數(shù)學(xué)二歷年考研真題

1、(2)設(shè)函數(shù)y(x)由參數(shù)方程x =t3 3t 13y =t -3t 1確定，則曲線y = y(x)向上凸的x取值范圍2004年考碩數(shù)學(xué)(二)真題.填空題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上.)n 二 nx 1(1)設(shè)f(x)=lim(n21)x,則f(x)的間斷點(diǎn)為x=.x%x2-1(4)設(shè)函數(shù)z=z(x,y)由方程z=e2x*+2y確定，則3J十J3.一6(5)微分萬程(y+x3)dx2xdy=0滿足y=的特解為XT5i210,(6)設(shè)矩陣A=120,矩B$B滿足ABA*=2BA*+E,其中A*為A的伴隨矩陣0,使得(A) f(x)在(0,6)內(nèi)單調(diào)增加.(B) f

2、(x)在(6,0)內(nèi)單調(diào)減小.(C)對任意的xW(0,S)有f(x)f(0).(D)對任意的xW(6,0)有f(x)f(0).I】(11)微分方程y*+y=x2+1+sinx的特解形式可設(shè)為2(A) y*=ax+bx+c+x(Asinx+Bcosx).2(B) y*=x(ax+bx+c+Asinx+Bcosx).2(C) y*=ax+bx+c+Asinx.(D) y=ax2+bx+c+AcosxI(12)設(shè)函數(shù)f(u)連續(xù)，區(qū)域D=(x,y)x2十y2E2yL則口f(xy)dxdy等于D1 中-x2(A)dx.f(xy)dy.11x2 2y-y2(B) 2f0dy10f(xy)dx.二,2si

3、n12(C) J0dJ0f(rsincose)dr.二2sin12I(D) J0dej0f(rsinCcos6)rdr(13)設(shè)A是3階方陣，將A的第1列與第2列交換得B,再把B的第2列加到第3列得C,則滿足AQ=C的可逆矩陣Q為0 1 0, (A)100J 0 b9 10 (C)1 0 00 1 h0 10、(B)10 1.0 0 1)0 1 1 (D)1 0 02 0 b(14)設(shè)A,B為滿足AB =0的任意兩個(gè)非零矩陣，則必有(A) A的列向量組線性相關(guān)(B) A的列向量組線性相關(guān)(C) A的行向量組線性相關(guān)(D) A的行向量組線性相關(guān),B的行向量組線性相關(guān),B的列向量組線性相關(guān),B的行

4、向量組線性相關(guān),B的列向量組線性相關(guān)三.解答題(本題共9小題，滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15)(本題滿分10分)求極限xm03 號x j -1(16)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)f (x)在(口產(chǎn) )上有定義，在區(qū)間0, 2上，f (x) =x(x2 4),若對任意的x都滿足f(x)=kf (x+2),其中k為常數(shù).(I)寫出f (x)在-2, 0上的表達(dá)式；(n)問k為何值時(shí)，f(x)在x=0處可導(dǎo).(17)(本題滿分11分)x咫設(shè)f(x) = J 2sintdt,(i)證明f(x)是以冗為周期的周期函數(shù)；(n)求f(x)的值域. x(18)(本題滿分12分)曲線y

5、 =x_xe e與直線x=0, x=t(tA0)及y=0圍成一曲邊梯形.該曲邊才!形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得一旋轉(zhuǎn)體,其體積為V(t),側(cè)面積為S(t),在x=t處的底面積為F(t).(I)求船的值；(n)計(jì)算極限lim鄴).V(t)t-/：F(t)(19)(本題滿分12分)設(shè)eab0),則該曲線上相應(yīng)于8從0變到物的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積為1-11(5) 設(shè)口為3維列向量，aT是a的轉(zhuǎn)置.若otaT=-11一1,則1-11T、工、工=.(6) 設(shè)三階方陣A,B滿足A2B-A-B=E,其中E為三階單位矩陣，若101A=020,則B=.-2011二、選擇題(本題共6小題，每小題4分，滿分24分.

