數(shù)學(xué)(理)人教A新設(shè)計(jì)大一輪講義+習(xí)題：第二章第3節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性

1、第3節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性最新考綱1.結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性的含義；2.會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性；3.了解函數(shù)周期性、最小正周期的含義，會(huì)判斷、應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的周期性.I知訊衍正體驗(yàn)E顧鼓材.夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)梳理1.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點(diǎn)偶函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(x)=f(x),那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱奇函數(shù)如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(x)=f(x),那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(x+T)

2、=f(x),那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個(gè)函數(shù)的周期.(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)、那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.微點(diǎn)提醒1 .(1)如果一個(gè)奇函數(shù)f(x)在原點(diǎn)處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)=0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(|x|).2 .奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.3 .函數(shù)周期性常用結(jié)論對(duì)f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x:(1)若f(x+a)=f(x),則T=2a(a>0).r1(2)右f(x+a)=f(、，則T=2a

3、(a>0).f(X)1 1i若f(x+a)=,則T=2a(a>0).fXJ4.對(duì)稱性的三個(gè)常用結(jié)論(1)若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù)，則函數(shù)v=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.(2)若對(duì)于R上的任意x都有f(2ax)=f(x)或f(x)=f(2a+x),則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.(3)若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù)，則函數(shù)v=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱.基礎(chǔ)自測(cè)疑誤辨析1 .判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打或"x”)(1)函數(shù)y=x2在xC(0,+8)時(shí)是偶函數(shù).()(2)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則一定有f(0)=0.()(3)若T是函數(shù)的一個(gè)周

4、期，則nT(nCZ,nw0)也是函數(shù)的周期.()(4)若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對(duì)稱.()解析(1)由于偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故y=x2在(0,+8)上不具有奇偶性，錯(cuò).(2)由奇函數(shù)定義可知，若f(x)為奇函數(shù)，其在x=0處有意義時(shí)才滿足f(0)=0,(2)錯(cuò).由周期函數(shù)的定義，(3)正確.(4)由于v=f(x+b)的圖象關(guān)于(0,0)對(duì)稱，根據(jù)圖象平移變換，知y=f(x)的圖象關(guān)于(b,0)對(duì)稱，正確.答案(1)X(2)X(3)，(4)，教材衍化2 .(必修1P35例5改編)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是()A.y=x2sinxB.y=x2c

5、osx_xC.y=|lnx|D.y=2解析根據(jù)偶函數(shù)的定義知偶函數(shù)滿足f(-x)=f(x)且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，A選項(xiàng)為奇函數(shù)；B選項(xiàng)為偶函數(shù)；C選項(xiàng)定義域?yàn)?0,+8),不具有奇偶性；d選項(xiàng)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)答案B3.(必修4P46A10改編)設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)xC1,1)-4x2+2,-1<x<0,時(shí)，f(x)=區(qū)0<x<1,解析由題意得，f2!-f121=4X2j+2=1.答案1考題體驗(yàn)】4 .(2019衡水,K擬)下列函數(shù)既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增的是()1A.y=x3B.y=x4C.y=|x|D.y=|tanx|解

6、析對(duì)于A,y=x3為奇函數(shù)，不符合題意；1對(duì)于B,y=x4是非奇非偶函數(shù)，不符合題意；對(duì)于D,y=|tanx|是偶函數(shù)，但在區(qū)間(0,十°°)上不單調(diào)遞增.答案C5 .(2017全國(guó)II卷)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xC(8,0)時(shí)，f(x)=2x3+x,則f(2)=.解析x(一巴0)時(shí)，f(x)=2x3+x2,且f(x)在R上為奇函數(shù)，.f(2)=-f(-2)=-2X(-2)3+(-2)2=12.答案126.(2019上海崇明二模)設(shè)f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)x0,1時(shí)，f(x)=log2(x+1),則當(dāng)x1,2時(shí)，f(x)=解析當(dāng)xC1,2

