數(shù)列通項(xiàng)公式與求和習(xí)題

1、=1, an an=1廣.n 1 n4作商法:已知aL an=f（n）求an,用作商法：anf(1),(n=1)=f (n) 2f(n -1),(n- 2)數(shù)列通項(xiàng)一.求數(shù)列通項(xiàng)公式1觀察法一，.，一1111已知數(shù)列3-,5-,7,9,A試寫出其一個(gè)通項(xiàng)公式：4816322公式法：（等差數(shù)列通項(xiàng)公式；等比數(shù)列通項(xiàng)公式。）等差數(shù)列On是遞增數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn,且a1,a3,a9成等比數(shù)列，S5=a2.求數(shù)列歸n）的通項(xiàng)公式.3用作差法：已知Sn（即a1+a2+L+an=f（n）求an,用作差法：an=«"'（）S-Sn,（n_2）1o1設(shè)正整數(shù)數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn

2、,滿足Sn=（an+1）,求an42 .已知an的前n項(xiàng)和滿足log2（Sn+1）=n+1,求an53 .數(shù)列an滿足a1=4,0+Sn書=an書，求an3如數(shù)列an中，a二1,對所有的n之2都有a1a2a3Aan=n11數(shù)列an滿足 一a1 十-2a2 +L +nan =2n +5 ,求 an222n,則a3+a§=5累力口法：若an+an=f(n)求an：an=(an-an=)+(an=一anq)+L+(a?a)+a(n22)。1已知數(shù)列，且a=2,an+1=an+n,求an.2已知數(shù)列an滿足a1(n>2),則an=6累乘法：已知±=f(n)求an,用累乘法：a

3、n=',4L.曳a(n之2)ananan/ai1已知數(shù)列滿足a=2,an+=an，求an。3n1.2已知數(shù)列an中，a=2,前n項(xiàng)和Sn,若Sn=n an =3n5 an =2n -1a =；3,n =1(2)an2n,n -2an,求an7用構(gòu)造法(構(gòu)造等差.等比數(shù)列)。(1)形如an書=pan+f(n)只需構(gòu)造數(shù)列限上消去f(n)帶來的差異.其中f(n)有多種不同形式f(n)為常數(shù)，即遞推公式為an=pan+q(其中p,q均為常數(shù)，(pq(p一1)#0)。解法：轉(zhuǎn)化為：an+-t=p(an-t),其中t=q,再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。.1-p例.已知數(shù)列On中，a1=1,an

4、+=2an+3,求an.f(n)為一次多項(xiàng)式，即遞推公式為an+=pan+rn+s例.設(shè)數(shù)列Qn,：a1=4,an=3an+2n+2,(n之2),求an.通項(xiàng)專題答案,11 an=2n1kan=舒，1_2an;14,n =1“2n 1,n_261162n-n42 2)an=,n1f：；21246 (1)an=-(2)an=3nn(n1)7 (1)an=2n1-3(2)an-63nl-n-12.已知a1=3且an+=3an+2n,求an答案：an=53n2n答案：an=53n2n1n(3n -3)3n3n 21一8.已知a1=且3Sn書Sn=an書，求an答案：an333a11.已知數(shù)列an的首

5、項(xiàng)ai=-，an+i=,n=1,2,，求an的通項(xiàng)公式；答案：an52an+1二.數(shù)列求和1.公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式，特別聲明：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時(shí)需分類討論.；常用公式:1十2+3+L+n=ln(n+1),12+22+L+n2=1n(n+1)(2n+1)2613+23+33+L+n3=n(n2+1)211例.已知log3x=,求x+x+x+x+的刖n項(xiàng)和.答案：Sn=1一log232n2 .分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和.n-12例2.求數(shù)列的前n項(xiàng)和：1+1，二+4,+7

6、,、劣+3門2,答案：&=十2二aa2aa-123 .倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和(這也是等差數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法).例3.求sin210+sin220+sin23°+sin2880+sin289%勺值答案：Sn=44.54 .錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法(這也是等比數(shù)列前n和公式的推導(dǎo)方法)23n 1例 4.求和：Sn=1+3x+5x +7x +，+(2n-1)x例5,求數(shù)列2 4-62,22 ,232n,