6、每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設(shè)an,bn,Cn均為非負(fù)數(shù)列，且liman=0,limbn=1,limCn=a,則必有n)：n)二二n：.(A) anbn對任意n成立.(B) bnCn對任意n成立.(C)極限limancn不存在.n:，(D)極限IlmbnCn不存在.(2)設(shè)an=32xn、r1+xndx,則極限1imnan等于3(B)(1e)2-1.3(D)(1e)2-1.一，xy(3)已知y=是微分方程y=上Inxx+q)(-)的解，則y?(4)的表達(dá)式為y2y-2.x(C)2x-2.y2x(D).y(A)(B) (C) (D)I 1

7、 I 2(A)(B) 1 I1 I 2.f(x)有(4)設(shè)函數(shù)f(x)在(g,+w)內(nèi)連續(xù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示，則一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)三個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)(C)(D)1I211.(6)設(shè)向量組I:%,5,，可由向量組II：02,，A線性表示，則(D)當(dāng) r As時(shí),向量組I必線性相關(guān).(A)當(dāng)rs時(shí)，向量組II必線性相關(guān).(C)當(dāng)rs時(shí)，向量組II必線性相關(guān).、(本題滿分10分)設(shè)函數(shù) f (x)=x : 0,x = 0,x 0,ln(1ax3)一,x-arcsinx6,eaxx2-ax-1-xxsin一4問a為何值時(shí)，f(x

8、)在x=0處連續(xù)；a為何值時(shí)，x=0是f(x)的可去間斷點(diǎn)?四、(本題滿分9分)2一2x=1+2t2,.2.,dy設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程n21nte(t1)所確te,求2y=dudxT1uarctanx五、(本題滿分9分)計(jì)算不定積分-xe一Zx.(1x2/六、(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)y=y(x)在(-q十厘)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且y#0,x=x(y)是y=y(x)的反函數(shù).d2xdx(1)試將x=x(y)所滿足的微分方程十(y+sinx)(dx)3=0變換為y=y(x)滿足的微分方dydy程；3(2)求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)=0,y(0)=-的解.七、(本題滿分12分)討論曲

9、線y=4lnx+k與y=4x+ln4x的交點(diǎn)個(gè)數(shù).八、(本題滿分12分)設(shè)位于第一象限的曲線y=f(x)過點(diǎn)(上2,1),其上任一點(diǎn)P(x,y)處的法線與y軸的交點(diǎn)為22Q,且線段PQ被x軸平分.(1)求曲線y=f(x)的方程；(2)已知曲線y=sinx在0,n上的弧長為l,試用l表示曲線y=f(x)的弧長s.九、(本題滿分10分)有一平底容器，其內(nèi)側(cè)壁是由曲線x=*(y)(y至0)繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面(如圖)，容器的底面圓的半徑為2m.根據(jù)設(shè)計(jì)要求，當(dāng)以3m3/min的速率向容器內(nèi)注入液體時(shí)，液面的面2積將以兀m/min的速率均勻擴(kuò)大(假設(shè)注入液體前，容器內(nèi)無液體)(1)根據(jù)t時(shí)刻液面的

10、面積，寫出t與中(y)之間的關(guān)系式；(2)求曲線x=%(y)的方程.(注：m表示長度單位米，min表示時(shí)間單位分.)十、（本題滿分10分）設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在開區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)，且f（x）a0.若極限limf（2x-可存在證明:xax-a,22b-a(1)在(a,b)內(nèi)f(x)0;(2)在(a,b)內(nèi)存在點(diǎn)J使-bf(x)dxa222/.b在(a,b)內(nèi)存在與(2)中-相異的點(diǎn)L使f()(b-a)ff(x)dx.-aaH、（本題滿分10分）2201若矩陣A=82a相似于對角陣A,試確定常數(shù)a的值；并求可逆矩陣P使PAP=A.006_十二、（本題滿分8分）已知平面上三條不同

11、直線的方程分別為11:ax+2by+3c=0,l2:bx+2cy+3a=0,13:cx+2ay+3b=0.試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為a+b+c=0.1990年理工數(shù)學(xué)二試題一填空題(本題共5個(gè)小題，每小題3分，滿分15分)(x=cos(1)曲線上對應(yīng)于=堂點(diǎn)處的法線方程是=sin3(2)設(shè)y=sin工則y=.Xri(3)xvl-xdx=.Jo(4)下列兩個(gè)積分大小的關(guān)系式:(1Ix11二,選擇題(每小JS3分，滿分15分)a(1)已知lim(r-az-6)=0,其中a、b是常數(shù)，則k8力+1(A)a=1,6=1(B)a=-1.6=1(C)c=1,6=1(D)a=-1,5=-1設(shè)函數(shù)

