行星齒輪傳動(dòng)固有頻率的統(tǒng)計(jì)特性分析

1、第24卷2005年第6期6月機(jī)械科學(xué)與技術(shù)MECHANICALSCIENCEANDTECHNOLOGYVol.24JuneNo.62005文章編號(hào):100328728(2005)0620705205行星齒輪傳動(dòng)固有頻率的統(tǒng)計(jì)特性分析王世宇,張策,宋軼民,楊通強(qiáng)(天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,天津300072)王世宇摘要:建立了2K-H直齒行星齒輪傳動(dòng)平移-扭轉(zhuǎn)耦合模型,分析了行星傳動(dòng)的固有特性?；趥鲃?dòng)系統(tǒng)的三種典型的振動(dòng)模式(扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模式、平移振動(dòng)模式和行星輪振動(dòng)模式),以及有關(guān)的特征敏感度計(jì)算方法,引入隨機(jī)參數(shù),以解析形式給出了三種振動(dòng)模式固有頻率的統(tǒng)計(jì)量計(jì)算方法,并對(duì)模態(tài)躍遷造成的方差突變現(xiàn)象做

2、了初步研究。指出在發(fā)生模態(tài)躍遷的參數(shù)敏感位置,參數(shù)的隨機(jī)性導(dǎo)致了行星齒輪傳動(dòng)的動(dòng)態(tài)特性不穩(wěn)定,在動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)中應(yīng)小心避開。仿真結(jié)果證明了所得結(jié)論的正確性。關(guān)鍵詞:行星傳動(dòng);自由振動(dòng);隨機(jī)參數(shù);模態(tài)躍遷中圖分類號(hào):TH132.425文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:AStatisticalAnalysisoftheEigenvalueofPlanetaryGearsWANGShi2yu,ZHANGCe,SONGYi2min,YANGTong2qiang(SchoolofMechanicalEngineering,TianjinUniversity,Tianjin300072)Abstract:Amodelforsimul

3、atingthefreevibrationof2K2Hspurplanetarygearsisestablished.Thethree2dimensionalmodelincludestworigidbodyandonerotationmotionsofthegearsandthecarrier.Thenaturalfrequenciesandvibrationmodesareinvestigated.Basedonthethreetypicalvibrationmodes:ro2tationalmodes,translationmodesandplanetmodes,theeigenvalu

4、e2sensitivityarecalculatedandex2pressedinsimpleformulae.Randomparametersareincludedandthestatisticsexpressionsofthethreetypesoffrequenciesaregiven.Thephenomenonofthestatisticsmutationcausedbylociveeringisinvesti2gated.Theinstabilityofthedynamiccharacteristicscausedbytherandomnessofparametersinthesen

5、si2tiveregionisobvious,whichshouldbeavoidedinthedynamicdesign.Theconclusionsaredemonstratedbysimulationresult.Keywords:Planetarygear;Freevibration;Randomparameters;Modejumping前人文獻(xiàn)中多依據(jù)不含隨機(jī)參數(shù)的確定性模型來研究行星傳動(dòng)的動(dòng)態(tài)特性。由于工程實(shí)際中存在裝配及制造誤差,因此,傳動(dòng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)、幾何尺寸會(huì)產(chǎn)生隨機(jī)波動(dòng)。依據(jù)參數(shù)與固有特性之間的關(guān)系,系統(tǒng)的模態(tài)也將表現(xiàn)出一定的隨機(jī)性。建立隨機(jī)有限元模型,研究由參數(shù)隨機(jī)性

6、引起的模態(tài)特性改變的定量描述,以及由此導(dǎo)致的行星傳動(dòng)的可靠性問題,對(duì)建立基本參數(shù)與動(dòng)態(tài)特性之間準(zhǔn)確的映射關(guān)系以及基于可靠度的動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì),均有一定的指導(dǎo)意義。進(jìn)行行星傳動(dòng)隨機(jī)分析,需要確定概率密度函數(shù)(或累積概率分布函數(shù))。但是,在工程實(shí)際中,往往由于信息不足或其它條件的限制,而難以確定。鑒于此,工程中往往利用一階矩(均值)和二階矩(方差)所提供的信息對(duì)模態(tài)特性的某一方面從數(shù)字特征角度給以定量描述,從而展開隨機(jī)分析工作。到目前為止,國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)隨機(jī)結(jié)構(gòu)的模收稿日期:20040406基金項(xiàng)目:國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(50205019)資助,教育部高校博士點(diǎn)基金資助項(xiàng)目(20040056018)作者簡(jiǎn)介

