連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布

1、第三章 連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布一、教學(xué)要求 1理解連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的概念，并掌握其性質(zhì)，掌握均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布及其應(yīng)用 2理解二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布的概念、性質(zhì)以及連續(xù)型隨機(jī)變量聯(lián)合概率密度；會(huì)利用二維概率分布計(jì)算有關(guān)事件的概率 3理解二維隨機(jī)變量的邊緣分布，了解二維隨機(jī)變量的條件分布 4理解隨機(jī)變量的獨(dú)立性概念，掌握連續(xù)型隨機(jī)變量獨(dú)立的條件 5掌握二維均勻分布；了解二維正態(tài)分布的密度函數(shù)，理解其中參數(shù)的概率意義 6會(huì)求兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的簡(jiǎn)單函數(shù)的分布，會(huì)求兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的簡(jiǎn)單函數(shù)的分布，會(huì)求兩個(gè)隨機(jī)變量之和的概率分布 會(huì)求簡(jiǎn)單隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布 本章重點(diǎn)：一維及二維

2、隨機(jī)變量的分布及其概率計(jì)算二、知識(shí)要點(diǎn) 1分布函數(shù) 隨機(jī)變量的分布可以用其分布函數(shù)來(lái)表示，隨機(jī)變量取值不大于實(shí)數(shù)的概率稱(chēng)為隨機(jī)變量的分布函數(shù)，記作, 即 2分布函數(shù)的性質(zhì) (1) () 是非減函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，有； (3) ; (4) 是右連續(xù)函數(shù)，即由已知隨機(jī)變量的分布函數(shù)，可算得落在任意區(qū)間內(nèi)的概率也可以求得 3聯(lián)合分布函數(shù) 二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)規(guī)定為隨機(jī)變量取值不大于實(shí)數(shù)的概率，同時(shí)隨機(jī)變量取值不大于實(shí)數(shù)的概率，并把聯(lián)合分布函數(shù)記為，即 4聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì) (1) ； (2) 是變量(固定)或(固定)的非減函數(shù)； (3) ，；(4) 是變量(固定)或(固定)的右連續(xù)函數(shù)； (5) 5

3、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，如果存在一個(gè)非負(fù)函數(shù)，使得對(duì)于任一實(shí)數(shù)，有成立，則稱(chēng)X為連續(xù)型隨機(jī)變量，函數(shù)稱(chēng)為連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度 6概率密度及連續(xù)型隨機(jī)變量的性質(zhì)（）（）； （）連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為是連續(xù)函數(shù)，且在的連續(xù)點(diǎn)處有； （4）設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，則對(duì)任意一個(gè)實(shí)數(shù)c，； (5)設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度，則有 7常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布 (1)均勻分布，它的概率密度為其中， (2)指數(shù)分布，它的概率密度為其中， (3)正態(tài)分布，它的概率密度為 ，其中，當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，它的概率密度為，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)記作，即， 當(dāng)出時(shí)，可查表得到；當(dāng)時(shí)

4、，可由下面性質(zhì)得到設(shè)，則有 ；二維連續(xù)型隨機(jī)變量及聯(lián)合概率密度 對(duì)于二維隨機(jī)變量(X，Y)的分布函數(shù)，如果存在一個(gè)二元非負(fù)函數(shù)，使得對(duì)于任意一對(duì)實(shí)數(shù)有成立，則為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，為二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度 二維連續(xù)型隨機(jī)變量及聯(lián)合概率密度的性質(zhì) (1) ； (2) ； (3) 設(shè)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則對(duì)任意一條平面曲線，有； (4) 在的連續(xù)點(diǎn)處有 ; (5) 設(shè)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則對(duì)平面上任一區(qū)域有 1，二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度 設(shè)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度，則的邊緣概率密度為；的邊緣概率密度為 1二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件概率密度 設(shè)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合

5、概率密度，則在給定的條件下的條件概率密度為，其中；在給定的條件下的條件概率密度為，其中 1常用的二維連續(xù)型隨機(jī)變量 (1)均勻分布 如果在二維平面上某個(gè)區(qū)域G上服從均勻分布，則它的聯(lián)合概率密度為 (2) 二維正態(tài)分布 如果的聯(lián)合概率密度則稱(chēng)服從二維正態(tài)分布，并記為. 如果，則，即二維正態(tài)分布的邊緣分布還是正態(tài)分布 1隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性 如果與的聯(lián)合分布函數(shù)等于的邊緣分布函數(shù)之積，即， 那么，稱(chēng)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立 設(shè)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，則與相互獨(dú)立的充分必要條件為 如果那么，與相互獨(dú)立的充分必要條件是 多維隨機(jī)變量的相互獨(dú)立性可類(lèi)似定義即多維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)等于每個(gè)隨機(jī)變量的邊緣分布函

6、數(shù)之積，多維連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性有與二維相應(yīng)的結(jié)論 1隨機(jī)變量函數(shù)的分布（）一維隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為，則隨機(jī)變量的分布函數(shù)為其中，與是相等的隨機(jī)事件，而是實(shí)數(shù)軸上的某個(gè)集合隨機(jī)變量的概率密度可由下式得到： 連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)有下面兩條性質(zhì)： (i)設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為，是單調(diào)函數(shù)，且具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，是的反函數(shù)，則的概率密度為 (ii) 設(shè)，則當(dāng)時(shí)，有，特別當(dāng)時(shí)，有，（）二維隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為,則隨機(jī)變量函數(shù)的分布函數(shù)為,其中，是與等價(jià)的隨機(jī)事件，而是二維平面上的某個(gè)集合(通常是一個(gè)區(qū)域或若干個(gè)區(qū)域的并集) 隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度為. 當(dāng)與相互獨(dú)立，且的概率密度為,的概率密度為時(shí)，隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度為,