12、/(Z)在(-8,+OO)上連續(xù)，則d1/(x)dx等于(A)/(x)(B)f(z)di(C)/(x)+c(D)/Z(x)dx(3)已知函數(shù)/Xz)具有任意階導(dǎo)數(shù)，且，()=/()產(chǎn),則當(dāng)n為大于2的正整數(shù)時(shí),/(工)的階導(dǎo)致/工)是(AJh/C/Cx)*1(B)n/(x)+I(C)/(x)2(D)n/(x)P,(4)設(shè)工)是連續(xù)函數(shù)，且F(x)=/(r)d:則F(上)等于(A)-e-x/(e-)-/(x)(C)e-V(r*)-/(x),(D)e-V(e-*)+/(x)x#0-(5)設(shè)F(z)=Jx/(0)N=0其中/(x)在z=0處可導(dǎo)，r(0)#0,/(0)=0,則I=0是F(x)的(A)

13、連續(xù)點(diǎn)(B)第一類間斷點(diǎn)(C)第二類間斷點(diǎn)(D)連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)不能由此確定,J三、(每小5分，,分25分)(1)巳知lim(三士工產(chǎn)=9,求常數(shù)a.x-a(2)求由方程2y-1=(工-y)ln(x-y)所確定的函數(shù)y=y(x)的微分dy.(3)求曲線y=1匕(工0)的拐點(diǎn).(4)計(jì)算J(1-xr（5）求微分方程xlnxdy+lnx）dx=0滿足條件y中廣1的特解。四，本題滿分9分）在楠圓號+名=1的第一象限部分上求一點(diǎn)P,使該點(diǎn)處的切線、橢圓及兩坐標(biāo)軸a6所圍圍形面積為最?。ㄆ渲?.60）.五，本題濡分9分）證明：當(dāng)x.0,有不等式arctanx+y.六、（奉建清分9分）設(shè)/（工）=J：忍也.

14、其中x0,求八工）十/（1）.七、（本題海分9分）過點(diǎn)P（l,0）作拋物線夕-772的切線，該切線與上述拋物線及z軸圍成一平面圖形.求此平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積八、（本題清分9分）求微分方程/t4/+4y=之通解，其中。為實(shí)效.=J半秒到o =6秒內(nèi)-1)處相切，其中a、6是常f()ck,04z42,則1991年理工數(shù)學(xué)二試題一、填空(每小*3分，分15分)(1)設(shè)3=ln(l+3-*),則dy=.(2)曲線、=的上凸區(qū)間是I詈憶=(4)質(zhì)點(diǎn)以速度in(尸)米/秒作直線運(yùn)動，則從時(shí)刻h質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的路程等于米.(5)lim1-.+e*二、選擇(每小3分，跳分15分)(1)若曲線，=

15、12+02：+6和2y=-1+xy3在點(diǎn)(1,數(shù)，則(A)a=0,6=-2(B)a=1,6=-3(C)a=-3,6=1(D)a=-1,6=-1(x20zl設(shè)函數(shù)/(工)，記FG)=12-工1x2勺04N&1(A)F(x)=2j+2x-y1x20(B)F(x)=2一工+1n42ozy0xl(C)F(x)=Lz青+2金一全1工42全04工41(D)F(x)=v2x-y1工2(3)設(shè)函數(shù)/(N)在(-8,+OO)內(nèi)有定義,的金0是函數(shù)/(工)的極大點(diǎn)，則(A)入必是/(N)的駐點(diǎn)(B) -Z0必是-f(-工)的極小點(diǎn)(C) -為必是-/(工)的極小點(diǎn)(D)對一切x都有/Xn)1時(shí),有不等式ln（l+

16、工）、.nx1+x五、（本法分9分）求微分方程y*+,=n+cosx的通解.六、（本清分9分）.或；曲線y=（工-l）（z-2）和工軸圍成一平面圖形，求此平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的體積.七、（本就分9分）如圖,A和。分別是曲線,=/和,=e上的點(diǎn),AB和OC均垂直n軸，且IAB1：1DC1=2:1,IABlI,求點(diǎn)8和C的橫坐標(biāo)，使梯形ABCD的面積量大.八、（本題戲分9分）設(shè)函數(shù)/（x）在（一+8）內(nèi)滿足/（x）=f（工-xr）+simc,且/（工）=工，工W0,7r）.計(jì)算1/（x）dx.1992年理工數(shù)學(xué)二試題一,填空題(本題共5個(gè)小題，每小題3分,清分15分.把答案填在II中

