非線性發(fā)展方程（組）整體解及其漸近性態(tài)

1、非線性發(fā)展方程（組）整體解及其漸近性態(tài)對于數(shù)學(xué)以及其他自然科學(xué)分支(例如物理,力學(xué),材料科學(xué),化學(xué)等)中提出的各類非線性發(fā)展方程的整體解的存在唯一性以及其大時間漸近性態(tài)的研究具有理論上和實(shí)際上的重要意義,并有廣泛的應(yīng)用。長期以來,非線性發(fā)展方程因其本身重要的應(yīng)用背景以及非線性帶來的數(shù)學(xué)困難引起了國內(nèi)外數(shù)學(xué)家的廣泛的研究興趣。本學(xué)位論文主要是關(guān)于非線性發(fā)展方程(組)整體解大時間漸近性態(tài)的研究。非線性發(fā)展方程(組)的整體解的漸近性態(tài),包括整體解當(dāng)時間趨于無窮大時是否趨于某個平衡態(tài)(Equilibrium),以及對應(yīng)的無限維動力系統(tǒng)是否存在整體吸引子,是非線性發(fā)展方程研究的兩個基本問題。通常,人們將

2、所考慮的非線性發(fā)展方程(組)看成某個Sobolev函數(shù)空間中從某個初始數(shù)據(jù)出發(fā)的軌道,那么我們考慮的問題分別為當(dāng)時間趨于無窮大時從這個函數(shù)空間中給定的初始數(shù)據(jù)出發(fā)的單個軌道是否收斂于某個平衡態(tài)以及從這個函數(shù)空間或者其某個完備的閉子空間中任意有界集出發(fā)的一族軌道是否存在整體吸引子?對于非線性發(fā)展方程(組)對應(yīng)的無限維動力系統(tǒng)的整體吸引子存在性的研究是本文主要的研究興趣所在。國際上有大量的工作致力于考察由連續(xù)介質(zhì)力學(xué),物理學(xué),材料科學(xué)所提出的無限維動力系統(tǒng)的整體吸引子的存在性問題。例如,熱力學(xué)及生物數(shù)學(xué)中提出的反應(yīng)-擴(kuò)散方程,材料相變理論中的Cahn-Hilliard方程以及Phase-Field

3、方程組,2維不可壓縮Navier-Stokes方程,耗散的波動方程,Ginzburg-Landau方程以及Sine-Gordon方程等。相應(yīng)有專著S.Zheng72,Temam41,Babin& Vishik5,Hale22以及Sell & You55等。本學(xué)位論文對由形狀記憶合金材料的相變過程而提出的一維非線性熱粘彈性方程組進(jìn)行研究,在證明了方程組整體解存在唯一性的基礎(chǔ)上,分別得到了具有Ginzburg-Landau形式且滿足鉸鏈支座邊界條件的一維非線性熱粘彈性方程組所對應(yīng)的無限維動力系統(tǒng)的整體吸引子的存在性以及具有常值溫度邊界條件的一維非線性熱粘彈性方程組整體弱解當(dāng)時間趨向于無窮大時對一穩(wěn)

4、態(tài)解的收斂性。這些結(jié)果為此前文獻(xiàn)中所未見。具體的,本文的主要內(nèi)容如下:第一章緒論,簡要回顧問題的背景,研究現(xiàn)狀及我們證明的思想和方法。介紹了本文考慮的問題的特點(diǎn),數(shù)學(xué)上的困難以及本文工作的創(chuàng)新之處。最后,簡要列舉了必要的一些基本定理和常用不等式。第二章,考慮具有Ginzburg-Landau形式的,且滿足鉸鏈支座邊界條件的一維非線性熱粘彈性方程組,克服了非線性項(xiàng)以及高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)帶來的一系列的數(shù)學(xué)困難,我們不但證明了方程組整體解的存在唯一性,而且進(jìn)一步得到了其對應(yīng)無限維動力系統(tǒng)在我們所定義的完備閉子空間上整體吸引子的存在性。第三章,考慮了具有常值溫度邊界條件的一維非線性熱粘彈性方程組,我們解決了由