7、時(shí)，x2C1,0,2-x0,1,又f(x)在R上是以2為周期的偶函數(shù),.f(x)=f(x2)=f(2x)=10g2(2x+1)=10g2(3x).答案1og2(3x)I考點(diǎn)聚焦突破I:選美醺疆暖領(lǐng)就法考點(diǎn)一判斷函數(shù)的奇偶性【例1】 判斷下列函數(shù)的奇偶性：x2 + x, x<0,(3)f(x)=32 一x+ x,x>0.3-x2>0-3> 0得 x2= 3,解得 x= 03,即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,3,從而f(x)=3x2+山23=0.因止匕f(x)=f(x)且f(x)=f(x),函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).由,1-x>0,得定義域?yàn)?1,0)U(0,1)

8、,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.摳2仔2,1g(1x2).x2<0,x-2|-2=-x,.f(x)=4一x又. f( x)=1g1 - (-x)2 = _1g (1-x2)=f(x),函數(shù)f(x)為奇函數(shù).(3)顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?一oo,0)U(0,+OO),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.;當(dāng)x<0時(shí)，x>0,則f(x)=(x)2x=x2x=f(x);當(dāng)x>0時(shí)，x<0,則f(x)=(x)2x=x2x=f(x);綜上可知：對(duì)于定義域內(nèi)的任意x,總有f(x)=f(x)成立，函數(shù)f(x)為奇函數(shù).規(guī)律方法判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件：(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的

9、必要不充分條件，所以首先考慮定義域；判斷f(x)與f(x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)+f(x)=0(奇函數(shù))或f(x)f(x)=0(偶函數(shù))是否成立.【訓(xùn)練11(1)下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是()A.y=x+sin2xB.y=x2cosxx.121.C.y=2+2xD.y=x+sinxxxx2x+x所以h(x)=2xT1+2=2-1)'定義域?yàn)?00,0)U(0,+OO).因?yàn)閔(x)=2 (2-x 2x xx (1+2x)x-1)2 (2x-1)= h(x),所以h(x)=f(x)+g(x)是偶函數(shù),令 F(

10、x) = f(x)g(x) =2 (2x-1)'定義域?yàn)?00,0)U(0,+OO).所以F(x)=2 (1-2x)x2 2x因?yàn)镕(x)wF(x)且F(x)wF(x),所以F(x)=g(x)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).答案(1)D(2)A考點(diǎn)二函數(shù)的周期性及其應(yīng)用【例2】(1)(一題多解)(2018全國(guó)II卷)已知f(x)是定義域?yàn)?j,+oo)的奇函數(shù)，滿足f(1x)=f(1+x).若f(1)=2,則f(1)+f(2)+f(3)+-+f(50)=()A.50B.0C.2D.50(2)已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0&x<2時(shí)，f(x)=x3x,

11、則函數(shù)y=f(x)的圖象在區(qū)間0,6上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為.解析法一二葉a)在R上是奇函數(shù)，且f(1x)=f(1+x).f(x+1)=f(x1),即f(x+2)=f(x).因此f(x+4)=f(x),則函數(shù)f(x)是周期為4的函數(shù),由于f(1x)=f(1+x),f(1)=2,故令x=1,得f(0)=f(2)=0令x=2,得f(3)=f(1)=f(1)=2,令x=3,彳4f(4)=f(2)=f(2)=0,故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+02+0=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=12X0+f(1)+f(2)=2.一一,I、.一.x.一法二取一個(gè)符合題意的函數(shù)f(x)=

12、2sin二2-,則結(jié)合該函數(shù)的圖象易知數(shù)列f(n)(n口N*)是以4為周期的周期數(shù)列.故f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=12Xf(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(1)+f(2)=12X2+0+(2)+0+2+0=2.因?yàn)楫?dāng)0Wx<2時(shí)，f(x)=x3x.又f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且f(0)=0,則f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0.又f(1)=0,.二地尸仁尸。，故函數(shù)y=f(x)的圖象在區(qū)間0,6上與x軸的交點(diǎn)有7個(gè).答案(1)C(2)7規(guī)律方法1.根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性求給定區(qū)間上的函數(shù)值或解析式時(shí)，應(yīng)根據(jù)周期性或奇偶性，由待求區(qū)間轉(zhuǎn)化到已