17、橫線上)fx=/(t)一汗.設(shè)t,其中/可導(dǎo)，且，(0)X0,則富=ly=/(e3-1)dx(2)函數(shù)y=工+28=在區(qū)間0,御上的最大值為.(3) lim一？=LO0x0f(x2+x)x0(B)/(-x)=0.x2工40(C)/(-x)=0x2-xx0(D)/(-X)=5Ix2Z)0(3)當(dāng)工-1時(shí)，函數(shù)無一e士的極限X-1(A)等于2(B)等于0(C)為oo(D)不存在但不為82設(shè)f(工)連續(xù)，F(xiàn)(z)=：產(chǎn))dt,則Fz(x)等于(A)/(x4)(B)x2/(x4)(C)2x/(x4)(D)2x/(x2)若f(x)的導(dǎo)函數(shù)是sinn則/(x)有一個(gè)原函數(shù)為(A)l+sinx(B)l-si

18、nx(C)l+cox(D)lcoax三、(本網(wǎng)共5小JB,每小JI5分，加分25分)求lim(沙丹.,L-0+X(2)設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程,=1所確定，求*的值求J=dx.J71+x2(4)求，Vlsinxdx.(5)求微分方程(y-x3)dx-2xdy=0的通解.四(本意於分9分)1+x2x0Q設(shè)f(z)=o五、(本題設(shè)分9分)求微分方程/-3/+2,=M的通解.六、(本題潴分9分)計(jì)算曲線,=匕(1-12)上相應(yīng)于0Z上的一段弧的長度七、(本局戲分9分)求曲線的一條切線/，使該曲線與切線I及直線工=0,x=2所圍成的平面圖形面積最小.、八，本H清分9分)巳知/(工)0J(0)=0試證，

19、對任意的二正數(shù)工1和孫，恒有/(!+x2)0),則函數(shù)FQ)的單調(diào)減少區(qū)間是.J1vt(4)f野d工=.JVCOSX(5)巳知曲線丫=/(x)過點(diǎn)(0,-抖且其上任一點(diǎn)(ay)處的切線斜率為xln(l+x2),則f(l)=二、選擇(本II共5個(gè)小，每小題3分，就分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在后的括號內(nèi))當(dāng)工一0時(shí),變量與sin工是xx(A)無窮小(B)無窮大(C)有界的，但不是無窮小(D)無界的，但不是無窮大(fIx2-1I,設(shè)人工)=，則在點(diǎn)工=1處函數(shù)f(z)l2工=1(A)不連續(xù)(B)連續(xù)，但不可導(dǎo)(C)可導(dǎo),但導(dǎo)致不連續(xù)(D)可導(dǎo)，且導(dǎo)數(shù)連續(xù)

20、、fx20x1(3)巳知，(工)=11lx2設(shè)F(n)=1/(力dr(04工42),則FG)為(A)*30X1z1X20x 1lx2佶工3ox1(C)PL-1lx2(D心70i0,函數(shù)/(x)=Inx-2+A在(0,+oo)內(nèi)零點(diǎn)個(gè)數(shù)為e(A)3(B)2(C)l(D)0J(5)若/(x)=-/(-),在(0,+8)內(nèi)/(x)0,/*(x)0,W/(x)在(一8,0)內(nèi)(A)r(x)0,r(x)0(B)/(x)0(or(x)o,r(x)o,r(x)0三、（本II共5小題，每小題5分，清分25分）（1）設(shè)y=其中/具有二階導(dǎo)數(shù),求臺.（2）求limx（Zs?+100+x）.-BB-求frrfedN

