍是()A.(0,1)B.(0,5)C.1,5)(5,+)D.1,5)【解析】選C.直線y=kx+1過定點(0,1),只要(0,1)在橢圓+=1上或其內部即可.從而m1,又因為橢圓+=1中m5,所以m的取值范圍是1,5)(5,+).【誤區(qū)警示】本題易誤選D,根本原因是誤認為橢圓的焦點在x軸上,得1m<5,而忽視其焦點可能在y軸上.5.已知拋物線y=-x2+3上存在關于直線x+y=0對稱的相異兩點A,B,則|AB|等于()A.3B.4C.3D.4【思路點撥】轉化為過A,B兩點且與x+y=0垂直的直線與拋物線相交后求弦

5、長問題.【解析】選C.設直線AB的方程為y=x+b,A(x1,y1),B(x2,y2),由x2+x+b-3=0x1+x2=-1,得AB的中點M.又M在直線x+y=0上,可求出b=1,則|AB|=·=3.6.直線l:y=x+3與曲線-=1交點的個數為()A.0B.1C.2D.3【解析】選D.當x0時,曲線為-=1;當x<0時,曲線為+=1,直線l:y=x+3過(0,3),與雙曲線-=1(x0)有2個交點,顯然l與半橢圓+=1(x<0)有1個交點,所以共3個交點.7.(2013·衡水模擬)若雙曲線-=1(a>0,b>0)與橢圓+=1(m>b>

6、0)的離心率之積等于1,則以a,b,m為邊長的三角形一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.鈍角三角形【解析】選B.設雙曲線離心率為e1,橢圓離心率為e2,所以e1=,e2=,故e1·e2=1(m2-a2-b2)b2=0,即a2+b2-m2=0,所以,以a,b,m為邊長的三角形為直角三角形.8.(2014·杭州模擬)已知F1,F2分別是雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點,過點F2與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線的另一條漸近線于點M,若點M在以線段F1F2為直徑的圓外,則雙曲線離心率的取值范圍是()A.(1,)B.(,)C.(,2)D

7、.(2,+)【解析】選D.如圖所示,過點F2(c,0)且與漸近線y=x平行的直線為y=(x-c).與另一條漸近線y=-x聯立解得即點M,所以|OM|=.因為點M在以線段F1F2為直徑的圓外,所以|OM|>c,所以>c,解得>2,所以雙曲線離心率e=>2,故雙曲線離心率的取值范圍是(2,+).【加固訓練】已知雙曲線左、右焦點分別為F1,F2,點P為其右支上一點,F1PF2=60°,且=2,若|PF1|,|F1F2|2,|PF2|成等差數列,則該雙曲線的離心率為()A.B.2C.2D.【解析】選A.設|PF1|=m,|PF2|=n(m>n),雙曲線方程為-=

8、1(a>0,b>0),因此有m-n=2a,|F1F2|=2c,=·m·n·=2,m·n=8.又m+n=×4c2=2c2(m+n)2=4c4.由余弦定理cosF1PF2=m2+n2=8+4c2(m+n)2=4c2+24.兩式聯立解得c2=3c=,所以2a=2,a=1,e=.二、填空題(每小題5分,共20分)9.(2014·湖州模擬)設拋物線x2=4y的焦點為F,經過點P(1,4)的直線l與拋物線相交于A,B兩點,且點P恰為AB的中點,則|+|=.【解析】設A(x1,y1),B(x2,y2),由題意知x1+x2=2,且=4y1

9、,=4y2,兩式相減整理得,=,所以直線AB的方程為x-2y+7=0.將x=2y-7代入x2=4y整理得4y2-32y+49=0,所以y1+y2=8,又由拋物線定義得|+|=y1+y2+2=10.答案:1010.已知兩定點M(-2,0),N(2,0),若直線上存在點P,使得|PM|-|PN|=2,則稱該直線為“A型直線”,給出下列直線:y=x+1;y=x+2;y=-x+3;y=-2x.其中是“A型直線”的序號是.【解析】由條件知考慮給出直線與雙曲線x2-=1右支的交點情況,作圖易知直線與雙曲線右支有交點,故填.答案:11.(2014·無錫模擬)若直線mx+ny=4與O:x2+y2=4