7、:王世宇(1974-),男(漢),河北,博士研究生態(tài)統(tǒng)計(jì)特性進(jìn)行了深入地研究16。文獻(xiàn)1應(yīng)用Krone2cker代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)理論、隨機(jī)分析和概率攝動(dòng)技術(shù)等,對(duì)隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中包含隨機(jī)變量的自由振動(dòng)問題進(jìn)行了研究,得出了系統(tǒng)的特征值和特征向量的統(tǒng)計(jì)量;文獻(xiàn)2將矩陣攝動(dòng)理論與靈敏度分析方法相結(jié)合,得到了固有頻率的統(tǒng)計(jì)特性(均值與方差)的計(jì)算公式;而文獻(xiàn)3則運(yùn)用一階隨機(jī)攝動(dòng)法給出了隨機(jī)橋梁結(jié)構(gòu)特征值問題的基本關(guān)系式,之后,又根據(jù)隨機(jī)有限元法求解了動(dòng)力特性對(duì)隨機(jī)參數(shù)的靈敏度矩陣,并得到隨機(jī)特征值的統(tǒng)計(jì)特征。前人對(duì)隨機(jī)模型的研究做了不少的工作,但是,有關(guān)行星傳動(dòng)模態(tài)數(shù)字特征方面的研究并未見報(bào)導(dǎo)。本文研究

8、了行星傳動(dòng)的模態(tài)統(tǒng)計(jì)特性。文中用到了幾個(gè)假設(shè):(1)引入的隨機(jī)變量滿足獨(dú)立性條件。在工程實(shí)際中,隨機(jī)變量間往往是相關(guān)的,但相關(guān)的隨機(jī)變量可以轉(zhuǎn)化為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量7,因此,本文只研究具有獨(dú)立性的隨機(jī)變量。由于固有頻率(特征值)是隨質(zhì)量、剛度等參8數(shù)連續(xù)變化的函數(shù),因此,特征值之間也滿足獨(dú)立性條© 1995-2006 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.706機(jī)械科學(xué)與技術(shù)第24卷件9;(2)隨機(jī)變量不僅獨(dú)立,且具有可疊加性。在數(shù)據(jù)量很大的情況下,依據(jù)中心極限定理,其極限狀態(tài)服從正態(tài)分布,因此假定隨

9、機(jī)參數(shù)滿足正態(tài)分布規(guī)律;(3)不失一般性,假定固有頻率也服從正態(tài)分布10。1行星傳動(dòng)模型及其模態(tài)特性分析1.1行星傳動(dòng)模型圖1中:kpn為行星輪軸承剛度(n=1,2,N);n為(n-1)/N,n=第n個(gè)行星輪與水平方向的夾角(n=21,2,N);kij為中心構(gòu)件(太陽(yáng)輪、系桿和內(nèi)齒圈)的軸向、周向支撐剛度(i=c,r,s,c、r和s分別表示系桿、內(nèi)齒圈和太陽(yáng)輪;j=x,y,u);(xi,yi,ui)為構(gòu)件形心的廣義坐標(biāo)。ui=rii式中:ri,若i=c,則為行星輪幾何形心到系桿的距離;若i=r,s,1,2,N,則為內(nèi)齒圈、太陽(yáng)輪及各行星輪的基圓半徑;i為相應(yīng)各構(gòu)件的角位移。依據(jù)牛頓第二定律,經(jīng)

10、分析得模型自由振動(dòng)方程(1)Mq+Kq=0式中:廣義坐標(biāo)q、系數(shù)矩陣M和k均為隨機(jī)參數(shù)矩陣11。1.2模態(tài)特性分析文獻(xiàn)11根據(jù)振型向量中3個(gè)中心構(gòu)件振動(dòng)狀況的不同,將其歸結(jié)分為3類振動(dòng)模式:(1)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模式。中心構(gòu)件只有扭轉(zhuǎn)振動(dòng),此時(shí)固有頻率為單重;(2)平移振動(dòng)模式。中心構(gòu)件只有平移振動(dòng),固有頻率重?cái)?shù)為2;(3)行星輪振動(dòng)模式。中心構(gòu)件沒有振動(dòng),只有行星輪振動(dòng),固有頻率重?cái)?shù)為N-3。利用表1中所提供的數(shù)據(jù),生成3種振型圖,如下圖2所示。文獻(xiàn)11中給出了行星傳動(dòng)的具體建模過程。圖1為行星傳動(dòng)的計(jì)算模型。圖1行星傳動(dòng)計(jì)算模型表13種振動(dòng)模式固有頻率的統(tǒng)計(jì)特性及相對(duì)誤差系桿質(zhì)量mc=0.3624