7、前n項(xiàng)的和.答案：Sn =4二22n25.裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián), 那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：11=二(1一，)；n(n 1) n n 1 n(n k) k n n k分 111,11 、111111122()k2 k2 -12 k -1 k 1 k k 1 (k 1)k k (k -1)k k -1 k1111=一n(n 1)(n 2)2 n(n 1) (n 1)(n 2)(n 1)! n!1(n 1)! 2( Jn +1 yfn') =尸<-=_= 2(57nL Vn 1).,n n 1. n 一 n 、n -

8、1 111 一例6.求數(shù)列 尸,r尸, ',；一；，- 1的刖n項(xiàng)和.答案:1 - 22.3 n "1Sn = n 1 -112n 一2例 7.在數(shù)列an中，an =+，又bn =,求數(shù)列bn的刖n項(xiàng)的和.n 1 n 1 n 1an an 1答案:Sn8nn 16.通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法：先對通項(xiàng)進(jìn)行變形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征，再運(yùn)用分組求和法求和。例8.求1+11+111+111方1之和答案：Sn=10吁9n-n181三.能力綜合1 .數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=,已知前m項(xiàng)和Sm=9,則m為(),n+1+.nA.99B.98C.10D.92 .數(shù)歹U1,1+2,1+2+22,，1+2+22+

9、-一+2n-1前n項(xiàng)和等于()A.2n+1-nB.2nC.2n-nD.2n+1-n-23 .數(shù)列4的首項(xiàng)為3,bn為等差數(shù)列且bn=an書an(nwNQ,若b3=2,b,0=12,則a8=(A.0B.3C.8D.114 .設(shè)數(shù)列an滿足a1=0且-一-=1。1-an11-an(1)求an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè) bn =n記Sn =£ bk，證明:k 4Sn：二15 .如果f(x+y)=f(x)f(y),且f(1)=-2，則fHf3)+f5)+l5f(2007)等于答案:f(2)f(4)f(6)f(2008)-5026 .設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為$=2n：bn為等比數(shù)列，且ab,6(a2-

10、a。=b(l)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；a21c(2)設(shè)cn=,求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn答案：(1)an=4n2,bn=F(2)Tn=(6n5)4n+5bn4n97.求滿足下列條件的數(shù)列an的通項(xiàng)公式。(1)已知 匕門滿足an+=an+1,a14n -11n_.=一；(2)已知Qn滿足an書=3an,且a1=3,求an。2“4n-31P答案：(1)an=竺an=324n-21111(1), , , ,L1 3 3 5 5 7 7 98 .求下面各數(shù)列的前n項(xiàng)和。1111,1232343454569 .設(shè)函數(shù)f(n)的定義域?yàn)镹+,且滿足f(m+n)=f(m)+f(n)+mn,f(1)=1,求

11、f(n)。a1210 .設(shè)正值數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn,滿足sn=(-)1(1)求a1,a2,a3(2)求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式(3)設(shè)bn=求數(shù)列bn的刖n項(xiàng)和Tnanan1答案：(1)a1=1,a2=3,a3=5；(2)an=2n1；(3)Tn=n2n111 .已知數(shù)列an：a1,a2,a3,an,構(gòu)造一個(gè)新數(shù)列：a,(a2-a0,(a3-a2),，(an-an-1),1此數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為1的等比數(shù)列3(l)求數(shù)列an的通項(xiàng)；(2)求數(shù)到an的前n項(xiàng)和Sn12. 已知數(shù)列an的首項(xiàng)ai=2,an=_2a_,n=1,2,31an1證明：數(shù)列（-1、是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列1口*的前n項(xiàng)和Sanan13. （2012大連一模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an滿足a=1,an書+an，an書一an=0。12n»（1）求證：數(shù)列一卜是等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列一前n項(xiàng)和Snoan.an答案：（1）an=1Sn=（n1）2n4+2n314. （2012東二省第一次聯(lián)考）數(shù)列an前n項(xiàng)和Sn,且Sn=-（an-1）,數(shù)列bn滿足21.3,_、一.一bn=bn,一一（n>2）,且b=3。44（1）求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列Cn滿足Cn=anSg2（b