13、知區(qū)間.2.若f(x+a)=f(x)(a是常數(shù),且a40),則2a為函數(shù)f(x)的一個(gè)周期.第題法二是利用周期性構(gòu)造一個(gè)特殊函數(shù)，優(yōu)化了解題過(guò)程.【訓(xùn)練2】(1)(2018南充二模)設(shè)f(x)是周期為4的奇函數(shù)，當(dāng)0&x01時(shí)，f(x)=x(1+x),則f19=()(2)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x+4)=f(x2).若當(dāng)x3,0時(shí)，f(x)=6x,則f(919)=.A.-3D.3解析(1)：f(x)是周期為4的奇函數(shù),G9)T.%fJ又00x&1時(shí)，f(x)=x(1+x),9f1143故fI-2尸一f2廠-2l1+2廣一4.(2)f(x+4)=f(x2), f(

14、x+2)+4=f(x+2)2,即f(x+6)=f(x),.f(919)=f(153X6+1)=f(1),又f(x)在R上是偶函數(shù)， .f(1)=f(1)=6(1)=6,即f(919)=6.答案(1)A(2)6考點(diǎn)三函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用一多維探究角度1函數(shù)單調(diào)性與奇偶性【例31(2019石家莊模擬)設(shè)f(x)是定義在2b,3+b上的偶函數(shù)，且在2b,0上為增函數(shù)，則f(x1)f(3)的解集為()A.-3,3B.-2,4C.T,5D.0,6解析因?yàn)閒(x)是定義在2b,3+b上的偶函數(shù)，所以有一2b+3+b=0,解得b=3,由函數(shù)f(x)在6,0上為增函數(shù),得f(x)在(0,6上為減函數(shù).故f(x-

15、1戶f(3)?f(|x-1|)>f(3)?|x-1|<3,故一2&x&4.答案B規(guī)律方法1.函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合.注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性.2.本題充分利用偶函數(shù)的性質(zhì)f(x)=f(|x|),避免了不必要的討論，簡(jiǎn)化了解題過(guò)程.角度2函數(shù)的奇偶性與周期性【例32】已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+5)=f(x),且當(dāng)xC10,微)時(shí)，f(x)=x33x,則f(2018)=()A.2B.-18C.18D.-2(2018洛陽(yáng),K擬)已知函數(shù)y=f(x)滿足y=f(乂)和y=f(x+2)是偶函數(shù)，且f(1)=3,設(shè)F(x)=f(x

16、)+f(x),則F(3)=()3A.TB.§C.ttD.¥333解析(1)f(x)滿足f(x+5)=f(x),；f(x)是周期為5的函數(shù)，.f(2018)=f(403X5+3)=f(3)=f(52)=f(2),f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)xC(0,55口寸,f(x)=x33x,f(2)=f(2)=一(233X2)=2,故f(2018)=2.(2)由y=f(x)和y=f(x+2)是偶函數(shù)知f(x)=f(x),且f(x+2)=f(x+2),則f(x+2)=f(x2).f(x+4)=f(x),則y=f(x)的周期為4.一.2九所以F(3)=f(3)+f(3)=2f(3)=2f(1)=2

17、f(1)=.3答案(1)D(2)B規(guī)律方法周期性與奇偶性結(jié)合的問(wèn)題多考查求值問(wèn)題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解.周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合.解決此類問(wèn)題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)問(wèn)，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.【訓(xùn)練3】(1)(2019重慶九校模擬)已知奇函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=3對(duì)稱，當(dāng)xC0,3時(shí)，f(x)=x,則f(16)=.(2)若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間0,+8)上是單調(diào)遞增函數(shù).如果實(shí)數(shù)t滿足f(lnt)+fn1產(chǎn)2f(1),那么t的取值范圍是.解析(1)根據(jù)題意，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=