21、.求小乩（5）求微分方程（n?-l）dy+（2xy-e,證明（Q+x）a1(A)左、右導(dǎo)致都存在(B)左導(dǎo)數(shù)存在,但右導(dǎo)數(shù)不存在(C)左導(dǎo)數(shù)不存在，但右導(dǎo)致存在(D)左、右導(dǎo)數(shù)都不存在，)設(shè)h=代工)是清足微分方程&=0的痹，且=。，則/(x)在(A)孫的某個(gè)部舉內(nèi)單調(diào)增加(B)與的某個(gè)部城內(nèi)單胸減少(C)td處取得極小值(D)茹姓取得極大值y：*：-(4)曲線索=的漸近線有(A)l條(B)2條(C)3條(D)4條.2二，(5)設(shè)M=J嚴(yán)Jrdx卜N=工+cajc)djctP=/air?工-cobG)(Le5喘*T*-*I別有(A)NVPM(B)MPNmN,*熊.(ONMP(D)PVM0.證明

22、:#。時(shí)，方程Jfex*=0有且但有一個(gè)解，求k的取值范用一X五，（本滿分9分）*E*+4ky-j-H）求函數(shù)的地謨區(qū)間及極值；（2）求函數(shù)圖象的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)；（3）求其漸近線年（4）作出其圖形.六,1本橘分9分）求微分方程/+0。彳近的通解，其中常數(shù)口0，七.（本理滿分9分）設(shè)/（工）在0,1上連續(xù)且通域，證明：WOA耳）（工）di.人（本題灌分9分）求曲線y=37丁-1I與工軸囤成的封閉圖形繞直線=3旋轉(zhuǎn)所羯的旋轉(zhuǎn)體體III、1995年理工數(shù)學(xué)二試題一、填空題(本題5個(gè)小題，每小H3分，就分15分.把答案填在題中橫線上)(2)微分方程/+-21的通解為(3)曲線在t = 2處的切線方程為

23、(5)曲線y=/e-的漸近線方程為.二、選擇本共5個(gè)小題，每小3分，於分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在延后的括號內(nèi))設(shè)/(工)和Rz)在(-8,+oo)內(nèi)有定義J(z)為連續(xù)函數(shù)，且/(#0,?(工)有間斷點(diǎn)，則(A)p/(x)必有間斷點(diǎn)(B)w(n)尸必有間斷點(diǎn)(C)/p(N)必有間斷點(diǎn)(D)怒必有間斷點(diǎn)1(2)曲線y=x(x-1)(2-工)與二軸所圍圖形的面積可表為(A)-J2x(x1)(2x)dx（3）設(shè)/（h*T）=In工j2,且/I中（工力=hr,求卜fL1xarctun工#0（4）設(shè)f（H）=，工，試討論尸（工）在工=0處的連續(xù)性.,0H

24、=0for=1-aost（5）求提袋；-m（0I2）的弧長.7=t-3inr（6）設(shè)單位隨點(diǎn)在水平面內(nèi)作直線運(yùn)動，初速度=%.巳知阻力與速度成正比1-0（比例常數(shù)為1）,同t為多少時(shí)此質(zhì)點(diǎn)的速度為與？并求翱此時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的路程.四，（本清分H分）求函數(shù)/（x）=0.又MTMP分別為該曲線在點(diǎn)M（g.如處的切域和法就.巳如線段MP的長度為空泮其中文=與=yo4（孫）,誠推導(dǎo)出點(diǎn)P（e，7）的坐標(biāo)表達(dá)式IV、七，(本題濡分8分)設(shè)/(工)=1羋d,計(jì)算了)也.J0JT-J。八，(本題清分8分)設(shè)=1,且尸(工)0,證明工)了.x-*GXV、，1996年理工數(shù)學(xué)二試題一,填空J(rèn)Sf本盤共5小題,

25、每小題3分,偶分15分,把答案填衽中橫照上)(D設(shè)y=(4+/寵)1則/!=.(2)jJh+-/Ix2)2dx,(3)微分方程4+如十5y=0的通解為.(4)Iimx8inln14-:卜ainlnj1+J=由曲線y工工+二2及)=2所圍留走的面積5=.二、選擇(本摩共5小鹿，每小JS3分，漏分15分,海小屋給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)將合J8目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設(shè)當(dāng)工-0時(shí)，/-1a2+紅+D是比/高階的無窮小，則(A)a=y=1(B)a=1.8:1(0)a,6=-1(D)a=-1,6=1r(2)設(shè)函數(shù)打工)在區(qū)間3,的內(nèi)有定義,若當(dāng)比(-&.S)時(shí)，恒有，(上)|工

