非線性方程解法

1、第七章 非線性方程解法Newton法    方法構(gòu)造近似解的一個(gè)思路是以直代曲,以線性函數(shù)代非線性函數(shù).Newton法是在初始近似x0作Taylor展開:f(x)= f(x0)+f(x0)(x-x0)+f()(x-x0)2/2略去余項(xiàng),取其零點(diǎn)為新近似x1, y=f(x) x0 x1(x0,f(x0)x n+1=xn-f(xn)(xn-x n-1)/(f(xn)- f(xn-1)x1=x0-f(x0)/f(x0)一般地,對(duì)n=0,1,2,計(jì)算x n+1=xn-f(xn)/f(xn)直到x n+1-xn.這就是Newton法.幾何上也就是由(x0,f(x0

2、)作f(x)的切線,交x軸于x1.因此,Newton法也叫切線法.例5. 同例2,取x0=1.5,用Newton迭代解方程.解：取迭代初值x0=1.5，迭代公式x(k+1)=x(k)-f(x(k)/y(x(k);計(jì)算結(jié)果見下表.nxn01.5000000000000011.3478260869565221.3252003989509131.3247181739990541.3247179572447951.3247179572447561.32471795724475nxn01.5000000000000011.4166666666666721.4142156862745131.4142135

3、623746941.4142135623730951.41421356237309例6.例7.例8.例9.例10.例11.例12.例13.例：用Newton迭代解方程x2-2=0的根.解：取迭代初值x0=1.5，迭代公式xn+1=(xn+2/xn)/2。計(jì)算結(jié)果見下表.     收斂性 Newton迭代法在f(x)=0單根附近是二階收斂的,并且有x n+1-f()/(2f()x n-2 由0= f()=f(x n)+f(x n)(-x n)+f()(-xn)2/2 得x n+1-= f()/(2f(x n)(-xn)2 據(jù)此可推出在附近取x0,誤差越來越

4、小,是二階收斂的.注意到Newton迭代法也可視為不動(dòng)點(diǎn)迭代法 (x )=x-f(x)/f(x)從而應(yīng)用其結(jié)果,亦得二階收斂。在這里單根的假設(shè)是必要的.例如,在求(x-1)2=0的二重根時(shí).Newton迭代 x n+1=x n-(x n-1)/2=(x n+1)/2x n+1-1=(x n-1)/2 是線性收斂的.     變形Newton迭代法有多種變形.簡(jiǎn)化Newton法.為減少計(jì)算導(dǎo)數(shù)的化費(fèi),可只求f(x0)以后所有導(dǎo)數(shù)值就用它,不另求.這相當(dāng)于第一次作切線,以后作其平行線.當(dāng)然,這樣收斂要慢些.還可以取折衷方案,隔幾步計(jì)算導(dǎo)數(shù).簡(jiǎn)化牛頓實(shí)驗(yàn)上機(jī)題

5、目:簡(jiǎn)化牛頓實(shí)驗(yàn)Newton法實(shí)驗(yàn)?zāi)康?編制求單變量非線性方程組的程序.實(shí)驗(yàn)要求: 上機(jī)前充分準(zhǔn)備，復(fù)習(xí)有關(guān)內(nèi)容，寫出計(jì)算步驟，查對(duì)程序；完成實(shí)驗(yàn)后寫出完整的實(shí)驗(yàn)報(bào)告，內(nèi)容應(yīng)該包括：所用的算法語言，算法步驟陳述，變量說明，程序清單，輸出計(jì)算結(jié)果，結(jié)果分析等；用編好的程序在atlab環(huán)境中執(zhí)行簡(jiǎn)化Newton法.來解方程；計(jì)算步驟：準(zhǔn)備 選定初始近似值x，計(jì)算f=f(x),。迭代 按公式 x迭代一次，得新的近似值x, 計(jì)算.控制 如果 x滿足或，則終止迭代，以x作為所求的根；否則轉(zhuǎn)步驟4，此處是允許誤差，而 時(shí)。其中c是取絕對(duì)誤差或相對(duì)誤差的控制常數(shù)，一般可取c=1.修改 如果迭代次數(shù)達(dá)到預(yù)先指

6、定的次數(shù)N，或者=0，則方程失敗；否則以（x，）代替（）轉(zhuǎn)步驟2繼續(xù)迭代。例題：用簡(jiǎn)化牛頓方法解方程 x-x-1=0，取迭代初值 x=1.5, d=10.Matlab程序: function x=snewtonfa(f,x0,d,max)y=diff(f); %取導(dǎo)數(shù) y=inline(y); %定義yf=inline(f); % 定義fdisp('k x '); %以指定格式輸出'k','x'.for k=1:max x(k+1)=x(k)-f(x(k)/y(x(k); % 計(jì)算公式 disp(sprintf('%d %f ',

7、k,x(k); %輸出計(jì)算結(jié)果 if abs(x(k+1)-x(k)<d %判斷是否小于d break end endx=x(k+1);運(yùn)行結(jié)果：syms xf=x*expx-1x0=1.5;d=10(-6);max=20x=snewtonfa(f,x0,d,max)k x 1 1.500000 2 1.347826 3 1.325200 4 1.324718 ans =1.3247簡(jiǎn)化Newton法流程圖:流程圖解釋：1） 輸入和最大循環(huán)次序N；2）把1 賦給k;3）判斷是否等于零，若=0，則輸出奇異標(biāo)志，停止；若，則到步驟 4）； 4）把賦給；5）判斷，若那么輸出方程的近似解，即輸出 ，停止；若，那么到步驟6；6）判斷k 是否等于 N ，若k=N ，那么，輸出迭代法失敗，停止；否則過第7步； 7）把k+1 賦給 k,把賦給，且到步2. Newton-下山法.每次迭代在改變量前加一因子以保證收斂:x n+1=xn-n f(xn)/f(xn)這兒n在0,1間,可用各種方法搜索,例如用分半法取1,1/2,1/4,試探,使下山條件f(xn+1)<f(xn)成立為止。復(fù)習(xí)思考題 1. 什么叫二分法，它的優(yōu)點(diǎn)是什么？如何估計(jì)誤差？在什么情況下不能用二分法求根？ 2. 什么是簡(jiǎn)單迭代