11、0(kg)均值(Hz)917.7151248.5321963.477系桿質(zhì)量mc=0.36245(kg)相對(duì)誤差1.8533.3634.2862.7064.8343.1332.4621.1244.9751.8712.6690.8725.0983.9322.341均方差(Hz)17.00941.99284.154161.333288.206228.411257.06817.27098.01049.130207.454113.96992.155234.403163.409均值(Hz)917.7131248.5361963.4765961.948(12)5961.948(13)7291.049104

12、41.1211536.4041970.1022625.3947772.51413070.5401807.6975961.954(14)6980.888均方差(Hz)17.00941.99084.154165.472161.307228.405257.06817.27098.01049.130207.454113.96992.155358.320163.409相對(duì)誤差1.8533.3634.2862.7752.7063.1332.4621.1244.9751.8712.6690.8725.0986.0102.341平移振動(dòng)模式5962.298(13)5962.298(14)7290.999104

13、41.1201536.4041970.102扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模式2625.3947772.51413070.5401807.697行星輪振動(dòng)模式5961.954(12)6980.888注:表中括號(hào)內(nèi)的數(shù)值為固有頻率階次,相對(duì)誤差=(均方差/均值)×100%© 1995-2006 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.第6期圖2中的3種振動(dòng)模式,3個(gè)中心構(gòu)件在各振動(dòng)模式下的運(yùn)動(dòng)規(guī)律相似,除了振幅和相位差異外,或同時(shí)作扭轉(zhuǎn)振動(dòng)(圖2(a),或同時(shí)作平移振動(dòng)(圖2(b)。而在行星輪振動(dòng)模式中,中心構(gòu)件(太

14、陽(yáng)輪、系桿、內(nèi)齒圈)不再振動(dòng)(圖2(c)。為了表達(dá)清晰,沒有給出系桿的振動(dòng)狀況。2行星傳動(dòng)模態(tài)敏感度及王世宇等:行星齒輪傳動(dòng)固有頻率的統(tǒng)計(jì)特性分析70722xn+yn=mc,mr,ms,m1,mN,n=c,r,s,1,2,Nun2=Ic,Ir,Is,I1,IN,n=c,r,s,1,2,N=kr,ks(7)式(6)中:sn+yscossn-xnsins-yncoss+us+unsn=-xssinrn+yrcosrn+xnsinr-yncosr+ur-unrn=-xrsin綜合式(3)式(7)可得固有頻率關(guān)于傳動(dòng)的剛度及質(zhì)量參數(shù)的敏感度計(jì)算公式,即n=1()ijnN2=kr,j=r或=ks,j=s

15、=kj,j=c,r,s其數(shù)字特征計(jì)算2.1特征值敏感度計(jì)算為了考察傳動(dòng)隨機(jī)參數(shù)對(duì)固有頻率的影響,需要研究固有頻率關(guān)于某參數(shù)的敏感度。下面給出文獻(xiàn)12中有關(guān)靈敏度分析的簡(jiǎn)要推導(dǎo)過程。設(shè)i為第i階扭轉(zhuǎn)振動(dòng)圖2行星傳動(dòng)的振動(dòng)模式模式固有頻率,<i為與之對(duì)應(yīng)的振型,則特征對(duì)(i,<i)滿足(K-iM)<i=0(2)式中:K為剛度矩陣;M為質(zhì)量矩陣。設(shè)傳動(dòng)參數(shù)為,對(duì)式(1)關(guān)于此參數(shù)求偏導(dǎo)可得固有頻率靈敏度公式-(3)=<i<ii如果i為平移振動(dòng)模式或行星輪振動(dòng)模式固有頻率,此時(shí)為重根。假定i的重?cái)?shù)為m,并有一組m個(gè)兩兩正交T=Im×的特征向量=1,2,m,且滿足