18、3對(duì)稱，則有f(x)=f(6x),又由函數(shù)為奇函數(shù)，則f(-x)=-f(x),則有f(x)=f(6x)=f(x12),則f(x)的最小正周期是12,故f(16)=f(4)=f(4)=f(2)=(2)=2.(2)由于函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以f(lnt)=fn；j,由f(lnt)+fjln1k2f(1),得f(lnt)<f(1).又函數(shù)f(x)在區(qū)間0,+8)上是單調(diào)遞增函數(shù)，1 .所以11nt|<1,即一1&lnt<1,故e&t&e.答案(1)2£e1®反思與感悟思維升華1 .判斷函數(shù)的奇偶性，首先應(yīng)該判斷函數(shù)定義域是否

19、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件.2 .利用函數(shù)奇偶性可以解決以下問(wèn)題：求函數(shù)值；(2)求解析式；(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值；(4)畫(huà)函數(shù)圖象，確定函數(shù)單調(diào)性.3 .在解決具體問(wèn)題時(shí)，要注意結(jié)論“若T是函數(shù)的周期，則kT(kCZ且kw0)也是函數(shù)的周期”的應(yīng)用.易錯(cuò)防范1 .f(0)=0既不是f(x)是奇函數(shù)的充分條件，也不是必要條件.2 .函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a+x)=f(bx)表明的是函數(shù)圖象的對(duì)稱性，函數(shù)f(x)滿足的關(guān)系f(a+x)=f(b+x)(awb)表明的是函數(shù)的周期性，在使用這兩個(gè)關(guān)系時(shí)不要混淆.I核心素養(yǎng)提用:自住闡讀嵋程養(yǎng)褰養(yǎng)二數(shù)學(xué)運(yùn)算

20、一一活用函數(shù)性質(zhì)中“三個(gè)二級(jí)”結(jié)論數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本手段，通過(guò)運(yùn)算能夠促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.通過(guò)常見(jiàn)的“二維結(jié)論”解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，可優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的過(guò)程，使學(xué)生逐步形成規(guī)范化、程序化的思維品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.類型1奇函數(shù)的最值性質(zhì)已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間D上的奇函數(shù)，則對(duì)任意的xCD,都有f(x)+f(-x)=0.特別地，若奇函數(shù)f(x)在D上有最值，則f(x)max+f(x)min=0,且若0CD,則f(0)=0.(x+1)2+sinx【例1】設(shè)函數(shù)f(x)=x2的取大值為M,取小值為m,則M+m=解析顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,(x+1)2+sinx2x+

21、sinxf(x)=x2+1=1+x2+1'2x+sinx設(shè)g(x)=f+1,則g(x)=g(x),g(x)為奇函數(shù),由奇函數(shù)圖象的對(duì)稱性知g(x)max+g(x)min=0,M+m=g(x)+1max+g(x)+1min=2+g(x)max+g(x)min=2.答案2類型2抽象函數(shù)的周期性(1)如果f(x+a)=f(x)(aw0),那么f(x)是周期函數(shù)，其中一個(gè)周期T=2a.,一1(2)如果f(x+a)=f丁(aw0),那么f(x)是周期函數(shù)，其中的一個(gè)周期T=2a.f(X)(3)如果f(x+a)+f(x)=c(aw0),那么f(x)是周期函數(shù)，其中的一個(gè)周期T=2a.【例2】已知函

22、數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，有f(x+3)=f(x),且當(dāng)xC(0,3)時(shí)，f(x)=x+1,則f(2017)+f(2018)=()A.3B.2C.1D.0解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(2017)=f(2017),因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí)，有f(x+3)=f(x),所以f(x+6)=f(x+3)=f(x),即當(dāng)x>0時(shí)，自變量的值每增加6,對(duì)應(yīng)函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)一次.又當(dāng)xC(0,3)時(shí)，f(x)=x+1,f(2017)=f(336X6+1)=f(1)=2,f(2018)=f(336X6+2)=f(2)=3.故f(2017)+f(2018)=f(2017