10、沒有交點,則過點P(m,n)的直線與橢圓+=1的交點個數是.【解析】由題意知:>2,即<2,所以點P(m,n)在橢圓+=1的內部,故所求交點個數是2個.答案:212.(2013·浙江高考)設F為拋物線C:y2=4x的焦點,過點P(-1,0)的直線l交拋物線C于A,B兩點,點Q為線段AB的中點,若|FQ|=2,則直線l的斜率等于.【解析】設直線l:my=x+1,代入y2=4x得y2-4my+4=0,則yA+yB=4m.因為Q為線段AB的中點,則yQ=2m,xQ=myQ-1=2m2-1,故Q(2m2-1,2m),又|FQ|2=4,所以(2m2-2)2+(2m)2=4m4-m2

11、=0,所以m=±1.答案:±1三、解答題(13題12分,1415題各14分)13.(2013·廈門模擬)已知橢圓E:+=1(a>b>0)的離心率e=,a2與b2的等差中項為.(1)求橢圓E的方程.(2)A,B是橢圓E上的兩點,線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P(t,0),求實數t的取值范圍.【解析】(1)由題意得解得:即橢圓E的方程為+=1.(2)設A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2).因線段AB的垂直平分線與x軸相交,故AB不平行于y軸,即x1x2.又交點為P(t,0),故|PA|=|PB|,即(x1-t)2+=(x2-t)2+,所以t

12、=+因為A,B在橢圓上,所以=4-,=4-.將上式代入,得t=.又因為-3x13,-3x23,且x1x2,所以-6<x1+x2<6,則-<t<,即實數t的取值范圍是.【一題多解】(1)同原題.(2)設A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2).因線段AB的垂直平分線與x軸相交,故AB不平行于y軸,即x1x2.()若y1=y2,則線段AB的垂直平分線方程為x=0,即t=0.()若y1y2,則線段AB的垂直平分線方程為y-=-.因為P(t,0)在直線上,所以t=+,因為A,B在橢圓上,所以=4-,=4-.將上式代入,得t=.又因為-3x13,-3x23,且x1x2,所

13、以-6<x1+x2<6,則-<t<.綜合()()得實數t的取值范圍是.14.(2013·安徽高考)設橢圓E:+=1的焦點在x軸上.(1)若橢圓E的焦距為1,求橢圓E的方程.(2)設F1,F2分別是橢圓的左、右焦點,P為橢圓E上的第一象限內的點,直線F2P交y軸于點Q,并且F1PF1Q,證明:當a變化時,點P在某定直線上.【解析】(1)因為焦距為1,所以2a2-1=,解得a2=,從而橢圓E的方程為+=1.(2)設P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=,由題設知x0c,則直線F1P的斜率=,直線F2P的斜率=,故直線F2P的方程為y=(x-c

14、),當x=0時,y=,即點Q的坐標為,因此直線F1Q的斜率=.由于F1PF1Q,所以·=·=-1,化簡得=-(2a2-1),將代入橢圓E的方程,由于點P(x0,y0)在第一象限,解得x0=a2,y0=1-a2,即點P在定直線x+y=1上.15.(能力挑戰(zhàn)題)已知中心在坐標原點O的橢圓C經過點A(2,3),且點F(2,0)為其右焦點.(1)求橢圓C的方程.(2)是否存在平行于OA的直線l,使得直線l與橢圓C有公共點,且直線OA與l的距離等于4?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.【解析】(1)依題意,可設橢圓C的方程為+=1(a>b>0),且可知左焦點為F(-2,0),從而有解得又a2=b2+c2,所以b2=12.故橢圓C的方程為+=1.(2)假設存在符合題意的直線l,其方程為y=x+t(t0