16、Mm,假xj+yjN22n=1()inr2i2+(=kpnt)uj2=kju,j=c,r,s(8)和22-i(xj+yj)=mj,j=c,r,s=Ij,j=c,r,s-iuj/rjN22-in=1N(x2n+yn)2=mp=Ip(9)22-iun/rpn=12.2固有頻率的數(shù)字特征將第i階特征值i表示為-1,10i=i+i(10)定ai=-1<i,則有D-i為由參數(shù)隨機(jī)性引起式中:i為第i階固有頻率均值;的第i階固有頻率的微小改變量。由概率知識(shí)得2(11)var=E-E()2(12)vari=Ei-E(i)i在隨機(jī)參數(shù)均值p附近展開,由Taylor展開式,將并取至一階,有-i(13)-E

17、()i()=-=綜合式(10)式(13),得特征值方差計(jì)算表達(dá)式-2(14)vari=var()5由式(8)、式(9)和式(14)得固有頻率的方差計(jì)算公式vari()=N-ai=0(4)D=-i<Ti<=i(5)經(jīng)分析得Nn=1()ijn2=kr,j=r或=ks,j=s,n=1,2,N=mc,mr,ms,m1,mN(6)n=1Ni2(jn)2=kr,j=r或=ks,j=s=kj,j=c,r,s22(x2j+yj)和<Ti<=iuj4n=1()inr2i2+(nt)2=kp=kju,j=c,r,s© 1995-2006 Tsinghua Tongfang Opt

18、ical Disc Co., Ltd. All rights reserved.708機(jī)械科學(xué)與技術(shù)第24卷和2222i(xj+yj)442iuj/rj=mj,j=c,r,s=Ij,j=c,r,s3仿真算例vari()2iNn=1(xN2n+yn2222=mp=Ip以四行星輪傳動(dòng)為例,假定各構(gòu)件的質(zhì)量為隨機(jī)參數(shù),且滿足獨(dú)立性,方差均為0.02kg2。利用表2中數(shù)據(jù),通過變動(dòng)系桿質(zhì)量均值,得到固有頻率及方差變化規(guī)律(圖3、圖5)。2iun/2n=1表2行星傳動(dòng)基本參數(shù)傳動(dòng)參數(shù)基圓半徑(m)質(zhì)量(kg)I/r2(kg)系桿0.1768內(nèi)齒圈0.27502.353.008太陽(yáng)輪0.07740.40.

19、398行星輪0.10030.660.6186.291.0×100.00軸承剛度(N/m)周向支撐剛度(N/m)嚙合剛度(N/m)嚙合角(°1.0×101.0×100.005.0×10824.61.0×1081.0×109圖3中,系桿質(zhì)量的改變只對(duì)高階固有頻率有較大影響。值得注意的是點(diǎn)A、B兩處的“模態(tài)躍遷”現(xiàn)象。其中A處即為文獻(xiàn)12中提到的“固有頻率軌跡分離”位置,而B為“固有頻率軌跡相交”位置。對(duì)于前者,軌跡發(fā)生突變,離得很近,但沒有相交;后者較復(fù)雜些,圖4為點(diǎn)B處的局部放大,粗實(shí)線為具有平移振動(dòng)模式的13和14,此時(shí)兩條

20、軌跡重合。12為行星輪振動(dòng)模式軌跡。在點(diǎn)A、D兩處,傳動(dòng)的固有頻率軌跡發(fā)生突變,隨系桿質(zhì)量的增加,固有頻率軌跡在A處“一分為二”,單值變雙值,同時(shí)振動(dòng)模式發(fā)生突變。而在D處則“合二為一”,兩條振動(dòng)模式不同的軌跡重合,振動(dòng)模式也轉(zhuǎn)變?yōu)閱我坏钠揭普駝?dòng)。此外,軌跡上的線段AB、AD和CD上,振動(dòng)模式不明顯,不再具有文獻(xiàn)11中所提的清晰振動(dòng)模式特征。13始終保持上升狀態(tài),14則迅速下降,三者之間變化各異,規(guī)律明顯,形成強(qiáng)烈反差。取點(diǎn)B附近的兩個(gè)值,在B點(diǎn)左側(cè)取系桿質(zhì)量mc=0.36240kg,B點(diǎn)右側(cè)取系桿質(zhì)量mc=0.36245kg。經(jīng)計(jì)算得固有頻率的均值、方差和相對(duì)誤差,如表1所示。圖4模態(tài)躍遷現(xiàn)