5、于溫度函數(shù)滿足非齊次Dirichlet邊界條件而導(dǎo)致能量估計(jì)中含有的邊界項(xiàng)所帶來的數(shù)學(xué)困難,在證明了整體弱解存在唯一性的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步得到了該整體解當(dāng)時間趨于無窮大時對某個平衡態(tài)的收斂性,成功的將之前文獻(xiàn)中所考慮的非線性粘彈性方程的結(jié)果推廣到非線性熱粘彈性方程組的情形。下面簡要列舉本論文中所考慮問題的特點(diǎn),數(shù)學(xué)困難以及本文工作的主要貢獻(xiàn)(1)第二章中,我們考慮了與Hoffmann&Zochowshi25相同的模型,不同的是我們應(yīng)用了不同的能量估計(jì)的技巧得到了解不依賴于時間T的一致先驗(yàn)估計(jì),這對于我們接下來研究解的大時間漸近性態(tài)是至關(guān)重要的。(2)在第二章整體解的存在唯一性的證明中,可以看到解的

6、存在空間H為不完備的,而且在H上成立能量守恒等式,也就是說,空間H上不可能存在整體吸引子。為了解決類似的這種問題,Zheng,Shen&Qin(62,63,70,71)引入?yún)?shù)_i并定義H的子空間H_(_i),證明了方程組在H_(_i)上整體吸引子的存在性。受此啟發(fā),我們在第二章中同樣地引入?yún)?shù)_i定義H的完備閉子空間H_(_1,_2,_3),證明了方程組在H_(_1,_2,_3)上整體吸引子的存在性,不同的是,我們在H_(_1,_2,_3)定義中引入限制條件_10代替0,克服了限制條件0使得空間H_(_i),非閉不完備的缺陷,同時克服了_10帶來的數(shù)學(xué)上一系列困難,首次證明了非線性熱粘彈性方

7、程組在完備子空間上整體吸引子的存在性。(3)第三章中我們考慮了絕對溫度函數(shù)滿足非齊次Dirichlet邊界條件的初邊值問題。處理此類問題中一個一直困擾的數(shù)學(xué)困難是如何去估計(jì)分步積分中出現(xiàn)的關(guān)于邊界項(xiàng),這也是本文的主要貢獻(xiàn)之一。(4)第三章中我們得到的所有的先驗(yàn)估計(jì)均不依賴于時間T,當(dāng)時間趨向于無窮大時,我們不但證明了溫度函數(shù)趨向于正常數(shù)_T,而且得到了函數(shù)u對一平衡態(tài)的收斂性,將Pego關(guān)于非線性粘彈性方程的結(jié)果推廣到了我們所考慮的非線性熱粘彈性方程組,這為在滿足其它邊界條件所對應(yīng)的初邊值問題所沒有的結(jié)果。同主題文章1.何樹紅. 一類非線性發(fā)展方程的動力學(xué)行為(英文) J. 數(shù)學(xué)研究. 199

8、9.(01)2.劉愛榮,潘亦蘇,周本寬. 形狀記憶合金熱力學(xué)行為的模擬 J. 計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào). 2002.(01)3.張紅，王小杰，涂水華. 形狀記憶合金及其應(yīng)用 J. 河南科技. 1996.(10)4.趙磊娜,張興友,邢庭莉. 一類非線性發(fā)展方程的漸近吸引子 J. 重慶大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版). 2007.(02)5.那順布和,蘇志勛. 一類非線性發(fā)展方程的AGE-3方法和并行計(jì)算 J. 大連理工大學(xué)學(xué)報(bào). 2005.(03)6.曹名洲. 智能化金屬形狀記憶合金 J. 百科知識. 1996.(03)7.王健,沈亞鵬,王社良. 形狀記憶合金的本構(gòu)關(guān)系 J. 力學(xué)季刊. 1998.(03)8.黃德生,李進(jìn). 形狀記憶合金軸對稱結(jié)構(gòu)的有限元分析 J. 應(yīng)用基礎(chǔ)與工程科學(xué)學(xué)報(bào). 1998.(04)9.吳軼,周云,楊春. 形狀記憶合金減震控制技術(shù)的研究與應(yīng)用 J. 世界地震工程. 1999.(02)10.吳波,