23、)+3=1.答案C類型3抽象函數(shù)的對(duì)稱性已知函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù).a+b,一一右f(a+x)=f(bx)包成立，則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，特別地，若f(a+x)=f(ax)恒成立，則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱.(2)若函數(shù)y=f(x)滿足f(a+x)+f(ax)=0,即f(x)=f(2ax),則f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.【例3】(2018日照調(diào)研)函數(shù)y=f(x)對(duì)任意xCR都有f(x+2)=f(x)成立，且函數(shù)y=f(x1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，f(1)=4,則f(2016)+f(2017)+f(2018)的值為.解析因?yàn)楹瘮?shù)V=f(x1)的

24、圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，所以函數(shù)v=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f(x)是R上的奇函數(shù)，f(x+2)=f(x),所以f(x+4)=f(x+2)=f(x),故f(x)的周期為4.所以f(2017)=f(504X4+1)=f(1)=4,所以f(2016)+f(2018)=f(2014)+f(2014+4)=f(2014)+f(2014)=0,所以f(2016)+f(2017)+f(2018)=4.答案4I分層限時(shí)期煉IiMMIBBIMBMIII毒Bl狒層訓(xùn)練睛提哥熊埋基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1 .下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在(0,1)上單調(diào)遞增的函數(shù)是()3A.y=110

25、g3x|B.y=xC.y=ex|D.y=cosxi解析對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)定義域是(0,+8),故是非奇非偶函數(shù)，顯然B項(xiàng)中,y=x3是奇函數(shù).對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)白定義域是R,是偶函數(shù)，且當(dāng)x(0,+%時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，故在(0,1)上單調(diào)遞增，正確.對(duì)于D選項(xiàng)，y=cosxi在(0,1)上單調(diào)遞減.答案C2 .(一題多解)(2019河北“五個(gè)一”名校聯(lián)盟二模)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇10g3(x+1),x>0,函數(shù)，且f(x)=,則g(8)=()0(x),x<0,A. 2B.3C.2D.3解析法一當(dāng)x<0時(shí)，一x>0,且f(x)為奇函數(shù)，則f(X)=lOg3(1X),

26、所以f(X)=lOg3(1X).因此g(X)=lOg3(1-X),X<0,故g(8)=log39=2.法二由題意知，g(8)=f(8)=f(8)=一log39=2.答案A3 .已知f(X)在R上是奇函數(shù)，且滿足f(X+4)=f(X),當(dāng)xC(2,0)時(shí)，f(X)=2X2,則f(2019)等于()A.2B.2C.98D.98解析由f(x+4)=f(x)知，f(x)是周期為4的函數(shù)，f(2019)=f(504X4+3)=f(3),又f(x+4)=f(x),.f(3)=f(1),由一1C(2,0)得f(1)=2,f(2019)=2.答案B4 .(一題多解)已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(

27、x)=xf(x).若a=g(log25.1),b=g(20.8),c=g(3),則a,b,c的大小關(guān)系為()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a解析法一易知g(x)=xf(x)在R上為偶函數(shù)，奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，且f(0)=0.；g(x)在(0,+8)上是增函數(shù).又3>log25.1>2>20.8,且a=g(log25.1)=g(log25.1),.g(3)>g(log25.1)>g(20.8),貝Uc>a>b.法二(特殊化)取f(x)=x,則g(x)=x2為偶函數(shù)且在(0,

28、+00)上單調(diào)遞增，又3>log25.1>20.8,從而可得c>a>b.答案C5 .(2019山東、湖北部分重點(diǎn)中學(xué)模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)在1,+oo)上單調(diào)遞減，且f(x+1)是偶函數(shù)，不等式f(m+2)f(x1)對(duì)任意的xC1,0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.-3,1B.-4,2C.(8,3U1,+oo)D.(°0,4U2,+oo)解析因?yàn)閒(x+1)是偶函數(shù)，所以f(x+1)=f(x+1),所以f(x)的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱，由f(m+2)>f(x1)得|(m+2)1g|(x1)1|,即|m+1|0x2|在x-1,0恒成立，所以|m