26、，則工=0必是f(x)的(A)間斷點(diǎn)(B連續(xù)而不可導(dǎo)的點(diǎn)(C)前導(dǎo)的點(diǎn)，且,(0)=0(D)可導(dǎo)的點(diǎn)，且，0聲0OO(3)設(shè)/(工)處處可導(dǎo)，則(A)當(dāng)lim/(x)=-8,必有l(wèi)im/(x)=一L-L-(B)當(dāng)limf(x)=-8,必有hm/(x)=-00jp一e-(C)當(dāng)lim/(x)=+8,必有imf(h)=+8(D)當(dāng)lim/(n)=+8,必有l(wèi)imf(x)=+00(4)在區(qū)間(-8,+8)內(nèi)，方程|lI：+1z-COSX=0(A)無實(shí)根(B)有且僅有一個(gè)實(shí)根(C)有且僅有二個(gè)實(shí)根(D)有無窮多個(gè)實(shí)根(5)設(shè)N)、g(4)在區(qū)間a,b上連續(xù)，且&(N)/(x)=/(x),x=a及z=b

27、所國平面圖形繞直線_y=m旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積為,“(A)jff2m-/(x)+g(x)/(x)-g(x)dx(B)|r2m-f(x)-g(x)/(x)-g(x)dx(C)jkm-/(x)+g(x)/(x)-g(x)dx(D)jrm-/(n)-g(x)/(x)-g(x)dxJ三、(本共6小JI,每小5分，II分30分)(1)計(jì)算J1-1bdx.求(，產(chǎn)-.J1+smxlx-f(u2)du(3)設(shè)Jo，其中/()具有二階導(dǎo)數(shù)，且/()#0y=(產(chǎn))了.(4)求函數(shù)/(z)=匕亍在工=0點(diǎn)處帶拉格朗日型余項(xiàng)的n階泰勒展開式.(5)求微分方程/+/=x2的通解.(6)設(shè)有一正橢圓柱體，其底面的長、短

28、軸分別為2a、26,用過此柱體底面的短軸與底面成a角(0Va今)的平面截此柱體，得一模形體(如圖)，求此模形體的體積V.四(本第濡分8分)計(jì)算不定積分若詈Mdx.JX(1+X)五、(本I1胸分8分)12x2x-1設(shè)函數(shù)f(N)=x3-1x2(1)寫出/(x)的反而數(shù)g(x)的表達(dá)式；(2)g(x)是否有間斷點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)，若有，指出這些點(diǎn).六、(本U兩分8分)設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程2y3-2y2+2xy-x2=1所確定，試求y=y(x)的駐點(diǎn),并判別它是否為極值點(diǎn).七、(本分8分)設(shè)/(外在區(qū)間a,6上具有二階導(dǎo)致，且f(a)=f(b)=0,，()，()0.證明：存在(。，6)和Q),使/()

29、=0及/*)=0.八、(本清分8分)設(shè)義工)為連續(xù)函數(shù).儼+3=f(工)(1)求初值問題、的解蟲工),其中q是正常數(shù)；，z0(2)若I/(x)k(k為僧?dāng)?，證明：當(dāng)工0時(shí)，有I(x)l0,記Si=1/(jeJcLe,s?=f(b)(b-a),S3-；，(&)+f(b)(b-。)，則(A) Si S2 S3(C)S3 Si s2(B)s2 Ss S1(D)S2 Si s3(3)已知而敷y=/(x)對一切z滿足“(工)+3x/(z)2=1-葭，若，(工0)=O(xoK0),則(A)/Qo)是/(工)的極大值(B)/(1q)是/)的極小值(C)(xo,/(xo)是曲線y=f(工)的拐點(diǎn)(D)/(z

30、0)不是/(x)的極值，(二。,/(為)也不是曲線y=/(x)的拐點(diǎn)設(shè)F(x)=J：,4sind,則F(x)(A)為正常數(shù)(B)為負(fù)常數(shù)(C)恒為零(D)不為常數(shù)12-2工&0x2x0設(shè)g(x)=/(x)=5，則g/(x)lx+2x0I-x工)0x 02-ix0(2 + x2 x 0(D)0I2+zz0三(本共6小,每小5分，於分30分)求被叼巴4工苴土N所確定，求今(X=arctant設(shè),=y(x)由(tanz+l)2dx.(4)求微分方程(3/+2xy-y2)da:+(x2-2xy)dy=0的通解.(5)巳知“=M+力=1+。-，力=+是某二階線性非齊次微分方程的三個(gè)解，求此微分方程.71

