連續(xù)型隨機變量及其分布

1、第三章 連續(xù)型隨機變量及其分布一、教學(xué)要求 1理解連續(xù)型隨機變量及其概率密度的概念，并掌握其性質(zhì)，掌握均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布及其應(yīng)用 2理解二維隨機變量的聯(lián)合分布的概念、性質(zhì)以及連續(xù)型隨機變量聯(lián)合概率密度；會利用二維概率分布計算有關(guān)事件的概率 3理解二維隨機變量的邊緣分布，了解二維隨機變量的條件分布 4理解隨機變量的獨立性概念，掌握連續(xù)型隨機變量獨立的條件 5掌握二維均勻分布；了解二維正態(tài)分布的密度函數(shù)，理解其中參數(shù)的概率意義 6會求兩個獨立隨機變量的簡單函數(shù)的分布，會求兩個獨立隨機變量的簡單函數(shù)的分布，會求兩個隨機變量之和的概率分布 會求簡單隨機變量函數(shù)的概率分布 本章重點：一維及二維

2、隨機變量的分布及其概率計算二、知識要點 1分布函數(shù) 隨機變量的分布可以用其分布函數(shù)來表示，隨機變量取值不大于實數(shù)的概率稱為隨機變量的分布函數(shù)，記作, 即 2分布函數(shù)的性質(zhì) (1) () 是非減函數(shù)，即當時，有； (3) ; (4) 是右連續(xù)函數(shù)，即由已知隨機變量的分布函數(shù)，可算得落在任意區(qū)間內(nèi)的概率也可以求得 3聯(lián)合分布函數(shù) 二維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)規(guī)定為隨機變量取值不大于實數(shù)的概率，同時隨機變量取值不大于實數(shù)的概率，并把聯(lián)合分布函數(shù)記為，即 4聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì) (1) ； (2) 是變量(固定)或(固定)的非減函數(shù)； (3) ，；(4) 是變量(固定)或(固定)的右連續(xù)函數(shù)； (5) 5

3、連續(xù)型隨機變量及其概率密度 設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為，如果存在一個非負函數(shù)，使得對于任一實數(shù)，有成立，則稱X為連續(xù)型隨機變量，函數(shù)稱為連續(xù)型隨機變量的概率密度 6概率密度及連續(xù)型隨機變量的性質(zhì)（）（）； （）連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)為是連續(xù)函數(shù)，且在的連續(xù)點處有； （4）設(shè)為連續(xù)型隨機變量，則對任意一個實數(shù)c，； (5)設(shè)是連續(xù)型隨機變量的概率密度，則有 7常用的連續(xù)型隨機變量的分布 (1)均勻分布，它的概率密度為其中， (2)指數(shù)分布，它的概率密度為其中， (3)正態(tài)分布，它的概率密度為 ，其中，當時，稱為標準正態(tài)分布，它的概率密度為，標準正態(tài)分布的分布函數(shù)記作，即， 當出時，可查表得到；當時

4、，可由下面性質(zhì)得到設(shè)，則有 ；二維連續(xù)型隨機變量及聯(lián)合概率密度 對于二維隨機變量(X，Y)的分布函數(shù)，如果存在一個二元非負函數(shù)，使得對于任意一對實數(shù)有成立，則為二維連續(xù)型隨機變量，為二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度 二維連續(xù)型隨機變量及聯(lián)合概率密度的性質(zhì) (1) ； (2) ； (3) 設(shè)為二維連續(xù)型隨機變量，則對任意一條平面曲線，有； (4) 在的連續(xù)點處有 ; (5) 設(shè)為二維連續(xù)型隨機變量，則對平面上任一區(qū)域有 1，二維連續(xù)型隨機變量的邊緣概率密度 設(shè)為二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度，則的邊緣概率密度為；的邊緣概率密度為 1二維連續(xù)型隨機變量的條件概率密度 設(shè)為二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合

5、概率密度，則在給定的條件下的條件概率密度為，其中；在給定的條件下的條件概率密度為，其中 1常用的二維連續(xù)型隨機變量 (1)均勻分布 如果在二維平面上某個區(qū)域G上服從均勻分布，則它的聯(lián)合概率密度為 (2) 二維正態(tài)分布 如果的聯(lián)合概率密度則稱服從二維正態(tài)分布，并記為. 如果，則，即二維正態(tài)分布的邊緣分布還是正態(tài)分布 1隨機變量的相互獨立性 如果與的聯(lián)合分布函數(shù)等于的邊緣分布函數(shù)之積，即， 那么，稱隨機變量與相互獨立 設(shè)為二維連續(xù)型隨機變量，則與相互獨立的充分必要條件為 如果那么，與相互獨立的充分必要條件是 多維隨機變量的相互獨立性可類似定義即多維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)等于每個隨機變量的邊緣分布函

6、數(shù)之積，多維連續(xù)型隨機變量的獨立性有與二維相應(yīng)的結(jié)論 1隨機變量函數(shù)的分布（）一維隨機變量函數(shù)的概率密度 設(shè)連續(xù)型隨機變量的概率密度為，則隨機變量的分布函數(shù)為其中，與是相等的隨機事件，而是實數(shù)軸上的某個集合隨機變量的概率密度可由下式得到： 連續(xù)型隨機變量函數(shù)有下面兩條性質(zhì)： (i)設(shè)連續(xù)型隨機變量的概率密度為，是單調(diào)函數(shù)，且具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，是的反函數(shù)，則的概率密度為 (ii) 設(shè)，則當時，有，特別當時，有，（）二維隨機變量函數(shù)的概率密度 設(shè)二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度為,則隨機變量函數(shù)的分布函數(shù)為,其中，是與等價的隨機事件，而是二維平面上的某個集合(通常是一個區(qū)域或若干個區(qū)域的并集) 隨機變量函數(shù)的概率密度為. 當與相互獨立，且的概率密度為,的概率密度為時，隨機變量函數(shù)的概率密度為,