21、象圖3固有頻率變化軌跡圖5為各階固有頻率方差隨系桿質(zhì)量的變化軌跡。圖6為與之對(duì)應(yīng)的三維圖?？梢钥闯?圖中存在的“方差跳變(點(diǎn)A和B兩處)。無論在“現(xiàn)象”固有頻率軌跡分離”位置還是“固有頻率軌跡相交”位置,相關(guān)軌跡方差的上升與下降是同時(shí)發(fā)生的。就點(diǎn)B處而言,12方差值突然上升,而圖5固有頻率方差變化曲線© 1995-2006 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.第6期王世宇等:行星齒輪傳動(dòng)固有頻率的統(tǒng)計(jì)特性分析7096OhDH,LibrescuL.Freevibrationandreliability

22、ofcompositecantileversfeaturinguncertainpropertiesJ.ReliabilityEngi2neeringandSystemSafety,1997,56(3):2652727何水清,王善.結(jié)構(gòu)可靠性分析與設(shè)計(jì)M.北京:國(guó)防工業(yè)出版社,19938程云鵬.矩陣論M.西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,20009天津大學(xué)數(shù)學(xué)系概率統(tǒng)計(jì)教研室.應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)M.天津大學(xué)出版社,199010張義民,聞邦椿.隨機(jī)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)振動(dòng)的頻率可靠性分析J.機(jī)械強(qiáng)度,2002,24(2):24024211LinJ,ParkerRG.Analyticalcharacterizationof

23、theuniquepropertiesofplanetarygearfreevibrationJ.JournalofVi2brationandAcoustics,1999,121:31632112LinJ,ParkerRG.Sensitivityofplanetarygearnaturalfrequen2ciesandvibrationmodestomodelparametersJ.JournalofSoundandVibration,1999,228(1):109128圖6與圖5對(duì)應(yīng)的三維圖文獻(xiàn)12給出了傳動(dòng)的模態(tài)特性與傳動(dòng)參數(shù)間的關(guān)系,并指出系桿質(zhì)量對(duì)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模態(tài)和行星輪振動(dòng)模態(tài)沒有影響,

24、僅對(duì)平移振動(dòng)模態(tài)有影響。由表2可知扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模式固有頻率不隨系桿質(zhì)量的改變而改變,而平移振動(dòng)模式固有頻率隨系桿質(zhì)量改變有較大幅度變化。行星輪模式固有頻率也基本符合文獻(xiàn)12中所述規(guī)律。但12的均值基本不變,但均方差發(fā)生突變,降低了許多,其振動(dòng)模式也發(fā)生突變:由行星輪振動(dòng)模式變?yōu)槠揭普駝?dòng)模式。13的均值和均方差基本不變,其振動(dòng)模式也沒有改變。14的固有頻率均值也基本未變,但基均方差發(fā)生突變,振動(dòng)模式則由平移振動(dòng)模式變?yōu)樾行禽喺駝?dòng)模式?？傊?模態(tài)躍遷不僅影響了傳動(dòng)的模態(tài)特性,而且影響了其模態(tài)的統(tǒng)計(jì)特性,產(chǎn)生方差突變現(xiàn)象。在設(shè)計(jì)參數(shù)隨機(jī)性影響下,均方差的突然變化,會(huì)使傳動(dòng)參數(shù)的取值不穩(wěn)定,在參數(shù)隨機(jī)性影

25、響下,傳動(dòng)性能難以得到保障。因此,若從參數(shù)取值穩(wěn)定性角度考慮,在行星傳動(dòng)的動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)中,應(yīng)避開模態(tài)統(tǒng)計(jì)特性的參數(shù)敏感區(qū)域。4結(jié)論(1)建立了2K-H直齒行星傳動(dòng)模型,分析了基本參(上接第704頁(yè))5結(jié)論(1)行星輪裝配誤差對(duì)系統(tǒng)均載的影響最大,因此在工作中尤其要注意在圓周方向的誤差分布情況;(2)各誤差對(duì)均載共同起作用,如果只減小其中某一個(gè)誤差值,并不能達(dá)到良好的均載效果;(3)在確定某個(gè)誤差參數(shù)后,能利用本文提供的方法得到其余參數(shù)的最佳值,提高系統(tǒng)的均載性能;(4)對(duì)于各齒輪中心軸線的制造和安裝誤差,在誤差值相同的情況下,具體來說,內(nèi)齒輪的誤差影響最大,太陽(yáng)輪的誤差影響次之,行星輪誤差影響最小。參考文獻(xiàn)1KrantzTL.AMethodtoAnalyzeandOptimizetheLoadSharingofSplitPathTransmissionsR.NASATechnicalMemorandum107201,19962KahramnA