31、-1、（6）巳知A=011，且A?一AH=I,其中I是三階單位矩陣,求矩陣B.00-U四，（本題篇分8分）2xi+Aj：2一工3=IA取何值時(shí)，方程組，Axl-%+巧=2無解，有唯一解或有無窮多解?并在有無4xi+5x25科=T窮多解時(shí)寫出方程組的通解.五、（本題滿分8分）設(shè)曲線L的極坐標(biāo)方程為廠=X8）,M（r,8）為L上任一點(diǎn)，M2,0）%L上一定點(diǎn),若極徑OMu、OM與曲線L所圍成的曲邊扇形面積值等于L上Mo、M兩點(diǎn)間弧長值的一半，求曲線L的方程.六、（本題南分8分）設(shè)函數(shù)工）在閉區(qū)間0,1上連續(xù)，在開區(qū)間（0,1）內(nèi)大于零，并滿足x/（x）=上）+：工2（。為常數(shù)），又曲線、=/（工）

32、與工=0所國的圖形S的面積值為2,求函數(shù)6=并問a為何值時(shí)，更形S繞工軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體積最小.七、（本盟清分8分）巳知函數(shù)/（x）連續(xù),且lim）=2,設(shè)中（N）=f（z）d八求卯（6）,并討論工7xja，（H）的連續(xù)性.八、（本題瀟分8分）就k的不同取值情況，確定方程2-fsinx=k在開區(qū)間（0號）內(nèi)根的個(gè)數(shù),并證明你的結(jié)論.1998年理工數(shù)學(xué)二試題一、填空(本題共5小題，每小M3分，於分15分)(1) lim=lOX(2)曲線y=-Z3+1+2與工軸所圍成的圖形的面積人=(3)fln3mxdx=Jsinz(4)設(shè)工)連續(xù)，剜-/)出=.(5)曲線y=xln(e+1)(工0)的漸

33、近線方程為.二、選擇(本題共5小J1,每小匙3分，清分15分)(1)設(shè)數(shù)列工.與為滿足limzj,=0,則下列斷言正確的是(A)若4發(fā)散，則以必發(fā)散(B)若z.無界，則“必有界(C)若z,有界，則為必為無窮小(D)若工為無窮小，則的必為無窮小工.(2)函數(shù)/(x)=(x2-x-2)Ix3-xI的不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(A)0(B)l(02(D)3(3)已知函數(shù)Y=y(x)在任意點(diǎn)x處的增量加=譚5+a,其中a是比&:(Az0)高階的無窮小，且(0)=，則y(l)=(A)/(B)2ir(C)ir(D)J(4)設(shè)函數(shù)/(z)在I=。的某個(gè)鄰城內(nèi)連續(xù)，且f(a)為其極大值,則存在60,當(dāng)(a-a,a+6)

34、時(shí)，必有(A)(x-a)/(x)-/(a)0(B)(z-a)/(x)-/(a)3)階方陣,A是其伴隨矩陣，又人為常數(shù)，且AWO,1,則必有(匕)=(A)M*出)k-(C)FA*(DM-%三、(本1清分5分)求函數(shù)/(x)=(1+工)5二幻在區(qū)間(0,2)內(nèi)的間斷點(diǎn)，并判斷其類型.四、(本港分5分)確定常數(shù)a、6、c的值，使叫11山=00)五、(本濡分5分)利用代換y=將方程COSXycosx-2ysinz+3coax=ex化簡，并求出原方程的通解.六，本題，分6分)七，本清分6分)從船上向海中沉放某種探測儀卷，按探測要求，需確定儀器的下沉速度y(從海平面算起)與下沉速度v之間的函數(shù)關(guān)系，設(shè)儀器

