全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題與解答A卷一試新

1、2016年全國高中數(shù)學聯(lián)合競賽一試（A卷）說明：1. 評閱試卷時，請依據(jù)本評分標準填空題只設8分和0分兩檔；其他各題的評閱，請嚴格按照本評分標準的評分檔次給分，不要增加其他中間檔次2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步驟正確，在評卷時可參考本評分標準適當劃分檔次給分，解答題中第9小題4分為一個檔次，第10、11小題5分一個檔次，不要增加其他中間檔次一、填空題：本大題共8小題，每小題8分，共64分1設實數(shù)滿足，則的取值范圍是 答案：解：由可得，原不等式可變形為即，所以又，故2設復數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，分別表示的共軛復數(shù)，則的模為 答案：解：由運算性質，因為與為實數(shù)，故，又，所以

2、，從而因此，的模為3正實數(shù)均不等于1，若，則的值為 答案：解：令，則，條件化為，由此可得，因此4袋子A中裝有2張10元紙幣和3張1元紙幣，袋子B中裝有4張5元紙幣和3張1元紙幣現(xiàn)隨機從兩個袋子中各取出兩張紙幣，則A中剩下的紙幣面值之和大于B中剩下的紙幣面值之和的概率為 答案：解：一種取法符合要求，等價于從A中取走的兩張紙幣的總面值小于從B中取走的兩張紙幣的總面值，從而故只能從A中國取走兩張1元紙幣，相應的取法數(shù)為又此時，即從B中取走的兩張紙幣不能都是1元紙幣，相應有種取法因此，所求的概率為5設P為一圓錐的頂點，A，B，C是其底面圓周上的三點，滿足=90°，M為AP的中點若AB=1，A

3、C=2，則二面角MBCA的大小為 答案：解：由=90°知，AC為底面圓的直徑設底面中心為O，則平面ABC，易知，進而設H為M在底面上的射影，則H為AO的中點在底面中作于點K，則由三垂線定理知，從而為二面角MBCA的平面角因，結合與平行知，即，這樣故二面角MBCA的大小為6設函數(shù)，其中是一個正整數(shù)若對任意實數(shù)，均有，則的最小值為 答案：16解：由條件知， 其中當且僅當時，取到最大值根據(jù)條件知，任意一個長為1的開區(qū)間至少包含一個最大值點，從而，即反之，當時，任意一個開區(qū)間均包含的一個完整周期，此時成立綜上可知，正整數(shù)的最小值為7雙曲線C的方程為，左、右焦點分別為、，過點作直線與雙曲線C的

4、右半支交于點P，Q，使得=90°，則的內切圓半徑是 答案：解：由雙曲線的性質知，因=90°，故，因此從而直角的內切圓半徑是8設是1，2，100中的4個互不相同的數(shù)，滿足則這樣的有序數(shù)組的個數(shù)為 答案：40解：由柯西不等式知，等號成立的充分必要條件是，即成等比數(shù)列于是問題等價于計算滿足的等比數(shù)列的個數(shù)設等比數(shù)列的公比，且為有理數(shù)記，其中為互素的正整數(shù)，且先考慮的情況此時，注意到互素，故為正整數(shù) 相應地，分別等于，它們均為正整數(shù)這表明，對任意給定的，滿足條件并以為公比的等比數(shù)列的個數(shù)，即為滿足不等式的正整數(shù)的個數(shù)，即由于，故僅需考慮這些情況，相應的等比數(shù)列的個數(shù)為當時，由對稱性

5、可知，亦有20個滿足條件的等比數(shù)列綜上可知，共有40個滿足條件的有序數(shù)組二、解答題：本大題共3小題，共56分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟9（本題滿分16分）在中，已知求的最大值解：由數(shù)量積的定義及余弦定理知，同理得，故已知條件化為即8分由余弦定理及基本不等式，得所以12分等號成立當且僅當因此的最大值是16分10（本題滿分20分）已知是R上的奇函數(shù)，且對任意，均有求的值解：設=1，2，3，），則在中取，注意到，及為奇函數(shù)可知5分即，從而10分因此20分11（本題滿分20分）如圖所示，在平面直角坐標系中，F(xiàn)是軸正半軸上的一個動點以F為焦點，O為頂點作拋物線C設P是第一象限內C上的一點，Q是軸負半軸上一點，使得PQ為C的切線，且PQ=2.圓均與直線OP相切于點P，且均與軸相切求點F的坐標，使圓與的面積之和取到最小值解：設拋物線C的方程是，點Q的坐標為，并設的圓心分別為設直線PQ的方程為，將其與C的方程聯(lián)立，消去可知因為PQ與C相切于點P，所以上述方程的判別式為，解得進而可知，點P的坐標為于是由PQ=2可得 5分注意到OP與圓相切于點P，所以設圓與軸分別相切于點M，N，則分別是的平分線，故=90°從而由射影定理知結合，就有 1