29、+1|wx2|min,所以|m+1|w2,解得3wm01.答案A二、填空題6 .若函數(shù)f(x)=xln(x+ja+x2)為偶函數(shù)，則a=.解析f(x)為偶函數(shù)，則y=ln(x+0a+x2)為奇函數(shù)，所以ln(x+a+x2)+ln(x+Ja+x2)=0,則ln(a+x2x2)=0,a=1.答案17 .若函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)=4x,則fI)+f(2)=.解析二丁僅)是定義在R上的奇函數(shù)， .f(0)=0,又f(x)在R上的周期為2, .f(2)=f(0)=0.1又f口5kf(-2：心：一42一2, f1-2；+f(2)2.答案28.設(shè)函數(shù)

30、r1f(x) = ln(1 + |x|) ,則使得f(x)>f(2x 1)成立的x的取值范圍是解析由f(x)=ln(1+|x|)知f(x)為R上的偶函數(shù)，于是f(x)>f(2x1)即1+x為f(|x|)>f(|2x1|).-一1當(dāng)x0時(shí)，f(x)=ln(1+x)2:,所以f(x)為0,+8)上的增函數(shù)，則由f(x|)1+x>f(|2x1|)彳#x|>|2x-1,兩邊平方得3x2-4x+K0,解得1<x<1.3答案3,13三、解答題fx2+2x,x>0,9.已知函數(shù)f(x)=<0,x=0,是奇函數(shù).x2+mx,x<0求實(shí)數(shù)m的值；若函數(shù)

31、f(x)在區(qū)間1,a2上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解設(shè)x<0,則一x>0,所以f(x)=(x)2+2(x)=x22x.又f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)=f(x).于是x<0時(shí)，f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.要使f(x)在1,a-2上單調(diào)遞增，a2>1,結(jié)合f(x)的圖象知v所以1<a03,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3.10 .設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有fg+x)=理x版立.(1)證明v=f(x)是周期函數(shù)，并指出其周期；(2)若f(1)=2,求f(2)+f(3)的值；若g(x)=x2+ax+3,且y=|f(x)|g(x

32、)是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值.解(1)由fg+x)=-fg-x),且f(x)=f(x),知f(3+x)=f3+g+xk-fl|-g+x*f(x)=f(x),所以y=f(x)是周期函數(shù)，且T=3是其一個(gè)周期.(2)因?yàn)閒(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)=0,且f(1)=f(1)=2,又T=3是y=f(x)的一個(gè)周期，所以f(2)+f(3)=f(1)+f(0)=2+0=2.(3)因?yàn)閥=|f(x)|g(x)是偶函數(shù)，且|f(x)|=If(x)|=|f(x)|,所以|f(x)|為偶函數(shù).故g(x)=x2+ax+3為偶函數(shù)，即g(x)=g(x)恒成立，于是(一x)2+a(x)+3=x2+ax+3恒

33、成立.于是2ax=0恒成立，所以a=0.能力提升題組(建議用時(shí)：20分鐘)11 .(2019石家莊模擬)已知奇函數(shù)f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且f(1)=0,若f(x-1)>0,則x的取值范圍為()A.x|0<x<1或x>2B.xx<0或x>2C.xx<0或x>3D.xxv1或x>1解析由題意知函數(shù)f(x)在(一8,0)上單調(diào)遞增，且f(1)=0,不等式f(x1)>0?f(x1)>f或f(x1)>f(1).x1>1或0>x1>1,解之得x>2或0<x<1.答案A12.(2018合肥調(diào)研)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),且在0,1上是減函數(shù)，則有()1<f4B.f4<f-1 f 34 <f 231C.f |<f-4<f131D.f卜“<f；<f(4)解析由題設(shè)知：f(x)=f(x2)=f(2x),所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，由于函數(shù)f(x)在0,1上是減函數(shù)，所以f(x)在1,0上也是