35、在重力作用下，從海平面由靜止開始船直下沉，在下沉過程中還受到阻力和浮力的作用.設(shè)儀器的質(zhì)量為m,體積為B,海水比重為P，儀器所受的阻力與下沉速度成正比，比例系數(shù)為0).試建立y與v所滿足的微分方程，并求出函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=y3).八、(本意清分8分)設(shè)y=/(x)是區(qū)間0,1上的任一非負(fù)連續(xù)函數(shù).(1)試證存在的(0,1),使得在區(qū)間0,工上以/(n)為高的矩形面積,等于在區(qū)間工。,1上以,=/(x)為曲邊的曲邊梯形面積.(2)又設(shè)/(工)在區(qū)間(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且，(工),證明(1)中的苑是唯一的.九、(本4分8分)設(shè)有曲線,=/7,過原點(diǎn)作其切線，求由此曲線、切線及z軸圍成的平面圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)

36、一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積.十、(本H海分8分)設(shè)y=y(工)是一向上凸的連續(xù)曲線,其上任意一點(diǎn)(z,S處的曲率為7=，且v1+y此曲線上點(diǎn)(0,1)處的切線方程為y=X+1,求該曲線的方程，并求函數(shù)y=y(x)的極值.十一,(本H於分8分)設(shè)工W(0,1),證明(1)(1+x)ln2(l+x)(x)由方程ln(x2+y)=x3y+sinx確定，則祟J21沖=Jx-ox+13(4)函數(shù)y=廠J在區(qū)間*,上的平均值為-71-x2/(5)微分方程/-4=/工的通解為.二、選擇題(本題共5小，每小H3分，清分15分)x0設(shè)人工)=心N2g(工)工40其中g(shù)(X)是有界函數(shù)，則/(X)在工=0處(A)

37、極限不存在(B)極限存在，但不連續(xù)(C)連續(xù)，但不可導(dǎo)(D)可導(dǎo)(2)設(shè)a(N)=(1+r)+dr,則當(dāng)工0時(shí),(A)高階無窮小(B)低階無窮小(C)同階但不等價(jià)的無窮小(D)等階無窮小(3)設(shè)/(x)是連續(xù)函數(shù),FQ)是/(x)的原函做，則.,(A)當(dāng)y(x)是奇函數(shù)時(shí)，尸(工)必是他造數(shù)(B)當(dāng)正N)是偶函數(shù)時(shí),F(z)必是奇函敷(C)當(dāng)義工)是周期函數(shù)時(shí)，F(xiàn)Q)珞是周期函敷(D)當(dāng)/(x)是單隔地的數(shù)時(shí),FG)必是單網(wǎng)增函數(shù)二(4)“附衽意給定的e6(0,1),總存在正整數(shù)N,當(dāng)時(shí)，恒有I。-是數(shù)列l(wèi)J收效于a的(A)充分條件但非必要條件(B)必要條件但非充分條件(C)充分必要條件(D)

38、既非充分條件又非必要條件 I&2J10的根 f(5)記行列式X -1j： 2X-3 2x -12工一22x一 33x-24x -53x- 54n - 35x -74x- 3Z 227 - 2為則方程幻3工一3(A)l(B)2(03(0)4的個(gè)數(shù)為三(本JBHI分5分)條limY1+tanj:-/i+sinR上fj：ln(l+x)-x1四、(本調(diào)分6分)計(jì)算廠?.五(本國充分7分)(夕+，工*+3?)d-xdy=0(x0)求初值問題.的解.尸o*1六、（本題清分7分）為清除井底的污泥，用纜繩將抓斗放入井底，抓起污泥c夕后提出井口（見圖）.巳知井深30m,抓斗.自宣400N,纜繩每米jVz/重50

39、N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升超度為3m/s.在提升過程中，污泥以20N/s的速度從抓斗縫隙中漏掉.現(xiàn)將抓起產(chǎn)污泥的抓斗提升至井口，問克服重力需作多少焦耳的功？,5,（說明：（DlNxlm=lJ;m,N,s,J分別表示米，牛頓，秒，焦耳J：，：，抓斗的高度及位于井口上方的纜繩長度忽略不計(jì).）次七、（本題II分8分）已知函數(shù)號還，求,（l-1）一,.i-v-1（1）函數(shù)的增減區(qū)間及極值；（2）函數(shù)圖形的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)；（3）函數(shù)陰形的漸近線.八、（本題看分8分）：.設(shè)函數(shù)7（工）在閉區(qū)間-1,1上具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且/（-D=o,/（i）=i,r（o）=0,證明：在開區(qū)間（-1,1）內(nèi)至少